王 鵬，王 軍，蔡袁強(qiáng), ，丁光亞

（1.溫州大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，浙江 溫州 325035；2.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058）

1 引 言

基礎(chǔ)對(duì)激震波的散射以及由此造成的地基與基礎(chǔ)的耦合振動(dòng)研究一直是土動(dòng)力學(xué)和地震工程中的重要課題，前人對(duì)此做了許多卓有成效的研究[1－5]。但以往大部分研究都把土體模擬成彈性介質(zhì)，而由于地下水的存在，把土體模擬成兩相介質(zhì)更為合理。同時(shí)由于Rayleigh 波傳播所攜帶的能量要比縱波（P 波）及剪切波（SV 波）大得多，且?guī)缀嗡p又慢，Rayleigh 波已被認(rèn)為是危害較大的地震波。在建筑施工、交通車(chē)輛及機(jī)器運(yùn)行所產(chǎn)生的振動(dòng)波中，Rayleigh 波也是占主要形式的波種。因此，對(duì)Rayleigh 波作用下基礎(chǔ)的振動(dòng)特性進(jìn)行研究顯得尤為必要。

在彈性波動(dòng)理論的基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者對(duì)飽和土中Rayleigh 波的各種特性進(jìn)行了比較詳盡的研究。Tajuddin[6]建立了考慮2種壓縮波的Rayleigh波特征方程。夏唐代等[7－8]通過(guò)對(duì)飽和土中波的運(yùn)動(dòng)方程及連續(xù)方程分析，推導(dǎo)了飽和半空間土層中Rayleigh波彌散特征方程，并由此討論了Rayleigh 波的彌散特性及位移、孔壓分布情況。劉凱欣等[9]基于Biot理論研究了橫觀(guān)各向同性飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波的傳播特性，導(dǎo)出了廣義Rayleigh 波的三維復(fù)合方程，給出了Rayleigh 波的存在條件。在Rayleigh波導(dǎo)致的飽和土與結(jié)構(gòu)相互作用方面，陸建飛等[10]利用Muki 的虛擬樁方法，研究了頻域內(nèi)半空間飽和土中單樁在Rayleigh 波下的動(dòng)力響應(yīng)。Cai 等[11]對(duì)飽和半空間中非連續(xù)屏障對(duì)Rayleigh 波的隔振效果進(jìn)行了研究。

基于Biot 波動(dòng)理論，本文采用半解析的方法對(duì)飽和地基表面剛性圓形基礎(chǔ)在Rayleigh 波作用下的搖擺振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。首先引入勢(shì)函數(shù)求解土體控制方程，得到飽和土體中的Rayleigh 波場(chǎng)并視其為自由波場(chǎng)，隨后采用Hankel 變換求解土體控制方程得到土體應(yīng)力-位移表達(dá)式。為考慮基礎(chǔ)對(duì)Rayleigh 波的散射以及地基與基礎(chǔ)的動(dòng)力相互作用，將土體中的散射波場(chǎng)定義為輻射散射波場(chǎng)及剛體散射波場(chǎng)的疊加。結(jié)合基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的混合邊值條件及基礎(chǔ)的動(dòng)力平衡方程，最終得到基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)位移幅值表達(dá)式，并對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了分析。

2 基本動(dòng)力方程

分析模型如圖1 所示，半徑為 r0的圓形基礎(chǔ)位于飽和地基表面并受Rayleigh 波的作用，坐標(biāo)系原點(diǎn) O1位于基礎(chǔ)下表面中心點(diǎn)處。假定地基為飽和半空間，由均質(zhì)彈性飽和多孔兩相介質(zhì)組成，基礎(chǔ)為有質(zhì)量的剛性圓盤(pán)，基底與地基之間緊密接觸，接觸面光滑且相互之間無(wú)滑移。同時(shí)假定所有的運(yùn)動(dòng)形式皆為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則各運(yùn)動(dòng)形式可表示為時(shí)間t的函數(shù)，即 f (t ) = f eiωt，為簡(jiǎn)略起見(jiàn)，下文中省去因子

eiωt。

圖1 分析模型及坐標(biāo)系統(tǒng) Fig.1 Analytical model and coordinate system

2.1 飽和土體中的Rayleigh 波

根據(jù)Biot 波動(dòng)理論[12－13]，飽和土體的基本運(yùn)動(dòng)方程為

引入標(biāo)量勢(shì)sφ 、fφ 和矢量勢(shì)sψ 、fψ ，將位移場(chǎng)場(chǎng)作如下分解：

式中：下標(biāo)s、f 分別表示固體部分和流體部分。

將式（2）代入式（1），可得到半空間飽Rayleigh波的勢(shì)函數(shù)

式中：1A 、2A 、3A 為常數(shù)； /k cω= 為Rayleigh波波數(shù)，c 為Rayleigh 波相速度，ω 為角頻率；1a=， a2= 1-， a3= 1-，vp1、vp2為壓縮波波速；sv 為剪切波波速；1γ 、2γ 、3γ 為飽和土中液相與固相勢(shì)函數(shù)的比值。p1v 、p2v 、sv 、1γ 、2γ 、3γ 具體取值見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

