幾何離不開(kāi)幾何圖形,幾何中每個(gè)定義、定理、公理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形,除了掌握這些最基本的圖形外,還要掌握一些常用的基本圖形.在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們?nèi)裟茏⒅乜偨Y(jié)歸納基本圖形,必將受益匪淺.下面以蘇科版八(上)第二章“軸對(duì)稱圖形”中總結(jié)出的兩個(gè)重要的基本圖形為例加以說(shuō)明.
一、基本圖形——垂直平分線
性質(zhì):如圖1,已知AD是線段BC的垂直平分線,則AB=AC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)
判定:如圖1,已知AB=AC,BD=CD,則AD是線段BC的垂直平分線.(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上)
應(yīng)用:
例1 如圖2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E.求證:BF=■FC.
【分析】添輔助線往往是找出基本圖形的首要條件,它能將不完整的基本圖形補(bǔ)充完整.這里輔助線的著眼點(diǎn)就是“垂直平分線”,所以連接AF得到等腰三角形,再利用等腰三角形性質(zhì)定理證明.
證明:連接AF.
∵EF為AB的垂直平分線,
∴AF=BF,
∴∠B=∠FAB.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,
∴∠FAB=30°,
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,
∴AF=■FC,
∴BF=■FC.
例2 如圖3,在△ABC中,M、N分別是BC與EF的中點(diǎn),CF⊥AB,BE⊥AC.求證:MN⊥EF.
【分析】這里輔助線的著眼點(diǎn)依然是“垂直平分線”.要證明的MN與EF的垂直關(guān)系以及條件中N是 EF的中點(diǎn),就是提示我們MN是EF的垂直平分線,所以連接MF與ME得到等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”證明,從而輕松解決問(wèn)題.
證明:連接MF、ME.
∵CF⊥AB,
∴△CFB是直角三角形.
又∵M(jìn)是BC邊上的中點(diǎn),
∴MF=■BC.
同理ME=■BC.
∴MF=ME.
又∵N是 EF的中點(diǎn),∴MN⊥ EF.
二、基本圖形——角平分線
性質(zhì):如圖4,點(diǎn)P是∠BOA的角平分線OE上的一點(diǎn),PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別為D、C. 則DP=CP.(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.)
判定:如圖4,點(diǎn)P是∠BOA內(nèi)的一點(diǎn),PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別為D、C,且 DP=CP, 則點(diǎn)P在∠BOA的平分線上.(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.)
應(yīng)用:
例3 如圖5,OC平分∠AOB,P是OC上一點(diǎn),D是OA上一點(diǎn),E是OB上一點(diǎn),且PD=PE,求證:∠PDO+∠PEO=180°.
【分析】要證∠PDO+∠PEO=180°,而∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置,且無(wú)平行線使它們聯(lián)系起來(lái),若設(shè)法把其中的一個(gè)角轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角,問(wèn)題便可以解決.由于OC是角平分線,故可過(guò)P點(diǎn)作兩邊的垂線,構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形,再證明這兩個(gè)三角形全等即可.
證明:過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為M、N.
∵OC是角平分線,
∴PM=PN.
在Rt△PMD和Rt△PNE中,
PD=PE,PM=PN,
∴Rt△PMD≌Rt△PNE,
∴∠MDP=∠NEP.
又∵∠MDP+∠PDO=180°,
∴∠PDO+∠PEO=180°.
例4 如圖6,已知:∠A=90°,AD∥BC,P是AB的中點(diǎn),PD平分∠ADC.求證:CP平分∠DCB.
【分析】點(diǎn)P在∠ADC的平分線上,欲證點(diǎn)P在∠DCB的角平分線上,可轉(zhuǎn)化為證點(diǎn)P到這個(gè)角兩邊的距離相等,這是本題證明的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)P向DC引垂線,以便充分運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.
證明:過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC,垂足為E.
則∠1=∠2=90°.
又∵∠A=90°,∴∠1=∠2=∠A=90°.
又∵PD平分∠ADC,∴PA=PE.
∵P是AB的中點(diǎn),∴PA=PB,∴PE=PB.
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∴∠B=90°.
∴點(diǎn)P在∠DCB的平分線上,
∴CP平分∠DCB.
通過(guò)對(duì)這兩個(gè)基本圖形的研究,我們不難發(fā)現(xiàn)幾何問(wèn)題中所涉及的復(fù)雜圖形往往都是一些基本圖形的疊加和演變.牢牢掌握基本圖形,能幫助我們迅速添加輔助線“補(bǔ)圖”,找到證題思路.如果我們能掌握這些基本圖形的性質(zhì)和特征,在以后的幾何解題過(guò)程中,便會(huì)從容不迫地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的圖形.