談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)、形間的對(duì)應(yīng)與互助來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，數(shù)形結(jié)合思想不但廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，而且滲透于學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中。本文闡述了數(shù)形結(jié)合的概念，同時(shí)通過(guò)實(shí)例討論了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)改革

【中圖分類(lèi)號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2012）09－0132－02

隨著教學(xué)改革的不斷深入，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想一直是一個(gè)備受關(guān)注的話題。數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解認(rèn)識(shí)。掌握這些思想可以為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程打下良好的基礎(chǔ)。關(guān)于數(shù)學(xué)思想歸納起來(lái)大致有以下幾種：方程思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、函數(shù)思想、化歸思想等。數(shù)形結(jié)合思想被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要途徑。“數(shù)”主要指實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或代數(shù)對(duì)象及其關(guān)系，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物?！靶巍敝饕侵笌缀螆D形，屬于形象思維的范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合能使人充分運(yùn)用左、右腦的思維功能，相互依存，彼此激發(fā)，全面、協(xié)調(diào)、深入地發(fā)展人的思維能力。數(shù)形結(jié)合思想就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來(lái)考查的思想方法。根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究。

一 數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

近年的高考試卷中，每年都有導(dǎo)數(shù)題目，并且必有考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、實(shí)際應(yīng)用等的題目，學(xué)生在學(xué)習(xí)和解答時(shí)，大多十分茫然，不知從何下手。在教學(xué)過(guò)程中，解決此類(lèi)問(wèn)題是將抽象化為直觀，時(shí)刻給學(xué)生滲透和灌輸數(shù)形結(jié)合思想會(huì)取得很好的效果。

例1，設(shè)f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)連續(xù)，f ′（x）的圖形如圖1，則f（x）有（ ）。

A、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)；

B、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)；

C、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)；

D、三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)。

分析：該題中要判斷的是f（x）取極大值和極小值的情況，所給條件是f ′（x）的圖形，這就需要利用數(shù)形結(jié)合思想去分析、推理、判斷。根據(jù)f ′（x）的圖像在x軸的上方或下方，確定f ′（x）在各個(gè)給定點(diǎn)左右兩側(cè)是取正值或取負(fù)值，進(jìn)而確定f ′（x）的符號(hào)，最后確定給定的點(diǎn)是極大值或極小值。

解：因?yàn)閒（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)連續(xù)，所以可以想象f（x）的圖形是一條連續(xù)曲線。根據(jù)f ′（x）的圖形，能確定f ′（x1）﹦f ′（x2）﹦f ′（x3）﹦0，即x1、x2、x3是f（x）的駐點(diǎn)，x﹦0是不可導(dǎo)點(diǎn)。這一步是由形確定數(shù)值，充分體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想。再根據(jù)函數(shù)取極值的必要條件知x1，x2，x3和x﹦0可能是f（x）的極值點(diǎn)。利用f ′（x）的圖形和x軸上、下方的位置關(guān)系，由形確定數(shù)值，可以看出：

當(dāng)x＜x1時(shí)，f ′（x）＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f ′（x）＜0；當(dāng)x2＜x＜0時(shí)，f ′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜x3時(shí)，f ′（x）＜0；當(dāng)x3＜x時(shí)，f ′（x）＞0。

因此，x1和0是f（x）的極大值點(diǎn)，x2和x3是f（x）的極小值點(diǎn)，即答案C正確。

二 數(shù)形結(jié)合思想在概率教學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)概率首先要學(xué)習(xí)事件間的關(guān)系（運(yùn)算）等預(yù)備知識(shí)，而事件間的關(guān)系（運(yùn)算）也很抽象，學(xué)生較難理解、掌握。這時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想借助圖形就可以直觀地看出這些關(guān)系（運(yùn)算），從而較容易理解掌握。

例2，互斥事件與互逆事件的區(qū)別與關(guān)系：互斥事件的定義給出后學(xué)生理解不深，基本停留在字面上，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想借助圖2講解就很容易。從圖2可直觀地看出事件A與B沒(méi)有任何交叉的部分，從而使學(xué)生理解到它們是不能同時(shí)發(fā)生的，這種情況就是事件間的互斥關(guān)系。而互逆事件可借助圖3觀察理解，從圖3中可直觀看到A與不僅沒(méi)有任何交叉部分（即互斥），而且它們的和是基本事件Ω即A＋＝Ω，從而理解事件間的互逆關(guān)系。并可認(rèn)識(shí)到互逆一定互斥；互斥卻不一定互逆。

例3，完備事件組：完備事件組的定義給出后，90%以上的學(xué)生這時(shí)并不清楚什么是完備事件組，對(duì)此，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想借助圖4講解后，80%的學(xué)生就能明白完備事件組必須具備：（1）基本事件集Ω中的多個(gè)事件中每?jī)蓚€(gè)都沒(méi)有交叉部分（即兩兩互斥）；（2）多個(gè)事件的和是基本事件集Ω，即A1＋A2＋…＋An＝Ω。滿足上述兩個(gè)條件的事件A1，A2，…，An就構(gòu)成一個(gè)完備事件組，這樣把這個(gè)比較抽象復(fù)雜、難以理解的問(wèn)題圖形化、直觀化、簡(jiǎn)單化了。

三 數(shù)形結(jié)合思想在解高考創(chuàng)新題中的應(yīng)用

隨著新課程改革的逐步深入，創(chuàng)新題也與時(shí)俱進(jìn)。創(chuàng)新題是指以考生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，并給出一定容量的新的定義信息，通過(guò)閱讀獲取有關(guān)信息，捕捉解題資料，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律，找出解題方法，并應(yīng)用于新問(wèn)題解答的一類(lèi)題目。

例4，（2009年高考，寧夏、海南卷）用min｛a，b，c｝表示a，b，c三者中的最小值。設(shè)f（x）＝min｛2x，x＋2，10－x｝（x≥0），則f（x）的最大值為（ ）。

A、4 B、5 C、6 D、7

解此創(chuàng)新題是以高等數(shù)學(xué)中的取小函數(shù)為背景命制的試題，解題的關(guān)鍵是正確理解“min｛｝”的含義。對(duì)此題只需在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的圖像見(jiàn)圖5，即可知f（x）的最大值在y＝x＋2與y＝10－x的交點(diǎn)處取得，從而可求得當(dāng)x＝4時(shí)f（x）取最大值6。故選C。

從以上例題我們可以看到數(shù)形結(jié)合的思想就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)考查的思想，根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題去討論，或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題來(lái)研究，簡(jiǎn)言之“數(shù)形相互取長(zhǎng)補(bǔ)短”。在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想方法表現(xiàn)出的思路上的靈活、過(guò)程的簡(jiǎn)便、方法上的多樣化一目了然。該方法還可以發(fā)揮學(xué)生的想象力，將原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步提高，是深化思維的一種有效訓(xùn)練，使學(xué)生既學(xué)到了知識(shí)，又提高了能力，同時(shí)也增添了學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)習(xí)變得輕松愉快。它為我們提供了多條解決問(wèn)題的通道，使靈活性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)在其中得到了更大限度的發(fā)揮。

參考文獻(xiàn)

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［3］韋莉、張兵.2009年高考創(chuàng)新題的欣賞與品味［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009（11）：42～45

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