鄭 瑋，鄭毓信

（1.南京航空航天大學(xué) 人文與社會(huì)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 211106；2.南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210093）

1 從數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透談起

相信對(duì)于大多數(shù)數(shù)學(xué)教育工作者、包括一線教師而言，HPM已不再是一個(gè)十分陌生的名詞（從歷史的角度看，HPM是“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組”（International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics）的簡(jiǎn)稱或縮寫；但現(xiàn)實(shí)中又常常被理解為“數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透”），人們已普遍建立起這樣一種認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.

例如，以下就是在這方面達(dá)成的一個(gè)共識(shí)：由于個(gè)體的發(fā)展往往重復(fù)種族發(fā)展的歷史（這就是所謂的“個(gè)體發(fā)展重復(fù)律”（ontogenesis recapitulates phylogenesis））.因此，很好地了解數(shù)學(xué)史有助于教師更好地組織相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，包括依據(jù)數(shù)學(xué)史上的典型錯(cuò)誤即可預(yù)見到現(xiàn)時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)而可以采取適當(dāng)?shù)拇胧┯枰员苊饣蚣m正.另外，介紹歷史上一些著名數(shù)學(xué)家曾經(jīng)歷的曲折過(guò)程，顯然也有助于增強(qiáng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的自信心……

然而，就這方面的工作而言，還必須超越上述“常識(shí)性認(rèn)識(shí)”并不斷深化自己的認(rèn)識(shí).這不僅是指研究者應(yīng)當(dāng)更為深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)滲透的意義，而且也是指研究者要以此為依據(jù)很好地解決“如何滲透”的問(wèn)題，因?yàn)?，只有這樣，才不會(huì)始終停留于簡(jiǎn)單的“外插”與外部“組合”等作法，也才有可能徹底改變“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”這樣一種似乎完全無(wú)可奈何的現(xiàn)象.即只是口頭上肯定數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教育的滲透，在實(shí)際教學(xué)中卻很少能夠看到這方面的實(shí)際舉動(dòng).

具體地說(shuō)，上述“常識(shí)性認(rèn)識(shí)”的一個(gè)主要不足在于，其主要是從知識(shí)（和技能）的學(xué)習(xí)這一角度進(jìn)行分析.與此相對(duì)照，只有聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)、特別是“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”與“幫助學(xué)生養(yǎng)成一定的情感、態(tài)度與價(jià)值觀”這樣兩個(gè)深層次的目標(biāo)，才能更為深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)滲透的重要性.這也就是指，盡管在此論及的是數(shù)學(xué)史向“數(shù)學(xué)教學(xué)”的滲透，但還需要超出狹義的數(shù)學(xué)教學(xué)，并從數(shù)學(xué)教育的角度，特別是聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的“三維目標(biāo)”去進(jìn)行分析思考.

從數(shù)學(xué)教育的角度看，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直接相關(guān)的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的培養(yǎng)在很大程度上可被理解成如何能夠通過(guò)教師的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“數(shù)學(xué)文化”[1].以下就是關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”（乃至一般文化）的一個(gè)具體解釋：所謂“數(shù)學(xué)文化”是指人們通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）所不知不覺形成的東西，包括思維方式與行為方式等；進(jìn)而，如果說(shuō)一定的行為方式可以被看成相應(yīng)文化的“顯性成分”，那么，作為“隱性成分”的價(jià)值觀念則更加重要.

上述分析十分清楚地表明了這樣一點(diǎn)：數(shù)學(xué)（特別是，純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)）不應(yīng)等同于“數(shù)學(xué)文化”；進(jìn)而，如果教師在教學(xué)中始終未能在后一方面作出自覺的努力，包括采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施，那么，所期望的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀的培養(yǎng)”就不可能真正得到落實(shí).

