溫求遒，李 然，何 鏡

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081；2.中國兵器工業(yè)集團(tuán)公司，北京100081）

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，對目標(biāo)實施有效的遠(yuǎn)程精確打擊已成為戰(zhàn)爭的首選方案.新一代空地制導(dǎo)武器，如美國的小直徑炸彈（SDB）、聯(lián)合防區(qū)外武器（JSOW），普遍采用非原截面升力體外形及可折疊彈翼，實現(xiàn)對目標(biāo)的遠(yuǎn)程高精度打擊；戰(zhàn)斗部上采用大長徑比侵徹戰(zhàn)斗部，具備打擊深層硬目標(biāo)的能力[1].因此在控制上使用BTT（Bank－to－Turn）控制技術(shù)以保證導(dǎo)彈具有足夠的機(jī)動能力，并消除氣動耦合影響[2]；同時使用以彈道成型制導(dǎo)律為代表的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律替代比例導(dǎo)引，滿足侵徹戰(zhàn)斗部對導(dǎo)彈高落點精度、大落角及落速的要求.

BTT控制技術(shù)在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈中的應(yīng)用主要集中在初中制導(dǎo)方案轉(zhuǎn)彎或航路跟蹤段，此時導(dǎo)彈飛行過程較平穩(wěn)，制導(dǎo)指令變化小[3].而在末制導(dǎo)段，仍然存在著諸多問題，如何消除BTT控制奇異性是其中的一個關(guān)鍵問題.BTT控制奇異性是指在滾轉(zhuǎn)控制指令轉(zhuǎn)換過程中，俯仰、航向制導(dǎo)指令微小的變化帶來滾轉(zhuǎn)的劇烈震蕩的現(xiàn)象，滾轉(zhuǎn)角指令變化幅度甚至可達(dá)到±90°.一旦進(jìn)入奇異性，滾轉(zhuǎn)控制回路極易出現(xiàn)飽和，同時快速滾轉(zhuǎn)會誘發(fā)大的氣動與運動學(xué)耦合，嚴(yán)重影響到彈體穩(wěn)定控制及制導(dǎo)精度[4].

奇異性問題的產(chǎn)生與導(dǎo)彈俯仰、偏航通道制導(dǎo)指令密切相關(guān)[4]，這決定了必須根據(jù)回路中采用的制導(dǎo)律，總結(jié)其指令變化規(guī)律，并結(jié)合存在的計算不確定性與噪聲，設(shè)計相應(yīng)的控制策略，才能達(dá)到最優(yōu)的效果.

本文針對空地侵徹制導(dǎo)武器BTT末制導(dǎo)奇異性控制問題，首先基于BTT－90指令轉(zhuǎn)換邏輯，分析了奇異性產(chǎn)生的機(jī)理及主要影響因素；結(jié)合理論分析與彈道仿真計算，給出了制導(dǎo)回路指令特點及奇異性產(chǎn)生的原因；以此為基礎(chǔ)，提出了包含控制區(qū)域劃分及滾轉(zhuǎn)指令平滑算法的奇異性控制策略；最后通過仿真證明控制策略的有效性.

1 BTT控制奇異性問題

1.1 BTT制導(dǎo)控制原理

BTT控制方式下制導(dǎo)控制系統(tǒng)工作原理框圖如圖1所示，根據(jù)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)或?qū)б^提供的彈目相對信息按照制導(dǎo)律生成慣性坐標(biāo)系內(nèi)的俯仰、偏航制導(dǎo)指令ayc，azc；經(jīng)指令轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，計算俯仰控制指令aybc和滾轉(zhuǎn)控制指令γc.在導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎過程中，偏航駕駛儀側(cè)向過載指令azbc取零，以保證零側(cè)滑角，起到協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎的作用.

圖1 BTT制導(dǎo)控制回路工作原理

在末導(dǎo)段，除最大過載外，侵徹制導(dǎo)武器對正負(fù)攻角通常沒有限制；同時考慮空地導(dǎo)彈以俯仰平面為主要機(jī)動面，因此取滾轉(zhuǎn)指令范圍為±90°，并通過aybc符號正負(fù)變化實現(xiàn)在全平面的機(jī)動，又稱為BTT－90邏輯，計算模型為

式中，sign為符號函數(shù).

