李小麗 敖勝美
(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410081)
合理地運(yùn)用近似法,能夠使所研究的問(wèn)題大大地簡(jiǎn)化.但近似法也不能濫用,不適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用近似法不僅不能突出問(wèn)題的主要方面,反而會(huì)使物理問(wèn)題喪失其本質(zhì)屬性,分析所得結(jié)果可能與實(shí)際情形相差甚遠(yuǎn).
本文以第29屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽中的一道電磁學(xué)試題為例,分析其近似法運(yùn)用的合理性,提出一點(diǎn)看法,并對(duì)參考解答給以修正.
圖1
圖2
解析:如圖2所示,當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿在ab位置以速度v水平向右滑動(dòng)時(shí),因切割磁感線,在金屬桿中產(chǎn)生由b指向a的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
ε=BLv
(1)
式中L為金屬桿在ab位置時(shí)與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間的長(zhǎng)度,由幾何關(guān)系有
(2)
在金屬桿由ab位置滑動(dòng)到cd位置過(guò)程中,金屬桿與大圓環(huán)接觸的兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度L可視為不變,近似為2R1.將式(2)代入式(1)得,在金屬桿由ab滑動(dòng)到cd過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小始終為
ε=2BR1v
(3)
以I,I1和I2分別表示金屬桿、桿左和右圓弧中的電流,方向如圖2所示,以Uab表示a,b兩端的電壓,由歐姆定律有
Uab1=I1l1r0
(4)
Uab2=I2l2r0
(5)
式中l(wèi)1和l2分別為金屬桿左、右圓弧的弧長(zhǎng).根據(jù)提示,l1和l2中的電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為
(6)
(7)
B1方向豎直向上,B2方向豎直向下.
由式(4)~(7)可知整個(gè)大圓環(huán)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
B0=B2-B1=0
(8)
無(wú)論金屬桿滑動(dòng)到大圓環(huán)上何處,上述結(jié)論都成立,于是在圓心處只有金屬桿的電流I所產(chǎn)生磁場(chǎng).
圖3
在金屬桿由ab滑動(dòng)到cd的過(guò)程中,金屬桿都處在圓心附近,故金屬桿可近似視為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線,由提示,金屬桿在ab位置時(shí),桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
(9)
方向豎直向下.對(duì)應(yīng)圖2的等效電路如圖3,桿中的電流
(10)
其中R為金屬桿與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間這段金屬桿的電阻,R左和R右分別為金屬桿左右兩側(cè)圓弧的電阻,由于長(zhǎng)直金屬桿非??拷鼒A心,故
Rab≈2R1r1R左=R右≈πR1r0
(11)
利用式(3)、(9)、(10)和式(11)可得
(12)
由于小圓環(huán)半徑R2?R1,小圓環(huán)圓面上各點(diǎn)的磁場(chǎng)可近似視為均勻的,且都等于長(zhǎng)直金屬桿在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng). 當(dāng)金屬桿位于ab處時(shí),穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為
(13)
當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿滑到cd位置時(shí),桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小仍由式(13)表示,但方向相反,故穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為
(14)
在長(zhǎng)直金屬桿以速度v從ab移動(dòng)到cd的時(shí)間間隔Δt內(nèi),穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量的改變?yōu)?/p>
(15)
由法拉第電磁感應(yīng)定律可得,在小圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為大小為
(16)
在長(zhǎng)直金屬桿從ab移動(dòng)cd過(guò)程中,在小圓環(huán)導(dǎo)線中產(chǎn)生的感應(yīng)電流為
(17)
于是,利用式(12)和式(17),在時(shí)間間隔Δt內(nèi)通過(guò)小環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量為
(18)
此題是一道綜合性很強(qiáng)的物理競(jìng)賽題,從題目中描述的物理過(guò)程、提示中給出的公式和參考解答過(guò)程都可見(jiàn)其牽涉的物理知識(shí)面之廣,對(duì)學(xué)生分析理解、綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力的要求之高.