另外，從同一角度去分析也可看出：盡管強(qiáng)調(diào)“過(guò)程”與“結(jié)果”的對(duì)立確實(shí)從一個(gè)角度表明了究竟為什么要高度重視數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透，但相關(guān)的認(rèn)識(shí)又不應(yīng)停留于知識(shí)（與技能）的掌握這樣一個(gè)層面，甚至也不能滿足于清楚地指明數(shù)學(xué)史的滲透有利于將“冰冷的美麗”重新轉(zhuǎn)化成為“火熱的思考”，即有利于學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，而還應(yīng)當(dāng)看到所說(shuō)的滲透直接關(guān)系到了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)如何能對(duì)學(xué)生養(yǎng)成一定的情感、態(tài)度和價(jià)值觀發(fā)揮重要的作用.例如，注意“過(guò)程”而不是僅僅著眼于“結(jié)果”，顯然也關(guān)系到了數(shù)學(xué)觀的培養(yǎng)，特別是，有利于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)和（擬）經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，包括學(xué)生理性精神的培養(yǎng)（例如，學(xué)生不僅應(yīng)當(dāng)知道相應(yīng)的算法，也應(yīng)清楚地知道這種算法的合理性），乃至逐步養(yǎng)成勇于堅(jiān)持、能承受挫折等優(yōu)良品格.

以上論述直接關(guān)系到教師究竟應(yīng)當(dāng)如何去實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透，這就是指，教師不應(yīng)“就事論事”地去思考如何將數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，而要從數(shù)學(xué)教育的“三維目標(biāo)”這一高度進(jìn)行思考，即必須依據(jù)該標(biāo)準(zhǔn)具體地去思考和判斷究竟什么樣的教學(xué)措施才是真正合適的.

針對(duì)教師在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的情況，臺(tái)灣師范大學(xué)的洪萬(wàn)生教授提出可以區(qū)分出以下3個(gè)不同的層次：（1）說(shuō)故事；（2）在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家所提供的不同方法，拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)全方位的認(rèn)知能力和思考彈性；（3）從歷史的角度注入數(shù)學(xué)活動(dòng)的文化意義，在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想[2].顯然，其中的第二層次大致相當(dāng)于“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”（順便提及，與“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”相比較，“通過(guò)數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維”可以說(shuō)是一個(gè)更為合適的主張）；然而，如果更加突出數(shù)學(xué)教育“三維目標(biāo)”，關(guān)于“第三層次”則可以作出如下更為恰當(dāng)?shù)谋硎觯涸诖怂枰牟⒎峭獠康摹白⑷搿?，而是“深入挖掘相關(guān)內(nèi)容的文化意義，充分發(fā)揮歷史材料的文化價(jià)值”.

進(jìn)而，也正是從同一角度去分析，相對(duì)于“數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透”這一提法而言，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合”可能更為合適.因?yàn)?，正如上面提到的，在此需要的并非是“外部”的滲透，而是如何深入地去挖掘與認(rèn)識(shí)相關(guān)內(nèi)容的“內(nèi)在價(jià)值”（包括思維價(jià)值與文化價(jià)值等），并能在教學(xué)中很好地加以落實(shí).當(dāng)然，作為問(wèn)題的另一方面，研究者又要清楚地看到，在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史之間的確存在一定的距離或差異，特別是，它們所采取的研究視角是很不相同的（或者說(shuō)，這兩者可以看成屬于不同的研究范式，并具有完全不同的性質(zhì)）.數(shù)學(xué)所追求的主要是簡(jiǎn)單性、普遍性與統(tǒng)一性；歷史的研究則更加關(guān)注對(duì)象的復(fù)雜性、特殊性與具體性；而且，所說(shuō)的差異又不可能通過(guò)所謂的“滲透”簡(jiǎn)單地得以消除，這在很大程度上可以看成后一方面工作所面臨的一個(gè)巨大障礙.

值得指出的是，在一些學(xué)者看來(lái)，兩者的差異甚至構(gòu)成了“一個(gè)難以逾越的障礙”[3]；但這恰又進(jìn)一步凸顯了深入研究如何具體實(shí)現(xiàn)所說(shuō)的“融合”這一問(wèn)題的重要性.

當(dāng)然，在具體論及該問(wèn)題之前，又要清楚地看到：“數(shù)學(xué)教育”不應(yīng)等同于“數(shù)學(xué)研究”，特別是，應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)教育的“三維目標(biāo)”作為判斷相應(yīng)教學(xué)恰當(dāng)性的主要依據(jù).更進(jìn)一步說(shuō)，上面的論述事實(shí)上已清楚地表明：數(shù)學(xué)教學(xué)中所追求的不應(yīng)是真實(shí)歷史的簡(jiǎn)單重現(xiàn)，而應(yīng)是歷史的適當(dāng)重建，這就是指，數(shù)學(xué)史的適當(dāng)“改造”應(yīng)看成是教學(xué)中很好實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合”一個(gè)基本途徑.

