何萬里

摘要： 針對模糊環(huán)境下多屬性的決策問題，首先把粗糙屬性值規(guī)范化處理并且計(jì)算各屬性權(quán)重，然后利用粗糙數(shù)運(yùn)算，期望運(yùn)算以及方差運(yùn)算把區(qū)間排序問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)排序，從而得到一種新的區(qū)間數(shù)排序方法。最后通過實(shí)例表明此方法的有效性。

Abstract： Based on the fuzzy condition in attribute decision making， first， the normalized formulas for rough attribute values are given， and the attribute weights are derived by calculation. Then， this paper employes the rough artinmetic， expected value operator and the variance value operator， to change the problem of interval number ranking into the problem of real number region ranking， obtains a new interval number ranking method based on variable precision rough set. Finally， an example is given to show the feasibility and availability of the method.

關(guān)鍵詞： 多屬性決策；區(qū)間粗糙數(shù)；期望；方差

Key words： multiple attribulte decision making；interval rough number；expected value operator；variance value operator

中圖分類號：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）03-0303-02

0 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它的理論和方法在諸多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。由于客觀事務(wù)的復(fù)雜性、不確定性，以及人類思維的模糊性，在實(shí)際的決策問題中，決策信息常常以區(qū)間粗糙數(shù)的形式給出。文獻(xiàn)[1]對這類問題給出了一種研究方法，在此基礎(chǔ)上本文對此方法作了改進(jìn)，實(shí)例證明改進(jìn)的方法應(yīng)用更加廣泛。且具有有效性。我們首先給出一些基本概念和計(jì)算公式：

1 間粗糙數(shù)

定義1[2] 設(shè)U是一個(gè)論域，并且X是一個(gè)表示概念的集合，其下近似和上近似分別定義為

■=x∈U|R■（x）？哿X，■=■R（X）

其中R（X）={y∈U|y？艿x}，R-1（X）={y∈U|x？艿y}（？艿表示一種具有自反性，但不具有對稱性和傳遞性的二元相似關(guān)系）

定義2[2]具有相同下近似和上近似的所有集合的整體稱為一個(gè)粗糙集，記為（■，■）。

定義3 一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集，記為（[a，b]，[c，d]），其中c？燮a？燮b？燮d。

定義4 設(shè)ξ=（[a，b]，[c，d]），ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1]），ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2]）均為區(qū)間粗糙數(shù)，λ>0且為實(shí)數(shù)。則有：

ξ1+ξ2=（[a1+a2，b1+b2]，[c1+c2，d1+d2]）

kξ=（[ka，kb]，[kc，kd]）

定義5[1] 設(shè)ξ=（[a，b]，[c，d]）為一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，則設(shè)ξ的期望值為

E[ξ]=■（a+b+c+d）

對于區(qū)間粗糙數(shù)，可按其期望值的大小進(jìn)行排序，即ξ1和ξ2為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，當(dāng)E[ξ1]>E[ξ2]時(shí)，則ξ1>ξ2。

定義6設(shè)ξ=（[a，b]，[c，d]）為一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，則設(shè)ξ的方差值為

σ[ξ]=■（a-E[ξ]）■+（b-E[ξ]）■+（c-E[ξ]）■+（d-E[ξ]）■

對于區(qū)間粗糙數(shù)，可按其期望值的大小進(jìn)行排序，即ξ1和ξ2為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，當(dāng)σ[ξ1]<σ[ξ2]時(shí)，則ξ1>ξ2。

2 區(qū)間粗糙數(shù)的規(guī)范化與屬性權(quán)重的確定公式

2.1 屬性權(quán)重的確定公式的規(guī)范化計(jì)算公式

設(shè)不確定型多屬性決策問題方案為X=x■，x■，…，x■，屬性集U=u■，u■，…，u■。對方案xi∈X，按第j個(gè)屬性ui進(jìn)行測度，得到xi關(guān)于ui的屬性值ξij，從而構(gòu)成決策矩陣A=（ξij）m×n。

