對wallis 雙邊不等式的一個改進及應用①

池愛子， 鄭米海， 鄭鵬飛

(臺州學院，浙江 臨海317000)

0 引 言

Wallis 公式指的是

Wallis 不等式［1］指的是:對于n = 1，2，…，有

文獻［2］將式(1)改進為:n = 1，2，…，有

文獻［3］將(2)改進為:n = 1，2，…，有

其中

文獻［4］將(3)改進為:n = 1，2，…，有

其中

本文對式(4)中的ζn及ηn給出了更好的一個表示式.

1 定理及證明

定理1 對于n = 1，2，…，有

其中

由Wallis 公式，有

考察數(shù)列{xn}的單調(diào)性.為此，考慮

易知

分別記上式分子，分母為An和Bn，那么

于是

由于

所以

如果Δn＞0，這說明此時數(shù)列{xn}是嚴格遞增數(shù)列.

當α0= 3，

令Δn＞0，此時考慮分母小于0，只要取使β(11 +β)+3n(-6 +7β)+2n2(-9 +8β)＜0 最大的β即可.

令

只要滿足:

即可，解得

最小的β 即可.同理，只要滿足

所以

同理可得，右邊

證明完畢.

2 定理的應用

2.1 Catalan 數(shù)

文獻［5］給出了關于Catalan 數(shù)

的一個估計:

應用定理1，給出Catalan 數(shù)的另一個估計:

2.2 各類雙邊不等式的數(shù)值比較

表1 各類雙邊不等式左邊的誤差比較

表2 各類雙邊不等式右邊的誤差比較

由上述表格可知，(5)式優(yōu)于(1 ～4)式. 因此本文得到的結果關于Wallis 雙邊不等式的加強其結果更加精細.

［1］ D.s.密特利諾維奇著，張小萍.王龍譯. 解析不等式［M］.北京:科學出版社，1987，259.

［2］ Kazarinoff D K.On Wallis Formula［J］. Edinburgh Math Notes，1956，40:19 -21.

［3］ 趙德鈞.關于含有WaUis 公式的雙邊不等式［J］.數(shù)學的實踐與認識，2004(7)，34(7):166 -188.

［4］ 張國銘.關于Wallis 不等式的上界和下界［J］.數(shù)學的實踐與認識，2007(3)，37(5):111 -116.

［5］ 徐利治，羅笑南.關于含有Stirling 公式的雙邊不等式［J］.數(shù)學的實踐與評論，1999，19(3):491 -494.

［6］ 匡繼昌.常用不等式(第三版)［M］.濟南:山東科學技術出版社，2004:96 -97.

［7］ 齊玉霞，周金峰.Wallis 不等式的新改進［J］. 數(shù)學的實踐與認識，2009，39(8):224 -227.

［8］ Zhao yue-qing，Wu qing-biao.Wallis Inequality with a Parameter［J］. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics，Volume 7，Issue 2，Article 56，2006.