曾建華，朱云東，方玉萍，劉 微，段劍金，李澤東，李宏寧，楊衛(wèi)平

（云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，昆明 650092）

基于BRDF的粗糙目標(biāo)表面統(tǒng)計(jì)建模與驗(yàn)證

曾建華，朱云東，方玉萍，劉 微，段劍金，李澤東，李宏寧，楊衛(wèi)平

（云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，昆明 650092）

利用從五參量模型簡(jiǎn)化而來(lái)的BRDF模型對(duì)水泥板、花崗巖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化擬合.通過(guò)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較，結(jié)果表明，二參量模型對(duì)粗糙度大的目標(biāo)表面BRDF統(tǒng)計(jì)建模是完全可行、有效的，但對(duì)粗糙度小的目標(biāo)表面不適用.而三參量、四參量模型對(duì)各種樣片表面都能得到較好的擬合效果.簡(jiǎn)化模型的準(zhǔn)確性為粗糙目標(biāo)表面統(tǒng)計(jì)建模簡(jiǎn)化了計(jì)算、節(jié)約了時(shí)間，便于進(jìn)一步對(duì)粗糙目標(biāo)作相關(guān)的多光譜成像研究與仿真.

雙向反射分布函數(shù)BRDF；粗糙目標(biāo)表面；簡(jiǎn)化模型

引言

1970年Nicodemus正式提出雙向反射分布函數(shù)BRDF的定義[1]，它既能描述粗糙表面的光輻射特性，也能描述方向散射特性，目前廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如目標(biāo)光輻射和散射特性[2]、材料診斷、圖像處理[3]等.粗糙目標(biāo)樣片BRDF可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量[4][5]與理論計(jì)算[6]的方法來(lái)進(jìn)行研究.但理論計(jì)算比較復(fù)雜，而且材料粗糙度參數(shù)也難以獲取，所以在工程應(yīng)用中往往采用根據(jù)材料的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)建立BRDF模型的方法.

文章將利用從五參量模型簡(jiǎn)化而來(lái)的BRDF模型對(duì)水泥板、花崗巖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化擬合，通過(guò)比較擬合結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果表明，三種簡(jiǎn)化模型對(duì)粗糙度大的目標(biāo)表面BRDF進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模都是可行、有效的，而具有方向性的樣片表面只能采用三參量和四參量模型.

1 雙向反射分布函數(shù)（BRDF）

1.1 雙向反射分布函數(shù)（BRDF）概念

BRDF定義為表面散射指定方向的輻亮度與入射輻照度之比，如圖1所示[7].它描述了物體在半球空間范圍內(nèi)的反射特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

圖1 BRDF方位角示意圖

式（1）中 θi, ?i為入射角和入射方位角，θr, ?r則為反射角和反射方位角，d Lr( θi, ?i; θr, ?r) 是（θr, ?r）方向的反射亮度，d Ei(θi, ?i) 是（θi, ?）i方向的入射照度.

1.2 BRDF的測(cè)量

BRDF的測(cè)量有定義測(cè)量法、比較測(cè)量法及單一參考測(cè)量法[8]，文章的BRDF數(shù)據(jù)采用比較測(cè)量法[4].聚四氟乙烯粉壓制的標(biāo)準(zhǔn)白板最接近朗伯體[9]，所以可以把它作為標(biāo)準(zhǔn)參考板，其雙向反射分布函數(shù)為ρ0/π 。 ρ0可以通過(guò)計(jì)量定標(biāo)或者用分光光度計(jì)加積分球測(cè)量獲得.實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)中的光電倍增管是一種能將光信號(hào)轉(zhuǎn)換成具有一定電平的電信號(hào)的光電轉(zhuǎn)換器件，所以測(cè)量目標(biāo)表面的BRDF可以通過(guò)電壓的測(cè)量得出.在相同的入射和接受條件下，參考板的輸出電壓為Vr(θi, ?i; θr, ?r)，樣品的輸出電壓為 Vs(θi, ?i; θr, ?r) ，則目標(biāo)樣品的BRDF為：

因標(biāo)準(zhǔn)白板是朗伯面板，所以只需測(cè)量參考板一個(gè)特定的散射角的散射信號(hào)電壓，其散射特性滿足：

式（3）中θk表示某個(gè)特定的散射方向，表示參考板在θk散射方向的輸出電壓；θr表示任意散射角表示參考板在θr散射方向的輸出電壓.為提高效率，只需測(cè)量一個(gè)散射方向如θk=30°情況下的標(biāo)準(zhǔn)板的輸出電壓即可.把（3）式代入（2）式得[10]：

通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以由（4）式得出樣品在各種測(cè)量條件下的BRDF值，很多實(shí)驗(yàn)采用的就是比較測(cè)量法.

