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      有關(guān)環(huán)的有限可公理化問題①

      2013-08-15 00:45:33萬展翔陳國龍
      關(guān)鍵詞:公理化公理素?cái)?shù)

      萬展翔, 陳國龍, 張 龍

      (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北235000)

      1 預(yù)備知識

      下面定義1 來自文獻(xiàn)[1 ~3]的整理:

      定義1 設(shè)L = {+,·,0,1},+,·是二元函數(shù)符號,0,1 是常量符號,μ 是L 的一個(gè)模型,Γ 是由下列語句組成的理論:

      (1)(x +y)+z ≡x +(y +z)(加法結(jié)合律);

      (2)(x·y)·z ≡x·(y·z)(乘法結(jié)合律);

      (3)y(x + y ≡0 ∧y + x ≡0)(有逆元);

      (4)x + y ≡y + x(加法交換律);

      (5)x +0 ≡x ∧0 +x ≡x(0 是加法單位元);

      (6)1·x ≡x·1(1 是乘法單位元);

      (7)x·(y + z)≡x·y + x·z;(y + z)·x ≡y·x + z·x(乘法對加法的分配律);

      (8)x·y ≡0 →x ≡0 ∨y ≡0;

      (9)x·y ≡y·x(乘法交換律);

      (10)1 ≠0;

      (11)(x ≠0 →?y(x·y ≡1));

      (12)存 在 素 數(shù) p, 使 p · 1 ≡ 0, 即

      (13)任意素?cái)?shù)p,都有p·1 ≠0.

      若μ 滿足(1)~(8),則稱μ 是無零因子幺環(huán);若μ 滿足(1)~(9),則稱μ 是整環(huán);若(1)~(11)中,除了(9)外,μ 都滿足,則稱μ 是除環(huán);若μ 滿足(1)~(11)則稱μ 是域;若μ 滿足(1)~(12),則稱μ 是特征為p 的域,否則若(1)~(13)中,除了(12)外,μ 都滿足,則稱μ 是特征為0 的域.仿此可以定義特征為0(或p)的整環(huán)、除環(huán)、無零因子幺環(huán)模型.

      定義2[2]稱語句集Σ 是理論T 的一組(非邏輯的)公理,如果Σ├T,且T├Σ.由完全性定理,若Σ 是T 的公理,則Σ ╞T 且T ╞Σ,即Σ 與T 有相同的模型.如果T 有一公理集Σ,而Σ 有限,則稱T 有限可公理化.

      引理1[4]語句φ 在任意一個(gè)特征為零的無零因子幺環(huán)中真,則對任意n <ω,存在素?cái)?shù)p >n,使得φ 在特征為p 的無零因子幺環(huán)中真.

      引理2[1]語句φ 在任意一個(gè)特征為零的整環(huán)中真,則對任意n <ω,存在素?cái)?shù)p >n,使得φ 在特征為p 的整環(huán)中真.

      引理3[1]語句φ 在任意一個(gè)特征為零的除環(huán)中真,則對任意n <ω,存在素?cái)?shù)p >n,使得φ 在特征為p 的除環(huán)中真.

      引理4[1]語句φ 在任意一個(gè)特征為零的域中真,則對任意n <ω,存在素?cái)?shù)p >n,使得φ 在特征為p 的域中真.

      2 主要成果及證明

      定理1 設(shè)L = {+,·,0,1},則無零因子環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

      證明 假設(shè)無零因子幺環(huán)的特征為零能在L中有限公理化.設(shè)L 的語句φ 表示無零因子幺環(huán)的性質(zhì)“特征為零”,Γ 是無零因子幺環(huán)的公理集,令T = Γ ∪{φ},則由假設(shè),T 可有限公理化.設(shè)μ ╞T,則μ ╞T 當(dāng)且僅當(dāng)μ 是特征為零的無零因子幺環(huán)模型.又μ ╞φ,從而φ 在任意特征為零的無零因子幺環(huán)中真.由引理1 知,存在充分大的素?cái)?shù)p,使得φ 在特征為p 的無零因子幺環(huán)中真.這與T 可有限公理化矛盾,從而無零因子幺環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

      推論1 設(shè)L = {+,·,0,1},則整環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

      證明 假設(shè)整環(huán)的特征為零能在L 中有限公理化.設(shè)L 的語句φ 表示整環(huán)的性質(zhì)“特征為零”,Γ 是整環(huán)的公理集,令T = Γ ∪{φ},則由假設(shè),T可有限公理化.設(shè)μ ╞T,則μ ╞T 當(dāng)且僅當(dāng)μ 是特征為零的整環(huán)模型.又μ ╞φ,從而φ 在任意特征為零的整環(huán)中真.由引理1 知,存在充分大的素?cái)?shù)p,使得φ 在特征為p 的整環(huán)中真.這與T 可有限公理化矛盾,從而整環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

      推論2 設(shè)L = {+,·,0,1},則除環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

      推論3 設(shè)L = {+,·,0,1},則域的特征為零不能在L 中有限公理化.

      注:推論2 與推論3 的證明與定理1,推論1 的證明相似.

      [1] 段彥峰,陳國龍,武成偉,等.緊致性定理在近世代數(shù)中的應(yīng)用[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)理工,2012,9(5):9 -10.

      [2] 沈復(fù)興.模型論導(dǎo)引[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1995:71 -81.

      [3] 韓士安,林磊.近世代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2004:122 -129.

      [4] 段彥峰,陳國龍,武成偉,等. 模型論在環(huán)論中的應(yīng)用[J]. 淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,33(3):32 -33.

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