朱豐，張群，李松，馮有前，張維強(qiáng)

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077;2.93508 部隊(duì)，北京100079;3.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安710051;4.空軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710051;5.95947 部隊(duì)，四川 成都610081)

0 引言

彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)包括自旋和錐旋兩種運(yùn)動(dòng)方式。文獻(xiàn)［1］分析了錐形目標(biāo)的錐旋模型及其微多普勒。文獻(xiàn)［2］探討了錐形彈頭的進(jìn)動(dòng)模型及其微多普勒。近年來(lái)，基于高分辨雷達(dá)的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒特征提取技術(shù)逐漸得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的重視。彈道導(dǎo)彈目標(biāo)屬于小尺寸目標(biāo)，為利用高分辨雷達(dá)技術(shù)準(zhǔn)確識(shí)別出不同的彈道導(dǎo)彈目標(biāo)，對(duì)分辨率要求是比較高的。由高分辨雷達(dá)原理知，為獲得足夠高的距離分辨率，需要發(fā)射信號(hào)具有很大的帶寬，這就對(duì)數(shù)字信號(hào)處理機(jī)提出了一定的挑戰(zhàn)。為此，學(xué)術(shù)界提出了線性調(diào)頻步進(jìn)信號(hào)(FSCS)來(lái)合成大帶寬［4］。但在利用該信號(hào)合成大帶寬的工程中，需要發(fā)射的線性調(diào)頻步進(jìn)信號(hào)子脈沖個(gè)數(shù)較多，很可能出現(xiàn)子脈沖回波丟失或者受損的情況，造成FSCS 頻譜的間斷，那么如何用較少的FSCS 子脈沖數(shù)，即FSCS 頻譜稀疏條件下，同樣合成大帶寬，有效完成微多普勒信息的提取工作有待研究［5］。

壓縮感知(CS)理論是近年來(lái)信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)［6］。利用CS 理論對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理可以不用滿足奈奎斯特采樣定理的要求，而獲得足夠的目標(biāo)信息，它能以較少的資源完成所需的高分辨合成。本文將CS 理論引入到頻譜稀疏FSCS 的高分辨合成中，利用頻譜稀疏的FSCS 同樣實(shí)現(xiàn)高分辨的合成，有效完成微多普勒信息的提取工作。此外，利用CS 理論重構(gòu)出的結(jié)果是由許多沖激函數(shù)組成的，這些沖激函數(shù)可以有效地抑制譜圖中的旁瓣影響［7］，更有利于后續(xù)微多普勒信息的提取工作。

本文繼續(xù)針對(duì)高分辨雷達(dá)譜圖上的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒特征提取問(wèn)題展開一定的研究工作，利用彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)(包括錐旋)微多普勒在譜圖上的特征曲線的光滑性，提出利用應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)完成微多普勒信息提?。?］。

1 基于FSCS 的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒分析

假設(shè)FSCS 脈沖串中包括N 個(gè)子脈沖，脈沖間頻率步進(jìn)值為Δf，子脈沖寬度為T1，子脈沖帶寬為B1，子脈沖重復(fù)間隔為Tr.假設(shè)雷達(dá)觀測(cè)時(shí)間為T，觀測(cè)過(guò)程中雷達(dá)發(fā)射MB=「T/(TrN)?個(gè)脈沖串，即m=1，2，…，MB，「·?表示向正無(wú)窮大取整。

本文以有翼彈頭為例展開相關(guān)的分析［2，9］。彈道導(dǎo)彈的進(jìn)動(dòng)包括彈頭自身圍繞重心軸的自旋和錐旋，其中錐旋是指彈頭繞對(duì)稱軸以外的某空間軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，“自旋”+“錐旋”就是進(jìn)動(dòng)。彈頭進(jìn)動(dòng)時(shí)，其與雷達(dá)之間的空間幾何變換關(guān)系如圖1所示，其中(U，V，W)為雷達(dá)坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)為O，雷達(dá)位于O 點(diǎn).(x，y，z)為目標(biāo)本地坐標(biāo)系，也稱為彈體坐標(biāo)系［3］，其坐標(biāo)原點(diǎn)為目標(biāo)的質(zhì)心O'，方位角為α'，相對(duì)于錐旋軸的仰角β'，O'z 軸為目標(biāo)對(duì)稱軸，也是自旋軸，本地坐標(biāo)系隨彈頭的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。設(shè)散射點(diǎn)P 在本地坐標(biāo)系中的初始位置矢量為rp=(xp，yp，zp)，其在不同時(shí)刻到雷達(dá)的距離為R(m).(X，Y，Z)為參考坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)P0(假設(shè)為參考點(diǎn))位于O'z 軸，一般情況下，取自旋軸與錐旋軸的交點(diǎn)為參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)，參考坐標(biāo)系(X，Y，Z)與雷達(dá)坐標(biāo)系(U，V，W)平行，只隨彈頭的平動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。參考點(diǎn)P0在本地坐標(biāo)系中的位置矢量r0=(0，0，z0)，參考坐標(biāo)系中的位置矢量為0 =(0，0，0)，雷達(dá)坐標(biāo)系中的方位角和仰角分別為α 和β，其在不同時(shí)刻到雷達(dá)的距離為R0(m).