1.3 五參量BRDF模型的簡(jiǎn)化

在長(zhǎng)期的研究中，很多BRDF模型已經(jīng)形成，如Cook-Torrance模型、Phong模型、Wolf模型和五參量模型等[11]，而有的模型復(fù)雜，計(jì)算也很耗時(shí)，所以有必要對(duì)數(shù)學(xué)模型合理簡(jiǎn)化.文章采用從五參量模型簡(jiǎn)化得到的三種模型，并采用一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[15-16]對(duì)粗糙目標(biāo)表面BRDF進(jìn)行擬合，以及對(duì)三種簡(jiǎn)化模型的擬合結(jié)果進(jìn)行了分析比較.

如果把樣片的鏡向反射近似為0，則五參量模型可簡(jiǎn)化為二參量模型：

其中，a,k為待定參數(shù).

如果用一個(gè)指數(shù)函數(shù)表示單次反射分量，另一部分為多次反射分量，則五參量模型可簡(jiǎn)化為三參量模型：

當(dāng)表面具有一定的方向性時(shí)，利用一個(gè)指數(shù)函數(shù)與漫反射函數(shù)的組合五參量模型簡(jiǎn)化得到一個(gè)四參量模型：

其中a,b,c,d為待定參數(shù).

2 擬合程度的評(píng)價(jià)[12]

所謂擬合程度，是指樣本觀測(cè)值集中在樣本回歸線周圍的緊密程度.

用于判斷回歸模型擬合程度優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標(biāo)是可決系數(shù)（又稱為決定系數(shù)）.

可決系數(shù)是建立在對(duì)總離差平方和進(jìn)行分解的基礎(chǔ)上.因此，計(jì)算可決系數(shù)首先需要對(duì)總離差平方和的分解有所了解.

1、總離差的概念.總離差就是因變量的實(shí)際觀測(cè)值與其樣本均值的離差即

2、總離差的分解.總離差可以分解為兩部分：

對(duì)任一實(shí)際觀測(cè)值總有：

總離差、解釋離差和殘差三者之間的關(guān)系如圖2所示.

圖2 總離差分解圖

對(duì)公式（9）兩邊平方并求和，得：

如果用符號(hào)SST表示總離差平方和，用SSR表示解釋離差平方和，用SSE表示剩余殘差平方和，即：

則有：

將式（10）等號(hào)兩邊同除以 ，得：

從式（11）中可以明顯看出，各個(gè)樣本觀察點(diǎn)與樣本回歸直線靠得越近，SSR在SST中所占的比重越大.因此，如果用代表可決系數(shù)，可以將可決系數(shù)定義如下：

可決系數(shù)R2是對(duì)回歸模型擬合程度的綜合測(cè)量，可決系數(shù)越大，回歸模型擬合程度越高；反之，回歸模型擬合程度越差.

為剔除變量個(gè)數(shù)對(duì)擬合優(yōu)度的影響，將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，得到調(diào)整的可決系數(shù)記為，則有[13]：

其中n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總離差平方和的自由度.

在實(shí)際擬合工作中，對(duì)曲線進(jìn)行了擬合或找到了參數(shù)僅是完成了一部分工作，還必須根據(jù)擬合結(jié)果，如擬合報(bào)表，結(jié)合專業(yè)知識(shí)，對(duì)擬合作出正確的解釋.不論是線性擬合還是非線性擬合，對(duì)其擬合結(jié)果的解釋基本相同，通常是根據(jù)擬合的調(diào)整的可決系數(shù)、加權(quán)卡方檢驗(yàn)系數(shù)及對(duì)擬合結(jié)果的殘差分析而得出擬合結(jié)果的優(yōu)劣的.文章對(duì)粗糙目標(biāo)表面散射特性建模就是通過(guò)求解判斷擬合程度優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標(biāo)——調(diào)整的可決系數(shù)來(lái)反映所采用的BRDF模型的擬合程度的.調(diào)整的可決系數(shù)其值在0～1之間變化越接近1表明擬合效果越好，越接近0表明擬合效果越差[14].