后一論述與弗賴登塔爾關(guān)于“再創(chuàng)造”的論述十分一致.以下就從“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合”這一角度對(duì)弗賴登塔爾的論點(diǎn)做出進(jìn)一步分析.

2 關(guān)于“再創(chuàng)造”的若干思考

前面已經(jīng)提及，這是著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的一個(gè)觀點(diǎn)：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是經(jīng)過(guò)改良、同時(shí)有更好引導(dǎo)的歷史過(guò)程.”[4]上述論點(diǎn)已獲得了人們的普遍贊同，更有不少學(xué)者、包括中國(guó)學(xué)者對(duì)此作了進(jìn)一步的闡述和說(shuō)明（這方面的一個(gè)較新工作可見文[5]）.對(duì)于這些工作大家應(yīng)持肯定態(tài)度；但就現(xiàn)實(shí)而言，仍要注意防止各種簡(jiǎn)單化的理解和誤讀.

現(xiàn)時(shí)，同樣也可以看到這樣一種簡(jiǎn)單化的理解，即滿足于從“過(guò)程”與“結(jié)果”的對(duì)立這一角度來(lái)理解弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的“再創(chuàng)造”（reinvention）.與此相對(duì)照，應(yīng)當(dāng)更加強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：“再創(chuàng)造”的核心在于“再”；這也就是指，教師在教學(xué)中不應(yīng)簡(jiǎn)單地去重復(fù)當(dāng)年的真實(shí)歷史，而應(yīng)致力于歷史的重建或重構(gòu)（reconstruction）.另外，又如弗賴登塔爾本人所明確指出的，這里所說(shuō)的“再創(chuàng)造”應(yīng)是“教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造”（guided reinvention），這就是說(shuō)，無(wú)論所采取的是以講授為主的教學(xué)方法，還是更加注重學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，教師都應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用.

進(jìn)而，由上面的論述可以引出這樣一個(gè)結(jié)論：如果教師本身缺乏“再創(chuàng)造”的能力，就不可能很好地去指導(dǎo)學(xué)生作出“再創(chuàng)造”.當(dāng)然，作好這一工作的一個(gè)重要前提就是真正弄清究竟什么是這里所說(shuō)的“再創(chuàng)造”的具體涵義，因?yàn)椋绻麑?duì)此始終缺乏清楚的認(rèn)識(shí)，那么，無(wú)論就學(xué)生、或是教師自身而言，“再創(chuàng)造”就只是一句空話，不可能真正得到落實(shí).

但是，對(duì)于該問(wèn)題不已有了明確解答嗎，即所謂的“再創(chuàng)造”主要就是相對(duì)于真實(shí)歷史而言的，也就是明確提倡“歷史的必要重構(gòu)”？正是針對(duì)這一疑惑，在此有必要特別提及這樣一點(diǎn)：這正是科學(xué)（數(shù)學(xué)）哲學(xué)（更為一般地說(shuō)，是“科學(xué)論研究”（Science Study））現(xiàn)代研究的一個(gè)重要結(jié)論，即對(duì)于科學(xué)（數(shù)學(xué)）史事實(shí)上可以做出多種不同的重構(gòu).

著名數(shù)學(xué)哲學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯（I.Lakatos）曾提出一個(gè)明確主張，他認(rèn)為科學(xué)哲學(xué)研究的主要任務(wù)就是“科學(xué)史的理性重建”：“科學(xué)哲學(xué)家提供規(guī)范方法論，歷史學(xué)家據(jù)此重建‘內(nèi)部歷史’，并由此對(duì)客觀知識(shí)的增長(zhǎng)作出合理的說(shuō)明.”[6]相似地，20世紀(jì)80年代以來(lái)迅速發(fā)展的“科學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)”（SSK）則提出應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)“科學(xué)史的社會(huì)重構(gòu)”，因?yàn)?，在SSK學(xué)者看來(lái)，社會(huì)因素正是決定科學(xué)發(fā)展最為重要的一個(gè)因素.正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，SSK的主要代表人物之一，夏平（S.Shapin）就曾將自己的一篇論文直接命名為“科學(xué)史及其社會(huì)學(xué)重構(gòu)”[7]，從而與拉卡托斯的著名論文“科學(xué)史及其合理重建”[8]構(gòu)成了直接對(duì)立.