圖1 彈道導(dǎo)彈錐形彈頭的進(jìn)動(dòng)模型Fig.1 Precession model of cone warhead

雷達(dá)發(fā)射的第m 個(gè)脈沖串里的第i 個(gè)子脈沖可以表達(dá)為

式中:i=0，1，2，…，N-1;m=0，1，2，…，MB-1;

fc+iΔf 是第i 個(gè)子脈沖的載頻;μ 為線性調(diào)頻子脈沖的調(diào)頻斜率。通過(guò)一定的處理［10］，可以得到對(duì)粗分辨距離像(CRRP)采樣后的結(jié)果，如下

式中:c 為電磁波的傳播速度;σ 為散射點(diǎn)P 的反射系數(shù);RΔ(m)為目標(biāo)散射點(diǎn)到雷達(dá)距離與參考點(diǎn)到雷達(dá)距離之差。再對(duì)SCRRPi(i;m)做關(guān)于i 的N 點(diǎn)IDFT，可得到高分辨距離像(HRRP)，

|SHRRP(kX;m)|即為譜圖。從(4)式中可以看出，|SHRRP(kX;m)|的峰值出現(xiàn)在

為m 的一個(gè)函數(shù)。分析彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)情況，散射點(diǎn)P 在參考坐標(biāo)系中初始位置矢量可寫為

式中Rinit為初始旋轉(zhuǎn)矩陣，即初始時(shí)刻本地坐標(biāo)系到參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣［2］

對(duì)于進(jìn)動(dòng)，m 時(shí)刻P 點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中位置矢量為

式中Tconning、Tspinning分別為彈頭在參考坐標(biāo)中的錐旋和自旋矩陣。根據(jù)Euler-Rodrigues 繞矢量旋轉(zhuǎn)公式［2］，可得

式中ωc和ωs、1c和1s、Ec和Es分別為錐旋和自旋的旋轉(zhuǎn)角速度、單位矢量及相應(yīng)的擴(kuò)充矩陣［3］。

則m 時(shí)刻

式中‖‖表示取范數(shù)運(yùn)算。

首先設(shè)彈道導(dǎo)彈無(wú)自旋，Tspinning=0，分析錐旋。m 時(shí)刻，散射點(diǎn)P 在參考坐標(biāo)系中位置矢量

則m 時(shí)刻，RΔ(m)可以表示為

因此，各個(gè)HRRP 中對(duì)應(yīng)的峰值位置可以表示為

分析(14)式，由于I 和Ec均為常數(shù)矩陣，rP為常數(shù)向量，因此，kX1隨m 的變化規(guī)律由sin (ωcm)和cos (ωcm)線性決定。kX1的標(biāo)量展開式可簡(jiǎn)記為

式中Z 和φ0均為常數(shù)?？梢?jiàn)，單散射點(diǎn)在各個(gè)HRRP 中對(duì)應(yīng)的峰值位置隨m 的變化規(guī)律是一條同角頻率的正弦曲線，即錐旋微多普勒特征在譜圖上表現(xiàn)為一條正弦曲線，且曲線周期為錐旋周期。

下面考察kX1(m)的光滑性，即對(duì)kX1(m)求關(guān)于自變量m 的導(dǎo)函數(shù)，并考察該導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。kX1(m)關(guān)于自變量m 的導(dǎo)函數(shù)可寫為

由于

所以kX1(m)關(guān)于自變量m 的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，因此，kX1(m)關(guān)于自變量m 是光滑的。