3 粗糙目標(biāo)表面BRDF模型優(yōu)化

3.1 水泥板表面的BRDF模型驗(yàn)證

3.1.1 二參量模型擬合

圖3 二參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

表1 二參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

利用二參量模型對(duì)水泥板數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，入射天頂角 θi為0°、10°，如圖3所示.圖3中離散點(diǎn)是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[15]，曲線是其用二參量模型擬合的結(jié)果.擬合獲得的模型參數(shù)如表1所示.從圖3、表1中可以看出模型擬合效果都很好，這是因?yàn)樗喟迨谴蟠植诙入S機(jī)樣片，光散射特征接近于朗伯面，可認(rèn)為基本由漫反射組成，鏡向分量可近似為零[15].

3.1.2 三參量模型擬合

圖4 三參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

表2 三參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

3.1.2 四參量模型擬合

圖5 四參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

表3 四參量模型對(duì)水泥板表面的擬合

3.2 花崗巖表面的BRDF模型驗(yàn)證

花崗巖表面顏色多樣，并經(jīng)過(guò)拋光處理后均勻粗糙.它是一種深成酸性火成巖，主要成分是[16].下面根據(jù)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[16]對(duì)花崗巖表面0.6328um、入射天頂角為30°時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別采用三種簡(jiǎn)化模型進(jìn)行擬合，如圖6、圖7、圖8所示.圖中離散點(diǎn)是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[16]，曲線是其擬合結(jié)果.擬合獲得的模型參數(shù)如表4所示.結(jié)果表明，二參量、三參量模型對(duì)花崗巖表面擬合結(jié)果都不是很理想，原因在于這兩種模型沒(méi)有考慮鏡向分量.指數(shù)函數(shù)與漫反射函數(shù)的組合可以反映具有方向性的樣片表面，所以四參量模型對(duì)經(jīng)過(guò)拋光處理后的花崗巖表面擬合效果也是比較好的.

圖6 花崗巖入射天頂角為30°的二參量模型擬合

圖7 花崗巖入射天頂角為30°的三參量模型擬合

圖8 花崗巖入射天頂角為 的四參量模型擬合

表4 花崗巖入射天頂角為 的四參量模型擬合

4 結(jié)論

本文采用從五參量模型簡(jiǎn)化而來(lái)的三種模型對(duì)文獻(xiàn)[15-16]中的水泥板、花崗巖實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并作了比較.結(jié)果表明，三種簡(jiǎn)化模型對(duì)表面粗糙的水泥板的擬合結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合度都很高，但對(duì)經(jīng)過(guò)拋光處理的具有方向性的花崗巖表面只有三參量和四參量模型的擬合效果較好，這說(shuō)明簡(jiǎn)化模型的選擇跟目標(biāo)樣片表面粗糙度有關(guān).驗(yàn)證了簡(jiǎn)化模型的正確性，這為粗糙目標(biāo)散射特性的分析簡(jiǎn)化了計(jì)算，節(jié)約了時(shí)間，為進(jìn)一步作相關(guān)的多光譜成像研究與仿真奠定了基礎(chǔ).

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BRDF-Based Statistical Modeling and Verification of Rough Target Surface

ZENG Jian-hua, ZHU Yun-dong, FANG Yu-ping, LIU Wei,DUAN Jian-jin, LI Ze-dong, LI Hong-ning, YANG Wei-ping
(Department of Physics,Yunnan Normal University,Kunming 650092,China)

In this paper, a BRDF five-parameter mo del is simplified as two-parameter model, three-parameter model and four-parameter model.The experimental data of the cement board and moorstone is fit with the simplified models.By comparison with the measured data, the results show that the two-parameter model are entirely feasible and effective for the target surface roughness BRDF statistical modeling, but not applying for the small target surface roughness.The threeparameter model and the four-parameter model can get a better fitting result for a variety of sample surface.The accuracy of the simplified model for the statistical modeling of rough target surface can simplify the calculation, save time and facilitate further the research of multi-spectral imaging and simulation related to the rough target

bidirectional reflectance distribution function(BRDF); rough target surface; simplified model

Q631

A

1008-9128（2012）02-0018-05

2011-08-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60968001，60768002），云南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2009CD047），云南省大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目（CX07）.

曾建華（1978- ），男，江西贛州人，碩士研究生.研究方向：多光譜成像技術(shù)研究.

楊衛(wèi)平（1958- ），男，昆明人，云南師范大學(xué)教授.研究方向：顏色科學(xué)、多光譜成像技術(shù)等.

[責(zé)任編輯 張燦邦]