車(chē)載炮射擊密集度逐步回歸分析

曹 寧，王曉鋒，徐亞棟，尹 強(qiáng)

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京210094）

車(chē)載炮戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)機(jī)動(dòng)性強(qiáng)，具有快速反應(yīng)能力、精確打擊能力和自主作戰(zhàn)能力，能滿(mǎn)足現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)火炮戰(zhàn)略機(jī)動(dòng)性及戰(zhàn)術(shù)機(jī)動(dòng)性的要求，對(duì)車(chē)載炮武器系統(tǒng)進(jìn)行射擊精度分析，尋找影響射擊精度的主要因素，能為新型車(chē)載炮總體方案論證、總體設(shè)計(jì)，射擊法則的制定以及有效地發(fā)揮車(chē)載炮射擊效率提供合理的依據(jù).射擊精度包括射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度，前者描述了落點(diǎn)平均位置對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的系統(tǒng)性偏差，后者描述了落點(diǎn)的隨機(jī)散布特性.

車(chē)載壓制火炮射擊密集度的確定方法隨著理論和技術(shù)水平的發(fā)展得到了進(jìn)一步的完善.如，潘玉田等[1]推導(dǎo)出了有脫靶彈的立靶密集度估計(jì)公式；王兆勝等[2]討論了諸元精度、射程、密集度對(duì)彈丸首發(fā)命中概率的影響；閆雪梅等[3]建立了計(jì)算射程及密集度分組試驗(yàn)的Bayes估計(jì)方法；文獻(xiàn)[4]分析了地面密集度隨射角和初速的變化規(guī)律；馬春茂等[5]研制了某自行高炮車(chē)炮系統(tǒng)的射擊密集度預(yù)測(cè)軟件.

本文采用回歸分析法研究隨機(jī)因素對(duì)車(chē)載炮射擊密集度的影響，通過(guò)對(duì)射程和各因素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使各種因素量綱得到一致，從而可通過(guò)比較回歸系數(shù)大小來(lái)反映與該系數(shù)對(duì)應(yīng)因素的重要性.建立了隨機(jī)因素影響程度逐步回歸分析算法，以某車(chē)載炮的密集度性能實(shí)彈射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了落點(diǎn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與射擊密集度之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，并分析了各因素對(duì)該車(chē)載炮射擊密集度的影響.

1 逐步回歸分析算法

假定車(chē)載炮發(fā)射一組n發(fā)彈丸，共有l(wèi)種因素xj（j＝1，2，…，l）影響其落點(diǎn)坐標(biāo)，現(xiàn)已獲得各射彈的落點(diǎn)坐標(biāo)（Xi，Zi），i＝1，2，…，n.如何分析這些因素對(duì)車(chē)載炮射擊精度的影響及其影響程度，這就必須對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，本文采用逐步回歸分析法對(duì)此進(jìn)行分析.由于對(duì)X和Z所采用的回歸原理相同，以X為例進(jìn)行說(shuō)明.為使各種因素量綱得到一致，對(duì)射程X和因素xj進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理.

將得到的數(shù)據(jù)（xi1，xi2，…，xil，Xi）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換后，zj和Y的幾何平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)離差為1，則標(biāo)準(zhǔn)化后的多元回歸方程可表示為

式中，β0為常數(shù)項(xiàng)，βj為Y對(duì)因素zj的回歸系數(shù)，εY為隨機(jī)誤差.

將得到的數(shù)據(jù)經(jīng)式（1）變換后，代入式（2）得：

這里假定εYi為獨(dú)立同分布，其均值為0，其方差σ2未知，但0＜σ2＜∞.對(duì)式（3）進(jìn)行最小二乘估計(jì)，可得βj的估算值j：式中，j（j＝1，2，…，l）為標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)，）稱(chēng)為相關(guān)系數(shù)矩陣，D＝（dj）為右端列陣）為標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)列陣.

以上給出了多元線性回歸分析的一般形式，本文將給出逐步回歸分析的基本算法流程.令：

記開(kāi)始時(shí)，對(duì)總因素?cái)?shù)重新賦值ml＝l，令迭代步數(shù)p＝1，回歸方程中的因素?cái)?shù)U＝0.