1.2 BTT制導(dǎo)奇異性分析

為計算γc對其自變量ayc，azc變化的敏感程度，分析奇異性產(chǎn)生的機(jī)理，引入偏導(dǎo)數(shù)的概念，其物理意義是表示函數(shù)關(guān)于自變量的變化快慢程度.由式（1）不難得到γc關(guān)于ayc，azc的偏導(dǎo)：

當(dāng)ayc及azc取不同值時，?γc/?ayc，?γc/?azc變化曲線如圖2～圖3所示.不難得出如下變化規(guī)律：?γc/?ayc與ayc呈反比關(guān)系，ayc越小，?γc/?ayc越大；當(dāng)ayc接近0時，?γc/?ayc達(dá)到最大，這表明γc對ayc在零附近的變化非常敏感.?γc/?azc的變化取決于ayc，azc的大小相對關(guān)系，當(dāng)｜ayc｜＞｜azc｜時，?γc/?azc隨ayc增大而減??；而當(dāng)｜ayc｜＜｜azc｜時則反之；當(dāng)｜ayc｜＝｜azc｜時，?γc/?azc有最大值.這表明縱向指令ayc越小，γc對ayc變化敏感度越大；側(cè)向指令azc越小，?γc/?ayc，max，?γc/?azc，max數(shù)值越大，即γc變化的幅度越大.

圖2 ?γc/?ayc隨ayc變化曲線

圖3 ?γc/?azc隨ayc變化曲線

圖4給出了azc取不同值時滾轉(zhuǎn)指令隨ayc變化曲線.ayc越小，γc隨著ayc變化越劇烈，特別在ayc過零前后，γc出現(xiàn)±90°跳變.

以上分析表明，在BTT－90邏輯中，俯仰指令ayc為小量，是導(dǎo)致BTT控制奇異性的主要原因，特別在過零附近，滾轉(zhuǎn)指令的變化幅度最大.

圖4 azc取不同值時，γc隨ayc變化曲線

2 制導(dǎo)律指令變化規(guī)律分析

以侵徹制導(dǎo)炸彈為例，偏航制導(dǎo)回路主要是修正離軸投放帶來的初始速度偏差并消除飛行過程中各種干擾，全程采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律.因此，如果在末端不出現(xiàn)大的干擾（如風(fēng)切變），偏航指令azc非常小，近似為小量.

為滿足侵徹所需的末端多約束條件，俯仰制導(dǎo)回路采用基于落角及落點約束的彈道成型制導(dǎo)律[4]：

式中，vr為彈目相對速度，為彈目視線角速度，q為彈目視線角，tgo為剩余飛行時間，qF為裝訂的期望落角值.為簡化量綱，在本文的分析中角度均采用弧度單位.

為便于研究過載指令在制導(dǎo)過程中的變化規(guī)律，對于任意時刻t，式（3）可寫為關(guān)于彈目初始相對位置y0、末端法向速度F、制導(dǎo)時間tF的表達(dá)形式[5]：

式（4）由以下3部分組成，其對應(yīng)的物理意義如下.

由初始位置偏差引起的制導(dǎo)指令：

由初始法向速度引起的制導(dǎo)指令：

由末端法向速度約束引起的制導(dǎo)指令：

由于該制導(dǎo)問題是在初始彈目線系下進(jìn)行研究的[6]，所以一般情況下初始位置偏差y0＝0，即a（t）｜y0＝0.而在小角度假設(shè)下，初始法向速度可用沿彈目視線方向上的相對接近速度vr與初始時刻速度指向誤差角ε表示，即0＝vrε；而終端法向速度可用vr與期望落角值qF表示，即F＝vrqF.故以初始速度指向誤差角ε和終端落角qF表述的制導(dǎo)指令變化規(guī)律為

為研究方便，取初始速度指向誤差角ε和期望落角qF的關(guān)系k＝ε/qF.顯然相對角度比k在物理上反映了制導(dǎo)過程需要完成的角度修正，因而制導(dǎo)過程付出的制導(dǎo)指令大小與其密切相關(guān).取無量綱時間＝t/tF，代入式（5），得到無量綱過載表達(dá)式：

取空地武器典型投彈高度為4～10km，射程范圍為10～40km，可得初始誤差角ε取值范圍為－10°～－40°；侵徹戰(zhàn)斗部末端落角要求為不低于－60°，取落角值范圍為－60°～－80°，不難計算得到k取值為0.1～0.8.