當(dāng)彈道導(dǎo)彈存在自旋和錐旋，即進(jìn)動(dòng)情況。這時(shí)，各個(gè)HRRP 中峰值位置可進(jìn)一步表示為

令g(m)=(I +L1+L2+L3+L4)rP，可以看出，單散射點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)微多普勒特征在譜圖上表現(xiàn)為正弦曲線的一些組合，包括線性組合和一次乘積組合，因此，進(jìn)動(dòng)微多普勒特征曲線具有周期性，且周期為錐旋周期和自旋周期的最小公倍數(shù)。

下面考察kX2(m)的光滑性，對(duì)kX2(m)求關(guān)于自變量m 的導(dǎo)函數(shù)來(lái)考察導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。由于kX2(m)的標(biāo)量展開式過(guò)于復(fù)雜，因此，考察范數(shù)運(yùn)算符號(hào)里面函數(shù)的光滑性，即對(duì)g(m)求導(dǎo)，得

由于Ec、E2c、Es和E2s均為常數(shù)矩陣，所以L'1、L'2、L'3和L4' 均關(guān)于自變量m 連續(xù)，則g(m)的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于自變量m 連續(xù)，即

由于取范數(shù)運(yùn)算不影響函數(shù)的連續(xù)性，所以kX2(m)關(guān)于自變量m 的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，因此，kX2(m)關(guān)于自變量m 是光滑的。

2 基于CS 理論的頻譜稀疏FSCS 譜圖重構(gòu)

對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)的信號(hào)x∈RN，假設(shè)其在某規(guī)范正交基Ψ={ψl}上是K 稀疏的(K?N)，或稱稀疏度為K，用一個(gè)與Ψ 不相關(guān)的M ×N 維觀測(cè)矩陣Φ(M ＜N)對(duì)x 進(jìn)行線性變換，得到觀測(cè)集合y，顯然觀測(cè)集合y 的元素個(gè)數(shù)小于x 的元素個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的壓縮采樣。定義降維比為η =M/N.從y 重構(gòu)x 可以轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)下的最優(yōu)化問(wèn)題。本文采用正交匹配追蹤算法(OMP)來(lái)完成［11］。

構(gòu)造發(fā)射信號(hào)為頻譜稀疏FSCS［10］，其脈沖串中僅有M(M ＜N)個(gè)子脈沖，子脈沖載頻步進(jìn)值為L(zhǎng)i'Δf，i' =1，2，…，M，Li'為隨機(jī)整數(shù)，且0 ＜Li'＜N，此外，L1=0，LM=N-1，子脈沖寬度仍為T1，脈沖重復(fù)間隔為Tr.設(shè)雷達(dá)發(fā)射第0 簇頻譜稀疏FSCS 脈沖串中第i'個(gè)子脈沖信號(hào)為

式中fc+Li'Δf 為第i'個(gè)子脈沖的載波頻率。當(dāng)接收到相應(yīng)的回波信號(hào)后，依照第1 節(jié)中的處理方法，可得到對(duì)CRRP 進(jìn)行采樣后的結(jié)果為

依據(jù)壓縮感知理論，構(gòu)造降維觀測(cè)矩陣為

式中ΦM×N={φi'，i}為M×N 維的隨機(jī)部分單位陣，

式中φ1，1=φM，N=1.

由于HRRP 可通過(guò)做關(guān)于i 的IDFT 獲得，因此構(gòu)造稀疏變換矩陣Ψ 為滿足正交性的IDFT 矩陣。依照CS 理論，構(gòu)造l1范數(shù)下的最優(yōu)化問(wèn)題:

這樣，目標(biāo)函數(shù)min ‖ΨHΦHSCRRPi'(i')‖1即為所求的HRRP，可記為^SHRRP(kX).對(duì)所有m 分別重構(gòu)出HRRP，排成矩陣，即為重構(gòu)的譜圖(kX;m)|.

3 基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的進(jìn)動(dòng)特征提取方法

式中:ssn'為第n'個(gè)元素在(i;m)中對(duì)應(yīng)的幅度值;ttn'為第n'個(gè)元素在(i;m)中對(duì)應(yīng)的行數(shù);uun'為第n'個(gè)元素在(i;m)中對(duì)應(yīng)的列數(shù);M'，l，ε 均為參數(shù)，滿足l ＞0 且l∈2Z +1，M' ＞0 且M'∈Z，ε ＞0.具體步驟如下:

1)給定l ＞0 且l∈2Z+1，ε ＞0，M' ＞0 且M'∈Z，初始零向量ql×11，ql×12，pN'×1令計(jì)數(shù)值w = 1，w1=0.

2)令初始狀態(tài)為s0=max{(i;w)}，i =1，2，…，N，此時(shí)，記imax=i，p(w)=imax.