飽和土應(yīng)力與勢(shì)函數(shù)關(guān)系為

式中：zσ 、xzτ 為土骨架應(yīng)力；fp 為孔隙水壓力。

若假設(shè)飽和地基表面透水，則在 0z= 處：

若飽和地基表面不透水，則在 0z= 處：

式（3）結(jié)合邊界條件式（5）、（6），可得到不同透水條件下Rayleigh 波波速的解，進(jìn)而可得到飽和地基中Rayleigh 波勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式。

2.2 飽和土體控制方程求解

在圓柱坐標(biāo)系下，式（1）可表示為

飽和土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

為考慮θ 的影響，將所有位移及應(yīng)力對(duì)θ 進(jìn)行如下形式的Fourier 展開(kāi)：

引入以下無(wú)量綱參數(shù)： ω0=、 λ*=

并定義位移由0r 無(wú)量綱化，應(yīng)力由μ 無(wú)量綱化。

利用Hankel 變換并結(jié)合式（8）、（9），按蔡袁強(qiáng)等[15]運(yùn)用的方法對(duì)式（7）進(jìn)行求解：

式中：上標(biāo)n 表示對(duì)函數(shù)進(jìn)行n 階Hankel 變換，下標(biāo)n 表示對(duì)θ 進(jìn)行Fourier 展開(kāi)后的第n 階函數(shù)；A1n、 A2n、 A3n為包含ε 的待定系數(shù)。變量 q1、 q2、

3q 、21c 、22c 、31c 、32c 、41c 、42c 、43c 、51c 、52c的取值為

其中

在此，參數(shù) q1、q2、滿(mǎn)足 Re( q1) ＞ 0，R e( q2) ＞ 0，Re( q3) ＞ 0。

3 邊界條件及求解

飽和地基中剛性基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)研究屬于混合邊值問(wèn)題，即在基底給定位移，在基底外給定應(yīng)力。無(wú)量綱化后*0z = 處的邊界條件為

當(dāng)?shù)鼗砻嫱杆畷r(shí)：

當(dāng)?shù)鼗砻娌煌杆畷r(shí)：

定義入射Rayleigh 波場(chǎng)為飽和半空間中的自由波場(chǎng)，描述了其在飽和半空間中的傳播特性，用 ufree表示。由于飽和半空間表面剛性基礎(chǔ)的存在，Rayleigh 波會(huì)發(fā)生散射，此時(shí)可將剛性基礎(chǔ)看作一個(gè)次生波源。根據(jù)Pao 等[16]所提出的彈性波散射理論，土體中的散射波場(chǎng)可劃分為2 部分，一部分為剛體散射波場(chǎng) uS，一部分為輻射散射波場(chǎng) uR。前者為入射波在傳播過(guò)程中遇到固定的剛性基礎(chǔ)時(shí)產(chǎn)生的散射波，表示基礎(chǔ)在自由波場(chǎng)與剛體散射波場(chǎng)的共同作用下，位移為0；后者為剛性基礎(chǔ)在振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的波輻射，其中包含了基礎(chǔ)尚屬未知的振動(dòng)幅值。根據(jù)以上定義，此時(shí)飽和土體中的全波場(chǎng)可定義為 Utot= ufree+ uS+ uR。

根據(jù)土體中波場(chǎng)的劃分，當(dāng)飽和地基表面透水時(shí)，式（18）、（21）可轉(zhuǎn)化為

而當(dāng)?shù)鼗砻娌煌杆畷r(shí)，

當(dāng)Rayleigh 波入射時(shí)，自由波場(chǎng)引起的無(wú)量綱豎向位移為[11]

式中：n=0 時(shí) κn= 1； n ≠ 0時(shí) κn= 2。

根據(jù)式（11）～（26）并結(jié)合三角函數(shù)的正交性，可得到2 組描述Rayleigh 波激勵(lì)下基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的對(duì)偶積分方程

不透水條件下，

根據(jù)Nobel[17]提出的方法，將式（28）、（29）化為第2 類(lèi)Fredholm 積分方程

式中： ( , )K x y 為核函數(shù)

作用在基底的力矩可由式（30）、（31）求得

式中： T*= T為力矩的無(wú)量綱形式。

定義

式中：0η 為輸入位移，對(duì)應(yīng)于入射Rayleigh 波作用下無(wú)質(zhì)量剛性圓形基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)振幅。

根據(jù)式（33），并結(jié)合基礎(chǔ)的動(dòng)力平衡方程可得

式中： m*為基礎(chǔ)無(wú)量綱質(zhì)量， m*= m。

根據(jù)振動(dòng)分析方法[18]，基礎(chǔ)的搖擺位移幅值為

其中，

4 算例分析

如圖2 所示，將飽和土體反映流體特性的參數(shù)取為極小值（a、 M*、 ρ*及 b*取為 10-5），從而把飽和地基模型退化到單相彈性介質(zhì)的情況，計(jì)算了無(wú)質(zhì)量圓形基礎(chǔ)在Rayleigh 波作用下的搖擺位移振動(dòng)幅值η0，并與Luco 等[19]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。按照Luco[19]的定義，U0為飽和半空間表面自由波場(chǎng)引起的土體豎向位移。可見(jiàn)本文結(jié)果與Luco 的結(jié)果能夠較好地吻合，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖2 本文計(jì)算結(jié)果和Luco 的結(jié)果對(duì)比 Fig.2 Comparison between present work and Luco’s work