圖5給出了k取不同值時對應(yīng)的制導(dǎo)律無量綱過載曲線.彈道成型制導(dǎo)律過載指令隨時間變化近似于線性遞減的關(guān)系.初始時刻出現(xiàn)最大正過載，目的是使彈道上抬；之后逐漸減小，待過零后轉(zhuǎn)為負(fù)過載下壓，使彈道低頭，從而獲得較大落角；過載指令在命中點處達(dá)到負(fù)最大值.因此不同于比例導(dǎo)引末端過載指令逐漸收斂至零，彈道成型制導(dǎo)律在制導(dǎo)末端過載指令很大，且在多數(shù)制導(dǎo)時間內(nèi)也均為大指令，小指令只存在于制導(dǎo)中段過零階段附近短時間內(nèi).

圖5 不同k值對應(yīng)的無量綱加速度曲線

在制導(dǎo)中，縱向重力補(bǔ)償及控制回路動力學(xué)滯后都會影響指令變化，因此還需通過實際仿真計算證明理論分析結(jié)論.圖6給出了H＝6km投放，分別取裝訂落角值qF＝－1.04rad，－1.22rad，－1.40rad（分別對應(yīng)－60°，－70°，－80°），攻擊R＝20km目標(biāo)時縱向彈道及過載指令仿真曲線，與理論分析的結(jié)果基本是一致的，只是過零段時間更接近制導(dǎo)末端.綜合前文分析，對采用彈道成型制導(dǎo)律的BTT末制導(dǎo)，只需要在俯仰過載指令過零階段采用奇異性控制.

圖6 不同裝訂落角對應(yīng)彈道及過載指令曲線

3 奇異性控制策略

3.1 控制區(qū)域劃分與切換條件設(shè)計

根據(jù)制導(dǎo)段彈道特點與兩通道指令變化規(guī)律，將BTT滾轉(zhuǎn)角指令計算劃分為正?？刂茀^(qū)和奇異性控制區(qū)，在不同的區(qū)域選取對應(yīng)計算策略.即在非奇異性區(qū)域采用標(biāo)準(zhǔn)BTT－90策略，在奇異性區(qū)域采用指令平滑算法以減小滾轉(zhuǎn)角指令出現(xiàn)大幅跳變或震蕩的情況.

由于俯仰指令ayc變化是誘發(fā)奇異性的主要原因，因此選擇以此作為控制區(qū)域切換條件.定義ayc，0為切換量，當(dāng)｜ayc｜＜ayc，0時，由正?？刂茀^(qū)切換至奇異性控制區(qū).在實際飛行過程中，隨機(jī)風(fēng)、導(dǎo)引頭信號噪聲等干擾因素都會導(dǎo)致ayc存在計算噪聲及一定的不確定性，這可通過引入閾值系數(shù)c，如圖7所示，通過增加切換面厚度的方式防止在正常控制區(qū)和奇異控制區(qū)間誤切換，即

式中，ayc，1＝ayc，0＋c.

ayc，0取值通常不能太大，以盡量減小對制導(dǎo)的影響；同時可根據(jù)azc值不同范圍確定多個ayc，0值，azc值越小，相應(yīng)的ayc，0取值越大.閾值系數(shù)c可通過對ayc噪聲水平統(tǒng)計來確定.