3)令w=w+1.

4)判斷，若w ＜MB，則轉(zhuǎn)至步驟5);若w≥MB，則停止，令所提取到的微多普勒信息

5)i1= - (l -1)/2，q1(w1+1)=(imax+i1;w).

6)判斷，若q1(w1+1)≥ε，則令q2(w1+1)=imax+ i1，i1= i1+ 1，w1= w1+ 1，轉(zhuǎn)至步驟7);若q1(w1+1)＜ε，則令i1=i1+1，轉(zhuǎn)至步驟7).

7)判斷，若i1≤(l -1)/2，則轉(zhuǎn)至步驟5);若i1＞(l-1)/2，則轉(zhuǎn)至步驟8).

8)判斷，若w1≤0，則p(w)= imax，轉(zhuǎn)至步驟3);若w1＞0，則轉(zhuǎn)至步驟9).

9)計(jì)算

10)s'0=min{G(i2)}，i2=1，2，…，l，記imax=q2(i2)，p(w)= imax，令w1= 0，ql×12= 0，轉(zhuǎn)至步驟3).

4 仿真

假設(shè)高分辨雷達(dá)發(fā)射信號(hào)載頻10 GHz，F(xiàn)SCS脈沖串內(nèi)子脈沖寬度為4.882 8 ×10-7s，調(diào)頻斜率4.80 ×1013，頻率步進(jìn)值4.687 5 MHz，每個(gè)脈沖串含有N=128 個(gè)子脈沖，合成帶寬3 GHz，距離分辨率為0.05 m.假設(shè)彈頭為有翼彈頭［2，9］，散射點(diǎn)模型如圖2所示。圖中，散射點(diǎn)1～3 的坐標(biāo)分別為(0，0，1)、(0.5，0.5，-0.5)和(-0.5，-0.5，-0.5).設(shè)彈頭進(jìn)動(dòng)軸在參考坐標(biāo)系中的方位角α' =60°，相對(duì)于錐旋軸仰角β' =45°，初始?xì)W拉角φ =45°，θ =60°，φ = 90°，彈頭自旋和錐旋旋轉(zhuǎn)角速度均為2π rad/s，即周期均為1 s，參考點(diǎn)在本地坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(0，0，-0.5)，積累時(shí)間2 s，F(xiàn)SCS 脈沖串重復(fù)頻率1 kHz.傳統(tǒng)方法獲得的譜圖如圖3(a)所示。

圖2 彈頭模型在本地坐標(biāo)系中表現(xiàn)形式Fig.2 Representation of warhead model in local coordination

當(dāng)對(duì)發(fā)射信號(hào)FSCS 進(jìn)行頻譜稀疏處理，假設(shè)稀疏度K=4，對(duì)每個(gè)脈沖串中隨機(jī)減少96 個(gè)子脈沖，M=32，獲得頻譜稀疏的FSCS，即降維比為0.25時(shí)，利用CS 理論重構(gòu)出的譜圖如圖3(b)所示。CS理論重構(gòu)出的譜圖與傳統(tǒng)方法獲得的譜圖相比可以看出，旁瓣可被有效抑制，譜圖信息更加清晰。

圖3 獲得的譜圖Fig.3 Obtained spectrum

圖4(a)為利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃提取到的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒特征曲線，其中，l=3，ε=0.01，M' =30.可以看出，提取到的正弦曲線周期為1 000 個(gè)慢時(shí)間單元，每個(gè)慢時(shí)間單元代表1s/1 000 =10-3s，因此，計(jì)算出錐旋周期為1 s，與仿真中假設(shè)的錐旋角速度2π rad/s，即錐旋周期1 s 是一致的，這驗(yàn)證了(15)式的正確性;提取到的進(jìn)動(dòng)微多普勒曲線周期也為1 000 個(gè)慢時(shí)間單元，可計(jì)算出進(jìn)動(dòng)周期也為1 s，由于仿真中假設(shè)錐旋、自旋周期均為1 s，因此，計(jì)算獲得的進(jìn)動(dòng)周期1 s 滿足錐旋和自旋周期的最小公倍數(shù)，這驗(yàn)證了(18)式～(22)式的正確性。

圖4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃提取到微多普勒曲線Fig.4 Extracted micro-Doppler curve by dynamic planning