在此假設(shè)入射Rayleigh 波振幅為單位振幅，利用數(shù)值結(jié)果討論了一些關(guān)鍵性參數(shù)對(duì)基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)特性的影響，飽和土體參數(shù)取自文獻(xiàn)[11]，無(wú)量綱化后為：α=1，λ*=1.004，M*=246.78，ρ*=0.45，n=0.37，v=0.1～0.4， b*=1～100。

圖3 研究了基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)位移幅值隨入射波頻率的變化，并給出了土體泊松比對(duì)搖擺位移幅值的影響。由圖中可以看出，隨著激振頻率的增加，基礎(chǔ)搖擺位移由0 開(kāi)始增加，達(dá)到峰值后減小，位移曲線(xiàn)存在明顯共振現(xiàn)象。

隨著泊松比的增加，基礎(chǔ)的共振振幅明顯增大，共振頻率也略有增加。在0ω 小于共振頻率情況下，0ω＜0.4，不同泊松比下基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)位移曲線(xiàn)基本重合。

圖3 不同ν 值時(shí)η 隨ω0 變化 Fig.3 η versus ω0 under different values of ν

圖4 研究了基礎(chǔ)質(zhì)量對(duì)基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的影響。圖4 表明，基礎(chǔ)質(zhì)量的減小將導(dǎo)致基礎(chǔ)共振頻率及共振振幅的明顯增大。由式（36）可以得知，在其他參數(shù)一定的情況下，基礎(chǔ)質(zhì)量的變化僅對(duì)共振頻率產(chǎn)生影響。由于基礎(chǔ)質(zhì)量的減小導(dǎo)致基礎(chǔ)共振點(diǎn)處頻率的增大，入射波頻率的增加造成了基礎(chǔ)底部作用力矩的增長(zhǎng)，最終導(dǎo)致基礎(chǔ)共振振幅的增大。

圖4 不同m*值時(shí)η 隨ω0 變化 Fig.4 η versus ω0 under different values of m*

在飽和土體中，b*為反映土骨架與孔隙水黏性耦合的系數(shù)，隨著 b*增大，土體滲透性逐漸降低。圖5 反映了土體滲透性對(duì)基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)的影響。同時(shí)將飽和土體反映流體特性的參數(shù)取為極小值（a、M*、 ρ*、 b*取為 10-5），把飽和兩相介質(zhì)退化到單相彈性介質(zhì)的情況，而其他參數(shù)保持不變，將計(jì)算結(jié)果與飽和介質(zhì)的振動(dòng)情況進(jìn)行對(duì)比。如圖所示，由于飽和土體中孔隙水的作用，與單相彈性介質(zhì)中搖擺振動(dòng)相比，飽和地基中基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)共振振幅有所減小。同時(shí)隨著土體滲透性的減?。?b*= 100），基礎(chǔ)共振振幅明顯減小，共振頻率略有增加。但也可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于滲透性較小的土體，基礎(chǔ)位移曲線(xiàn)的衰減要慢。當(dāng)入射頻率大于共振頻率時(shí)，如ω0＞0.7 時(shí)，隨 b*的增加，土體中基礎(chǔ)的搖擺位移增大。

圖5 不同b*值時(shí)η 隨ω0 變化 Fig.5 η versus ω0 under different values of b*

圖6 反映了Rayleigh 波作用下飽和地基表面透水條件對(duì)基礎(chǔ)振動(dòng)的影響。相比于透水邊界的情況，當(dāng)?shù)鼗砻娌煌杆畷r(shí)，基礎(chǔ)的共振振幅有所減小。其原因在于不透水條件下，飽和地基中土骨架及孔隙水的相互作用更為強(qiáng)烈，激振波能量耗散，從而導(dǎo)致基礎(chǔ)的搖擺振動(dòng)減弱。

圖6 不同透水條件下η 隨ω0 變化 Fig.6 η versus ω0 under different drainage conditions

5 結(jié) 論

（1）無(wú)論其他參數(shù)如何取值，隨頻率的變化，基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)存在共振現(xiàn)象。泊松比的增加或者基礎(chǔ)質(zhì)量的減小都將導(dǎo)致基礎(chǔ)共振頻率及共振振幅的增大。

（2）由于孔隙水的影響，飽和土中基礎(chǔ)位移要小于彈性介質(zhì)中的情況，隨著土體滲透性減小，基礎(chǔ)共振振幅隨之減小，但位移曲線(xiàn)衰減減弱。

（3）由于水-土相互作用的影響，相比于不透水邊界，透水邊界下的基礎(chǔ)搖擺振動(dòng)更加劇烈。

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