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，關(guān)于歷史重建的不同主張事實(shí)上集中反映了兩者對(duì)于科學(xué)本質(zhì)的不同看法.在拉卡托斯看來(lái)，科學(xué)無(wú)疑是一項(xiàng)理性的事業(yè)，而所謂的“理性重建”則是指如何通過(guò)這一工作使科學(xué)的發(fā)展真正成為可以理解的，或者說(shuō)，是有其一定合理性的.依照夏平等人的觀點(diǎn)，社會(huì)因素則是決定科學(xué)發(fā)展的首要因素，從而，真正需要的是如何通過(guò)科學(xué)的“社會(huì)重建”清楚地去揭示這樣一個(gè)長(zhǎng)期為人們所忽視的事實(shí).另外，除去上述的重要區(qū)別外，還要看到在這兩者之間事實(shí)上也存在一定的共同點(diǎn)，在此特別要提到他們的一個(gè)共同立場(chǎng)：正如不存在任何沒(méi)有受到理論污染的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，完全中性的歷史事實(shí)也不存在，因?yàn)?，無(wú)論自覺與否，人們總是通過(guò)有色眼鏡看待世界和歷史的.

依據(jù)上述分析，相信人們可以更好地理解為什么應(yīng)當(dāng)突出“再”這樣一個(gè)關(guān)鍵詞；進(jìn)而，還要清楚地看到，歷史的“重建”總是相對(duì)于一定目標(biāo)而言的，從而，教育中關(guān)于“再創(chuàng)造”的強(qiáng)調(diào)就不能脫離基本教育目標(biāo)的分析，即應(yīng)聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)更為深入地去揭示這里所說(shuō)“再創(chuàng)造”的具體涵義，從而在教學(xué)中可以對(duì)學(xué)生的“再創(chuàng)造”作出適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

更為具體地說(shuō)，前一節(jié)中關(guān)于“三維目標(biāo)”的分析論述表明了：在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要明確倡導(dǎo)數(shù)學(xué)史的“方法論重建”與“文化重建”.

就“方法論重建”而言，主要是指如何通過(guò)方法論的重建使得相關(guān)內(nèi)容真正成為可以理解的、可以學(xué)到手和可以加以推廣利用的，從而將數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”.“所謂‘教活’，是指教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)‘活生生的’數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；所謂‘教懂’，是指教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；所謂‘教深’，則是指教師在教學(xué)中不僅應(yīng)使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法.”[9]

“文化重建”的基本涵義則在于：應(yīng)當(dāng)跳出“內(nèi)史”，并從“文化史”，即數(shù)學(xué)與整體性文化的關(guān)系這一角度去展現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史；而且，不僅需要清楚指明數(shù)學(xué)對(duì)于個(gè)人發(fā)展乃至整體性社會(huì)進(jìn)步的積極意義，也應(yīng)清楚地看到其局限性，乃至可能的消極影響[10].

