用幾何畫板驗(yàn)證“全等三角形”

《幾何畫板》是美國(guó)Key Curriculum Press 公司制作的優(yōu)秀教育軟件，它可以給我們創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，如任意拖動(dòng)某點(diǎn)、線，觀察圖形的變化，猜測(cè)、驗(yàn)證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于我們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解.下面我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們用幾何畫板實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：為什么三角形全等的條件只有SSS、SAS、ASA這3個(gè)基本事實(shí)和AAS這1個(gè)推論呢？SSA為什么不可以呢？用SSS、SAS、ASA、AAS判定兩個(gè)三角形全等，其本質(zhì)是給定的條件能不能唯一確定三角形，現(xiàn)在我們以邊為線索，先從三邊開始探究：

一、 三邊對(duì)應(yīng)相等

已知△ABC的三邊AB=c，BC=a，CA=b，求作△ABC.

過程：先作線段AB=c，然后分別以A、B為圓心，b、a為半徑畫圓，如果兩圓不能相交，則說明給定的三邊不能組成三角形，這驗(yàn)證“三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.如圖1，我們看到，兩圓相交于兩點(diǎn)C、D，連接AC、AD、BC、BD，則得到△ABC和△ABD，度量三對(duì)角，發(fā)現(xiàn)它們分別相等，則說明這兩個(gè)三角形全等.從這里可以看出，有了三邊的長(zhǎng)度，不用考慮角的大小，就能把三角形唯一確定下來.這說明若三角形的三邊相等，則兩三角形全等.

二、兩邊對(duì)應(yīng)相等

①無角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，CA=b，求作△ABC.

過程：先作線段AB=c，再以A點(diǎn)為圓心，b為半徑畫圓，在圓上任取一點(diǎn)C與A、B連接，所形成的三角形均滿足兩邊AB=c，CA=b的條件，如圖2，拖動(dòng)點(diǎn)C，可以看到，這樣的三角形有無數(shù)，這說明兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等.

②兩邊的夾角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，AC=b和它們的夾角∠BAC=∠α，求作△ABC.

過程：先作∠BAC=∠α，然后以點(diǎn)A為圓心，分別以c，b為半徑畫圓，交∠A的兩邊于B、C兩點(diǎn)，連BC，則圖3中有一個(gè)確定的△ABC，滿足條件AB=c，AC=b，∠BAC=∠α.這說明若三角形的兩邊及兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形全等.

③一邊的對(duì)角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，BC=a和邊BC的對(duì)角∠BAC=∠α，求作△ABC.

過程：先作∠BAC=∠α，然后以點(diǎn)A為圓心，以c為半徑畫圓，交∠A的一邊于B點(diǎn)，再以B點(diǎn)為圓心，a為半徑畫圓，可以看到，這個(gè)圓與∠BAC的另一邊有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖4（也可能是一個(gè)交點(diǎn)，也可能沒有交點(diǎn)），即滿足條件的三角形不能唯一確定，這說明若三角形的兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形不一定全等.

由上面的三點(diǎn)討論知：當(dāng)已知三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，必須再知道它們的夾角相等，才能確定這兩個(gè)三角形全等，而SSA不能判定兩個(gè)三角形全等.

三、有一邊相等

類似地，我們用畫板實(shí)驗(yàn)有一邊相等的情形，這個(gè)留給同學(xué)們自己嘗試.