逐步回歸分析法的基本原理：在考慮的全部因素中按其對(duì)X的作用大小、顯著程度大小或者貢獻(xiàn)大小，由大到小地逐個(gè)引入回歸方程，而對(duì)X作用不顯著的因素始終不被引入回歸方程.另外，己被引入回歸方程的因素在引入新因素后也可能失去重要性，而需要從回歸方程中剔除出去.引入一個(gè)因素或者從回歸方程中剔除一個(gè)因素都稱(chēng)為逐步回歸的一步，每一步都要進(jìn)行F分布的檢驗(yàn)，以保證在引入新因素前回歸方程中只含有對(duì)X影響顯著的因素，而不顯著的因素已被剔除.

步驟1 對(duì)不包含在回歸方程中的ml個(gè)因素，計(jì)算偏回歸平方和

假定第m個(gè)因素的偏回歸平方和值最大，即），該因素zm對(duì)的回歸貢獻(xiàn)最大，于是優(yōu)先考慮選入zm.

步驟2 對(duì)引入因素zm進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).令U＝U＋1，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：

給定顯著水平α、自由度1和n－U－1，得F1，n－U－1（α），若＜F1，n－U－1（α），則不引進(jìn)，此時(shí)由于貢獻(xiàn)度最大的因素zm都不能引進(jìn)，其它因素也就不能引進(jìn)，計(jì)算結(jié)束.若＞F1，n－U－1（α），表明引入的因素zm對(duì)回歸方程的貢獻(xiàn)是顯著的，應(yīng)引進(jìn).并對(duì)引進(jìn)因素zm對(duì)應(yīng)中的主元m進(jìn)行如下變換，得到變換后的

求解式（6）時(shí)一定要遵循以下次序：①非主元m所在行、列，即k≠m、j≠m；②主元m所在行（除主元外），即k＝m，j≠m；③主元m所在列（除主元外），即k≠m，j＝m；④主元m，即k＝m，j＝m.

一旦確定zm要引進(jìn)回歸方程，必須利用引進(jìn)zm后已經(jīng)變換的，按前面相同的方法對(duì)回歸方程中已存在的其它因素逐一進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以確定由于因素zm的引進(jìn)是否需要將其它因素從回歸方程中保留或剔除.

步驟3 因素zm（z（U）＝zm）引入后的回歸方程.標(biāo) 準(zhǔn) 回 歸 系 數(shù) 為

標(biāo)準(zhǔn)回歸方程為

一般回歸方程為

2 靶場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析

為了考察某車(chē)載炮的密集度性能，對(duì)其進(jìn)行了實(shí)彈射擊試驗(yàn).表1給出了5組、每組7發(fā)射彈落點(diǎn)坐標(biāo)（Xc，Zc）的數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)的密集度估計(jì)值.由表可見(jiàn)，前3組射擊密集度非常差，后2組密集度較好.為此對(duì)這5組數(shù)據(jù)中的落點(diǎn)坐標(biāo)（X，Z）進(jìn)行了相關(guān)性分析，其相關(guān)系數(shù)值也在表中給出.對(duì)有限射彈的數(shù)量，若相關(guān)系數(shù)｜rXZ｜≥0.8，則認(rèn)為X和Z有強(qiáng)的相關(guān)性；若0.3≤｜rXZ｜＜0.8，則認(rèn)為有弱的相關(guān)性；若｜rXZ｜＜0.3，則認(rèn)為沒(méi)有相關(guān)性.前2組的相關(guān)性強(qiáng)，密集度很差；后2組相關(guān)性弱，密集度很高.為此，圖1給出了該車(chē)載炮射擊試驗(yàn)落點(diǎn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)｜rXZ｜與射擊密集度之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系圖.圖中，MX為縱向密集度，MZ為橫向密集度.