圖7 正?？刂茀^(qū)與奇異控制區(qū)切換示意圖

3.2 滾轉(zhuǎn)指令平滑算法

由于彈道成型制導(dǎo)律下ayc在過零段符合線性單調(diào)遞減規(guī)律，且過零段基本處于制導(dǎo)中末段，此時偏航指令azc基本為零，因此若假設(shè)在奇異性控制區(qū)進(jìn)入切換點ayc，0，有滾轉(zhuǎn)指令γc，0，則退出切換點ayc，1對應(yīng)的滾轉(zhuǎn)指令γc，1是可估計的，且有γc，1≈－γc，0.已知控制區(qū)兩端的節(jié)點（ayc，0，γc，0），（ayc，1，γc，1），以ayc為變量，得到γc線性插值平滑計算函數(shù)：

式（7）中，對邊界點滾轉(zhuǎn)指令預(yù)估值γc，1的設(shè)計十分重要.γc，1值過大會使得奇異區(qū)內(nèi)滾轉(zhuǎn)角指令隨ayc變化過于緩慢，雖能較好地消除BTT控制奇異性的影響，但會造成滾轉(zhuǎn)角實際指令與期望指令之間的偏差較大，對退出到正常控制區(qū)后制導(dǎo)帶來較大的影響；γc，1值過小會使得奇異區(qū)內(nèi)的滾轉(zhuǎn)角指令關(guān)于ayc的變化斜率過大，導(dǎo)致滾轉(zhuǎn)角指令平滑變化程度不足.－γc，0只給出了一個近似參考值，實際設(shè)計時還需根據(jù)彈道仿真情況進(jìn)行修正，以兼顧平滑效果與制導(dǎo)精度.滾轉(zhuǎn)指令平滑計算示意圖如圖8所示.

圖8 滾轉(zhuǎn)指令平滑計算示意圖

在計算滾轉(zhuǎn)指令的同時，俯仰指令依然保持原計算方法不變.

4 仿真結(jié)果

取投彈高度H＝6km，射程R＝30km，離軸發(fā)射角15°，采用包含隨機(jī)干擾及導(dǎo)引頭量測噪聲的六自由度模型進(jìn)行仿真[7].如圖9所示，在干擾的作用下，俯仰及偏航過載指令中存在均方差σ＝0.1g的噪聲.

圖9 縱、側(cè)向過載指令

圖10給出了有、無奇異性控制策略滾轉(zhuǎn)角指令對比曲線，在正常控制區(qū)域內(nèi)，兩者是相同的.而在過零段，未采用奇異性控制時，滾轉(zhuǎn)角指令劇烈震蕩，滾轉(zhuǎn)舵飽和，如圖11所示；而采用奇異性控制有效消除了滾轉(zhuǎn)角指令跳變現(xiàn)象，滾轉(zhuǎn)舵資源消耗小，轉(zhuǎn)出到正?？刂坪?，滾轉(zhuǎn)指令無大的變化，對末端制導(dǎo)影響小.

圖10 有、無奇異性控制，滾轉(zhuǎn)角指令對比曲線

圖11 有、無奇異性控制，滾轉(zhuǎn)舵偏角對比曲線

5 結(jié)論

BTT控制方式下，根據(jù)慣性系下俯仰、偏航制導(dǎo)指令，采用反正切的方法計算所需的滾轉(zhuǎn)控制指令，因此不可避免地出現(xiàn)計算的奇異性.通過基于偏導(dǎo)的靈敏度分析可知，兩通道處于小指令是導(dǎo)致滾轉(zhuǎn)指令計算奇異性的根本原因，且以俯仰指令影響程度最大.針對末制導(dǎo)采用的彈道成型制導(dǎo)律，推導(dǎo)了過載指令隨制導(dǎo)時間變化解析表達(dá)式并進(jìn)行了無量綱化.結(jié)合實際彈道仿真結(jié)果，證明了奇異性僅存在于過載指令過零階段，且指令在過零段具有單調(diào)遞減特性；以此為基礎(chǔ)，提出一種將BTT控制劃分為正?？刂婆c奇異性區(qū)域，并在奇異性控制區(qū)采用滾轉(zhuǎn)指令平滑算法的奇異性控制策略，給出了控制區(qū)切換條件，有效地抑制了奇異性的產(chǎn)生.

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