二階非線性動(dòng)力方程有界解振動(dòng)的充分必要條件

王志偉，鄧志云，楊云蘇

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二階非線性動(dòng)力方程有界解振動(dòng)的充分必要條件

*王志偉，鄧志云，楊云蘇

（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009）

利用Lebesgue控制收斂定理，給出了二階非線性動(dòng)力方程有界解振動(dòng)的充分和必要條件。

二階動(dòng)力方程；振動(dòng)性；時(shí)標(biāo)

0 引言

隨著微分方程和差分方程的研究逐漸深入，人們發(fā)現(xiàn)微分方程的很多結(jié)果可以直接應(yīng)用到差分方程上去。但在某些結(jié)論上，他們又有著本質(zhì)的不同。這時(shí)人們把目光放在這個(gè)問題上，能不能找到一個(gè)新的東西，能夠?qū)⒍呓y(tǒng)一起來。1988年Stefan Hilger 首先提出了時(shí)標(biāo)的概念，它將連續(xù)分析和離散分析兩種理論統(tǒng)一起來。實(shí)際生活中有許多時(shí)標(biāo)的例子。例如，一年生植物的繁殖模型，假設(shè)該植物的數(shù)量在某一季節(jié)是連續(xù)的，而在冬季會(huì)全部死亡，但是他們的種子又會(huì)在新的季節(jié)生根發(fā)芽，成為不交叉的種群數(shù)量。泛函微分方程的振動(dòng)性理論和差分方程的振動(dòng)理論是方程定性理論的兩個(gè)重要分支，如文獻(xiàn)[2]-[7]，而時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程作為方程的一個(gè)新領(lǐng)域，其振動(dòng)性理論近年來更是引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，如文獻(xiàn)[8-10]，他們研究了幾類的動(dòng)力方程的振動(dòng)性問題。

本文討論二階非線性動(dòng)力方程

在文中假設(shè)：

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[1]設(shè)為實(shí)數(shù)集的任意非空閉子集，則稱為一時(shí)標(biāo)。例如實(shí)數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)集都是時(shí)標(biāo)；但有理數(shù)集，無理數(shù)集，復(fù)數(shù)集，開區(qū)間(1，2)都不是時(shí)標(biāo)。

2 主要結(jié)果

則方程(0.1)是振動(dòng)的。

由方程(0.1)及條件(4)有

將(2.5)代入(0.1)，得到

與假設(shè)條件(2.1)矛盾。證畢。

證明：充分性

必要性

則有

由數(shù)學(xué)歸納法知：對(duì)任意正整數(shù)，則有

3 例題

考慮二階非線性動(dòng)力方程

從而得

利用定理2.2知，方程（3.1）的每一個(gè)有界解都是振動(dòng)的。

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Necessary and Sufficient Conditions for Oscilation of Bounded Solutions of Second order Nonlinear Dynamic Equations

*WANG Zhi-wei，DENG Zhi-yun，YANG Yun-su

(School of Mathematics and physics jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China )

We mainly give necessary and sufficient conditions for oscilation of bounded solutions of second order nonlinear dynamic equations by Lebesgue’s Dominated Convergence Theorem.

second order dynamic equation; oscillation; time scales

1674-8085(2013)05-0009-04

0175.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.05.003

2013-04-08；

2013-05-21

*王志偉(1977-)，男，江西吉水人，講師，碩士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)與穩(wěn)定性研究(E-mail:whzhwh_2003@126.com);

鄧志云(1975-)，男，江西吉水人，副教授，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究(E-mail:danzhiyun@163.com);

楊云蘇(1968-)，女，江西泰和人，副教授，碩士，主要從事泛函分析研究(E-mail:pengyou19820124@163.com).