圖5為頻譜稀疏FSCS 降維比0.25 條件下，高斯白噪聲背景中信噪比(SNR)分別為-20 dB 和-25 dB時(shí)，利用本文CS 方法重構(gòu)出的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒譜圖，圖4(b)為當(dāng)信噪比為-20 dB 時(shí)，利用本文基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的提取方法提取到的彈頭錐旋和進(jìn)動(dòng)微多普勒特征曲線信息?？梢钥闯觯疚姆椒ň哂幸欢ǖ目乖胄?。

5 結(jié)論

圖5 降維比0.25 和不同信噪比下CS 方法重構(gòu)出的譜圖Fig.5 Reconstructed CS spectrum for η=0.25 and different SNRs

本文針對(duì)彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)微多普勒信息提取問(wèn)題展開研究，首先通過(guò)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)分析了FSCS體制高分辨雷達(dá)譜圖上彈頭進(jìn)動(dòng)微多普勒特征，得到了如下結(jié)論:1)譜圖上的錐旋微多普勒特征曲線仍為正弦形式，且周期為錐旋周期;2)譜圖上的進(jìn)動(dòng)微多普勒特征曲線具有周期性，且周期為錐旋和自旋周期的最小公倍數(shù)。進(jìn)一步，結(jié)合CS 理論，提出一種基于頻譜稀疏FSCS 的微多普勒譜圖重構(gòu)方法。該方法可在大幅減少FSCS 子脈沖個(gè)數(shù)的條件下，準(zhǔn)確重構(gòu)出微多普勒譜圖信息，同時(shí)，有效抑制了譜圖中旁瓣的影響。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)CS 理論重構(gòu)出的微多普勒譜圖，利用彈頭進(jìn)動(dòng)(包括錐旋)微多普勒在譜圖上特征曲線的光滑性，提出一種基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的彈頭進(jìn)動(dòng)微多普勒信息提取方法，該方法可有效提取到譜圖上的彈頭進(jìn)動(dòng)微多普勒特征曲線。

References)

［1］ Chen V C，Li F Y，Hol S-S.Micro-Doppler effect in radar:phenomenon，model and simulation study［J］.IEEE Trans on AES，2006，42(1):2 -21.

［2］ 孫照強(qiáng)，李寶柱，魯耀兵.彈道中段進(jìn)動(dòng)目標(biāo)的微多普勒研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(3):538 -541.SUN Zhao-qiang，LI Bao-zhu，LU Yao-bing.Research on micro-Doppler of precession targets in ballistic midcourse［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31(3):538 -541.(in Chinese)

［3］ 高紅衛(wèi)，謝良貴，文樹梁，等.基于微多普勒分析的彈道導(dǎo)彈目標(biāo)進(jìn)動(dòng)特性研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(1):50 -52.GAO Hong-wei，XIE Liang-gui，WEN Shu-liang，et al.Research on precession of ballistic missile warhead based on micro-Doppler analysis［J］.Systems Engineering and Electronics，2008，30(1):50 - 52.(in Chinese)

［4］ Zhang Y H，Zhai W S.Apply super-SVA to stepped-frequency chirp signal processing based on dechirp method［C］∥2nd Asian-Pacific Conference on Synthetic Aperture Radar.Xi'an:IEEE AESS and IEEE GRSS，2009:431 -434.

［5］ Gurbuz A C，McClellan J H，Scott W R.A compressive sensing data acquisition and imaging method for stepped frequency GPRs［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2009，57(7):2640 -2650.

［6］ Donoho D L.Compressed sensing［J］.IEEE Trans on Information Theory，2006，52(4):1289 -1306.

［7］ 寇波，江海，劉磊，等.基于壓縮感知的SAR 抑制旁瓣技術(shù)研究［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2010，32(12):3022 -3026.KOU Bo，JIANG Hai，LIU Lei，et al.Study of SAR side-lobe suppression based on compressed sensing［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2010，32(12):3022 -3026.(in Chinese)

［8］ 李國(guó)勇.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2008.LI Guo-yong.Optimal controltheory and application［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2008.(in Chinese)

［9］ 黃培康，殷紅成，許小劍.雷達(dá)目標(biāo)特性［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005.HUANG Pei-kang，YIN Hong-cheng，XU Xiao-jian.Radar target property［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2005.(in Chinese)

［10］ Zhu F，Zhang Q，Lei Q，et al.Reconstruction of moving target's HRRP using sparse frequency-stepped chirp signal［J］.IEEE Sensor Journal，2011，11(10):2327 -2334.

［11］ Tropp J A，Gilbert A C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］.IEEE Trans on Information Theory，2007，53(12):4655 -4666.