以下論述可以幫助大家更好地理解這里所說(shuō)的“文化重建”的涵義，盡管其直接涉及的只是科學(xué)教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)教學(xué).作為美國(guó)新一輪科學(xué)課程改革的主要指導(dǎo)文件之一，《面向全體美國(guó)人的科學(xué)》明確提出，應(yīng)當(dāng)通過(guò)科學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣一些觀念：（1）本體論上的實(shí)在論立場(chǎng)，即應(yīng)當(dāng)明確承認(rèn)獨(dú)立的客觀世界的存在性.（2）認(rèn)識(shí)論問(wèn)題上的“易謬主義”（fallibilism），從而既不同于相對(duì)主義的取消性立場(chǎng)，也不同于認(rèn)識(shí)論上的絕對(duì)主義.（3）對(duì)于科學(xué)發(fā)展連續(xù)性的確認(rèn)（durability）.（4）理性主義，同時(shí)又應(yīng)注意與所謂的“老的理性主義”劃清界限——后者的一個(gè)主要特征就是認(rèn)為科學(xué)在任何時(shí)候總是合理的，從而沒(méi)有給非理性留下任何余地.（5）確認(rèn)科學(xué)方法的多樣性：不應(yīng)認(rèn)為只存在唯一的科學(xué)發(fā)現(xiàn)方法，而應(yīng)突出強(qiáng)調(diào)科學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)新性——顯然，這更為清楚地表明了在前述的理性主義與“老的理性主義”之間所存在的重要區(qū)別.（6）堅(jiān)持對(duì)于科學(xué)與非科學(xué)的明確區(qū)分.（7）預(yù)見性.這是科學(xué)理論所應(yīng)滿足的一個(gè)重要條件，即應(yīng)當(dāng)能夠揭示出一些至今尚未被清楚地認(rèn)識(shí)到的事實(shí).（8）客觀性：科學(xué)家應(yīng)當(dāng)保持對(duì)于各種偏見或成見及其對(duì)于科學(xué)活動(dòng)影響的高度自覺性.（9）應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識(shí)科學(xué)活動(dòng)的社會(huì)性質(zhì)，但又不應(yīng)完全為研究基金等外部因素所支配.這也就是所謂的“溫和的外部論者”（moderate externalism）.（10）在科學(xué)倫理問(wèn)題上的自覺性，包括科學(xué)道德、以及從社會(huì)與文化的視角來(lái)審視科學(xué)的“善”與“惡”[11].

當(dāng)然，就上述“重建”的具體工作而言，還要清楚地看到這樣一點(diǎn)：教師既不應(yīng)脫離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況去進(jìn)行教學(xué)，也不能因尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位而完全放棄了教學(xué)工作所應(yīng)發(fā)揮的指導(dǎo)作用.這就是弗賴登塔爾何以在“再創(chuàng)造原則”之外，又專門提出了“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則”和“數(shù)學(xué)化原則”等數(shù)學(xué)教學(xué)原則的主要原因.此外，也可以從這一角度去理解弗賴登塔爾的以下論述：“指導(dǎo)再創(chuàng)造意味著在創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性之間，以及在學(xué)生取得自己的樂(lè)趣和滿足教師的要求之間在達(dá)到一種微妙的平衡.”

更為深入地說(shuō)，這就是研究者在積極實(shí)施“再創(chuàng)造”這樣一個(gè)教學(xué)思想和教學(xué)方法時(shí)所應(yīng)注意解決的一些問(wèn)題.由于對(duì)于這些問(wèn)題的全面分析已經(jīng)超出了文章的論述范圍，在此僅限于指明這樣兩點(diǎn)：第一，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究“再創(chuàng)造”的適用范圍，特別是，這一方法究竟適用于什么樣的題材內(nèi)容？對(duì)于哪些內(nèi)容需要采取較為慎重的態(tài)度？第二，更為一般地說(shuō)，面對(duì)任何一個(gè)新的理論主張或教學(xué)思想，教師都應(yīng)當(dāng)深入思考以下幾個(gè)問(wèn)題，才能切實(shí)防止對(duì)于時(shí)髦潮流的盲目追隨：什么是這一理論或主張的實(shí)質(zhì)內(nèi)容？在現(xiàn)時(shí)為什么需要對(duì)此予以特別關(guān)注，或者說(shuō)，這一理論或主張究竟有哪些現(xiàn)實(shí)意義？什么又是其固有的局限性，特別是，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何防止可能的片面性或消極后果？

最后，需要強(qiáng)調(diào)的是，以上主要是以教師作為直接對(duì)象進(jìn)行分析論述的，因?yàn)?，這正是研究者在這方面的一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，盡管弗賴登塔爾所強(qiáng)調(diào)的是“學(xué)生在教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造”，但如果相關(guān)教師對(duì)于“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合”的主要內(nèi)涵與基本途徑始終缺乏清楚的認(rèn)識(shí)，那么，這顯然不可能成為教師的一種自覺行為，也不可能真正地得到落實(shí).

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