為了消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，用下列規(guī)范決策矩陣的計(jì)算公式，即：

將決策矩陣A轉(zhuǎn)化為規(guī)范化矩陣P=（pij）m×n，其中p■=p■■，p■■，且

pij=aij/■，j∈I1，i∈m （1）

pij=（1/aij）/（■），j∈I2，i∈m （2）

其中，■=■a■，■=■1/a■

2.2 多屬性決策中屬性權(quán)重的計(jì)算

定義2.1 設(shè)ξi=a■，b■，c■，d■，（i=1，2）為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，則它們的相離度定義為

δξ■，ξ■=a■-a■+b■-b■+c■-c■+d■-d■

根據(jù)離差最大化思想[1]，可得到屬性權(quán)重計(jì)算公式為

ω■=■，j=1，2，…，n （3）

在求出屬性權(quán)重ω=ω■，ω■，…，ω■■之后，方案xi的綜合屬性值與屬性權(quán)重的關(guān)系為z■=■p■ω■，i∈m。

3 改進(jìn)的決策方法

第一步：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立決策表；

第二步：將決策矩陣用公式（1）（2）轉(zhuǎn)化為規(guī)范化決策矩陣；

第三步：根據(jù)（3）式算出各個(gè)屬性的權(quán)重，進(jìn)而計(jì)算出各個(gè)方案的綜合屬性值；

第四步：計(jì)算各方案的期望值，按定義1.5排序；

第五步：對于期望相等的方案，計(jì)算其方差，按定義1.6排序，可得到最終排序結(jié)果。

4 實(shí)例分析

某公司計(jì)劃進(jìn)行項(xiàng)目投資，擬定5個(gè)備選方案xi（i=1，2，…，5），由此建立決策表如表1。

其中投資額和風(fēng)險(xiǎn)損失為成本型屬性。期望收益和風(fēng)險(xiǎn)盈利為收益型屬性。

利用（1）（2）進(jìn)行規(guī)范化處理，結(jié)果如表2。

根據(jù)公式（3）可得屬性權(quán)重ω=（0.25，0.45，0.25，0.05）T。

可求得各方案的綜合屬性值為：

z1=（[0.1565，0.2825]，[0.0835，0.4805]）

z2=（[0.1755，0.2655]，[0.108，0.428]）

z3=（[0.1525，0.2575]，[0.0925，0.4735]）

z4=（[0.1425，0.2615]，[0.1025，0.437]）

z5=（[0.1235，0.238]，[0.074，0.375]）

計(jì)算各方案期望值，有

E[z1]=0.25，E[z2]=0.245，E[z3]=0.245，E[z4]=0.235，E[z5]=0.2025

因此五個(gè)備選方案的初步排序?yàn)椋?/p>

x2=x3>x1>x4>x5

再計(jì)算x2，x3的方案的方差得：

σ[z2]=0.0068，σ[z3]=0.209

因此五個(gè)備選方案的最終排序?yàn)椋?/p>

x2>x3>x1>x4>x5

5 結(jié)論

本文針對不確定決策中模糊量用區(qū)間數(shù)表示時(shí)，提出了一種改進(jìn)的區(qū)間數(shù)排序方法，通過計(jì)算實(shí)例表明該方法一定程度上克服了使用期望值排序的不足，是有效可行的。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾玲，曾祥艷.一類區(qū)間粗糙型多屬性決策方法的研究[J].控制與決策，2010，25（11）：1757-1760.

[2]Hwang C.L.Yoon K Multi-attribute decision making： methods and applications[M]，New York： Springer-Verlag，1981.

[3]Zelney M.MCDM： Past decade and future trends. Greenwich： JAI Press，1984， iv：68-78.

[4]Saaty T. L. The analytic hierarchy process[M]， New York： McGraw-Hill，1980.

[5]徐澤水，孫在東.一類不確定型多屬性決策問題的排序方法[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，5（3）：35-39.