全等圖形概念透析

在我們的生活中存在著大量的全等圖形，如課本上提供的窗花、郵票等圖案.數(shù)學(xué)中的幾何圖形有的形狀相同，大小不同；有的大小相同，形狀不同；也有的形狀、大小都不相同.若兩個幾何圖形的形狀、大小完全相同（即能夠完全重合），則稱這兩個圖形是全等的圖形.兩個圖形能不能稱為全等，就是要看這兩個圖形疊放在一起能不能完全重合.若能，則可稱為全等；若不能，哪怕有一點兒不能重合，那么就不能稱為全等.

舉個例子，倘若某人的私章是正方形的，那么蓋出來的圖形都是一模一樣的正方形；學(xué)校的公章是圓形的，蓋出來的圖形都是形狀、大小一樣的圓形；假如印章制成三角形的，蓋出來的圖形就是全等的三角形.兩個圖形能不能全等，與圖形之間的位置無關(guān)，如圖1所示的兩個圖形能夠完全重合，就可稱這兩個圖形全等.

一、全等三角形的定義和性質(zhì)

（1）能夠 的兩個三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的對應(yīng)邊 ，對應(yīng)角 .

特別要提醒大家注意幾點：1.全等三角形的性質(zhì)中，三角形全等是條件，對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等是結(jié)論；2. 學(xué)習(xí)三角形全等概念，關(guān)鍵是理解各種對應(yīng)關(guān)系，利用性質(zhì)，學(xué)會準(zhǔn)確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.在寫兩個三角形全等時，一定要把對應(yīng)頂點的順序?qū)懸恢?，以方便、?zhǔn)確地找到對應(yīng)邊和對應(yīng)角.

例1 如圖2，小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（ ）.

A.PO B.PQ

C.MO D.MQ

【分析】利用全等三角形對應(yīng)邊相等可知要想求得MN的長，只需求得其對應(yīng)邊PQ的長，據(jù)此可以得到答案.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一般情況下，題目以“≌”符號連接兩個三角形全等，各個對應(yīng)位置上的字母表示的點就是對應(yīng)頂點，兩個對應(yīng)位置上的字母表示的線段形成對應(yīng)邊.所以，本題中只需把實際問題轉(zhuǎn)化為三角形全等問題，運用三角形全等的性質(zhì)即可解決.

二、一般三角形全等的判定方法

（1）“邊角邊”即“SAS”，兩邊和它們的 的兩個三角形全等.

（2）“角邊角”即“ASA”，兩角和它們的 的兩個三角形全等.

（3）“角角邊”即“AAS”，兩角和其中一角的 的兩個三角形全等.

（4）“邊邊邊”即“SSS”，___________相等的兩個三角形全等.

需要注意的是，有兩條邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等（即邊邊角），如圖3，在△ABC和△EFG中，AB=EF，AC=EG，∠B=∠F，但這兩個三角形不全等.

例2 已知：如圖4，點E，A，C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求證：BC=ED.

【分析】俗話說：“證相等找全等.”要證BC=ED可由證明△ABC≌△CED得到，結(jié)合已知條件：AB=CE，AC=CD，只需找其夾角相等即可，而該條件可由AB∥CD得到.

【點評】根據(jù)題目已有的條件，尋找三角形全等所缺的條件，體會“邊角邊”的判定方法，在證明三角形全等后并能運用全等的性質(zhì)解決問題.同時，按照“由已知想可知，由未知想需知”的思路，思考由條件出發(fā)，能得到什么結(jié)論，由結(jié)論出發(fā)，需要什么條件，前后能否互相銜接，形成證明思路.學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常以此思路進(jìn)行分析，定能不斷提高分析問題和解決問題的能力.

三、直角三角形全等的判定方法

（1）利用一般三角形全等的判定方法都能證明直角三角形全等.

（2）“斜邊、直角邊”即“HL”， 對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

例3 如圖5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD.求證：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形.

【分析】（1）由題意可知，△ABD和△BAC均為直角三角形，且有一組直角邊對應(yīng)相等，結(jié)合兩三角形有一公共邊，可用“HL”判定兩個直角三角形全等，從而證得BC=AD；另外也可運用勾股定理，分別求BC、AD，得它們相等.（2）運用（1）中結(jié)論BC=AD，可再證△AOD≌△BOC（AAS）得到OA=OB，得△OAB是等腰三角形.此外，也可考慮運用（1）中的全等證得∠CAB=∠DBA獲得結(jié)論.

【點評】本題重點考查了直角三角形全等的判定以及全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，屬于難度較小的基礎(chǔ)題，必須熟練掌握.需要提醒大家注意的是，在書寫證明過程時，我們一定要注意前后的因果聯(lián)系，說理時，條件一定要“到位”，千萬不要因為題目中有條件，在說理中就可以不寫，如本題中的直角三角形應(yīng)由條件AC⊥BC、BD⊥AD得到，如果不寫，那么下結(jié)論時，就顯得條件不夠充分，從而不具有說服力.

四、角平分線定理

如果題目的條件中給出一個角和它的角平分線，在其平分線上任取一點，并過該點作兩邊的垂線段，結(jié)合隱含條件（公共邊），可通過“角角邊”的判定方法判定兩個三角形全等，得出角平分線定理：“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”.

例4 如圖6，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D4.

【分析】當(dāng)PQ⊥OM時PQ最小，結(jié)合角平分線定理可知：PQ=PA=2.

【點評】角平分線定理實際上就是由三角形全等得到的一個結(jié)論，掌握定理的關(guān)鍵是抓住角平分線和距離（垂直）.在說理時，要盡量做到條件充分、條理清楚，切不可直接由角平分線就得出結(jié)論，一定要由角平分線和兩個垂直得到結(jié)論.

同學(xué)們在本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中要做好以下幾點：（1）在表達(dá)兩個三角形全等時，要注意對應(yīng)頂點應(yīng)寫在對應(yīng)的位置上；（2）在運用全等三角形的性質(zhì)時，要理解全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（3）在運用全等三角形的判定進(jìn)行證明時，要注意分析題中的已知條件和結(jié)合圖形及圖形中的隱含條件進(jìn)行思考；（4）在對兩個三角形下全等的結(jié)論時，一定要在條件充分的前提下才能進(jìn)行；（5）在探索三角形全等的條件時，同學(xué)們還要注意兩條性質(zhì)：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性.

學(xué)好本章內(nèi)容，同學(xué)們一定要注重經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會分析問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，注重有條理地思考和表達(dá)，逐步學(xué)會說理，使說理做到有理有據(jù)，真正理解推理的過程.只有這樣才能真正掌握全等圖形的相關(guān)概念，做到理解透徹、運用靈活、證明到位.