圖1 相關(guān)系數(shù)與密集度的統(tǒng)計(jì)關(guān)系

表1 彈落點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)和密集度估計(jì)值

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，密集度越高，相關(guān)系數(shù)｜rXZ｜越?。环粗?，密集度就越低，｜rXZ｜就越大.同時(shí)還可以看出，較小的相關(guān)系數(shù)，不能保證有較高的射擊密集度.對(duì)其它射擊試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，也得出同樣的結(jié)論，如表2所示.若一組彈丸的落點(diǎn)坐標(biāo)（Xc，Zc）存在較強(qiáng)的相關(guān)性，即｜rXZ｜≥0.8，表明車(chē)載炮武器系統(tǒng)存在嚴(yán)重的系統(tǒng)干擾，應(yīng)加以認(rèn)真檢查.

表2 密集度與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系

3 射擊密集度影響因素逐步回歸分析

前文對(duì)某車(chē)載炮密集度實(shí)彈射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了相關(guān)性分析，下面以第一組的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行密集度影響因素的回歸分析.回歸方程包含的因素越多，回歸平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也隨之愈小，預(yù)測(cè)值的誤差也愈小，模擬的效果愈好.但是方程中的因素過(guò)多，預(yù)報(bào)工作量就會(huì)越大，其中有些相關(guān)性不顯著的預(yù)報(bào)因子會(huì)影響預(yù)測(cè)的效果.因此，在多元回歸模型中，選擇適宜的因素?cái)?shù)目尤為重要.本例中，由于測(cè)試條件的局限性選擇因素?cái)?shù)目為6.第一組的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表3.表中，v0為彈丸初速，mq為彈丸質(zhì)量（kg），Iq為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比，εe為彈丸偏心距（mm），p31為駐退機(jī)腔3和腔1室的壓力之差（MPa），σh1為高低機(jī)齒弧與齒輪相接觸處齒弧側(cè)面法向應(yīng)力（MPa）.因而，一般回歸方程的形式為

選擇v0、mq、εe作為考察因素的理由是很顯然的，而選擇p31的原因是試圖通過(guò)該因素的變化來(lái)研究后坐阻力對(duì)射擊密集度的影響，選擇σh1的原因是試圖通過(guò)該因素來(lái)反映身管高低指向的變化規(guī)律對(duì)密集度的影響.

表3 彈丸落點(diǎn)實(shí)彈數(shù)據(jù)表

下面對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行逐步回歸分析，將數(shù)據(jù)分別代入變換式（1），這樣式（7）和式（8）轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的回歸方程.經(jīng)最小二乘法運(yùn)算，其相關(guān)系數(shù)矩陣為

從中可以看出：

①Xc與Zc的相關(guān)系數(shù)rXZ＝0.946 2，根據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，可知Xc與Zc相關(guān).

②初速v0和彈質(zhì)量mq均分別與駐退機(jī)腔室壓力p31、射程Xc與Zc相關(guān)，這符合實(shí)際情況.

③轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比Iq與彈丸偏心距εe相關(guān)，這符合實(shí)際情況.

④Iq、εe與射程關(guān)系不密切，p31與射程有一定的相關(guān)性，σh1與射程無(wú)相關(guān)性.

分別對(duì)Xc和Zc進(jìn)行逐步回歸分析，得到Xc與Zc的回歸方程分別為

由逐步回歸分析結(jié)果可以看出，考慮v0、mq、Iq、εe、p31和σh1等因素時(shí)，影響彈丸縱向射程的主要因素是初速，影響橫向側(cè)偏的主要因素是彈質(zhì)量.對(duì)其它組數(shù)據(jù)分析亦有類(lèi)似結(jié)果.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以某車(chē)載炮的密集度性能實(shí)彈射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用逐步回歸分析法對(duì)車(chē)載炮射擊密集度的影響因素進(jìn)行分析，給出了該車(chē)載炮射擊試驗(yàn)落點(diǎn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與射擊密集度之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系.研究了彈丸初速、彈質(zhì)量和彈丸偏心距等因素對(duì)車(chē)載炮射擊密集度的影響.回歸分析結(jié)果表明，影響彈丸縱向射程的主要因素是初速，影響橫向側(cè)偏的主要因素是彈質(zhì)量，與實(shí)彈射擊結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了本文所提逐步回歸分析法用于車(chē)載炮射擊精度影響因素分析的可行性和有效性.

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