從知識(shí)點(diǎn)來(lái)看,此題包括了直流電路的概念及計(jì)算、電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律(一般高中物理未學(xué),故在提示中給出,學(xué)生需即時(shí)理解并應(yīng)用)、場(chǎng)疊加原理、磁通量的概念及計(jì)算、電磁感應(yīng)的規(guī)律等.
從物理模型的運(yùn)用來(lái)看,此題主要涉及圓弧電流模型、長(zhǎng)直電流模型、理想電源模型、直導(dǎo)線在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)模型等.
從處理物理問(wèn)題的方法來(lái)看,解答過(guò)程中多處使用了近似的方法,并且巧妙地采用等效的方法將磁場(chǎng)中滑動(dòng)的桿和靜止的大環(huán)轉(zhuǎn)化為等效直流電路,這種方法不僅是使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化,而且會(huì)令解題的思路更為清晰.
由此可見(jiàn),此題注重考查的是學(xué)生綜合運(yùn)用電磁學(xué)相關(guān)知識(shí)和物理思維方法解決問(wèn)題的能力,的確是競(jìng)賽中一道很好的綜合題.
由題干、提示和參考解答可以看到,處理這一具體物理問(wèn)題時(shí)做出了許多近似,最主要的有4處.
首先,在計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí),近似地認(rèn)為滑動(dòng)過(guò)程中兩接觸點(diǎn)間金屬桿的長(zhǎng)度為不變值,且L≈2R1.這是由于考慮到式(2)的幾何近似和運(yùn)動(dòng)區(qū)間很小的因素,顯然這個(gè)近似處理是合理的.
其次,在計(jì)算金屬桿中電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)時(shí),將金屬桿近似地視為長(zhǎng)直導(dǎo)線,從而就可利用提示中所給出的公式.這是由于滑動(dòng)過(guò)程中,金屬桿都在小圓環(huán)附近,場(chǎng)點(diǎn)到桿的距離遠(yuǎn)小于桿的長(zhǎng)度,無(wú)限長(zhǎng)近似也是合理的.
再者,在計(jì)算左、右大圓弧電流在小圓環(huán)處的磁場(chǎng)時(shí),近似地都用圓心處的磁場(chǎng)替代了,這才會(huì)有二者疊加后為零的結(jié)果,如式(8)所見(jiàn).這是題干中的條件R2?R1所致,也是一種合理的近似.
最后,在計(jì)算載流金屬桿的磁場(chǎng)通過(guò)小圓環(huán)的磁通量時(shí),將磁場(chǎng)近似地視為勻強(qiáng)磁場(chǎng).這純粹因?yàn)轭}干中“假設(shè)金屬桿和大圓環(huán)的電流在小圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)”,這種近似是否合理呢?筆者認(rèn)為值得商榷.
我們認(rèn)為“假設(shè)金屬桿的電流在小圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)”(以下簡(jiǎn)稱“假設(shè)”)與題干中給的其他幾何條件矛盾.“假設(shè)”成立的條件應(yīng)該是圓環(huán)的幾何尺度遠(yuǎn)小于桿環(huán)間的距離,而不是參考解答中的R2?R1,且題干表明金屬桿是在小圓環(huán)附近運(yùn)動(dòng)的,故“假設(shè)”本身就不恰當(dāng),由此所做的近似也是不合理的.
上面我們分析了由“假設(shè)”所做的近似的不合理性,由此可以判斷參考解答的最后結(jié)果也會(huì)有誤.下面我們嘗試不依照“假設(shè)”做近似,運(yùn)用微積分的方法對(duì)此問(wèn)題的結(jié)果做一些修正.
圖4
(19)
取面元dS=2R2sinθdr,穿過(guò)該面積上的磁通量為
(20)
式中r,θ見(jiàn)圖4所示,故穿過(guò)小環(huán)的磁感應(yīng)通量為
(21)
再令tanα=x,做第二次變量替換后有
(22)
(對(duì)此積分結(jié)果的正確性,可直接用Mathematica軟件驗(yàn)證)
把式(22)代入式(21)中得
(23)
則原解答中的式(14)~(17)分別改為
(24)
(25)
(26)
(27)
于是,在時(shí)間間隔Δt內(nèi)通過(guò)小環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量為
(28)