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      關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”中的兩個(gè)重要基本圖形

      2013-04-12 00:00:00徐妙
      初中生世界·八年級(jí) 2013年10期

      幾何離不開(kāi)幾何圖形,幾何中每個(gè)定義、定理、公理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形,除了掌握這些最基本的圖形外,還要掌握一些常用的基本圖形.在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們?nèi)裟茏⒅乜偨Y(jié)歸納基本圖形,必將受益匪淺.下面以蘇科版八(上)第二章“軸對(duì)稱圖形”中總結(jié)出的兩個(gè)重要的基本圖形為例加以說(shuō)明.

      一、基本圖形——垂直平分線

      性質(zhì):如圖1,已知AD是線段BC的垂直平分線,則AB=AC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)

      判定:如圖1,已知AB=AC,BD=CD,則AD是線段BC的垂直平分線.(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上)

      應(yīng)用:

      例1 如圖2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E.求證:BF=■FC.

      【分析】添輔助線往往是找出基本圖形的首要條件,它能將不完整的基本圖形補(bǔ)充完整.這里輔助線的著眼點(diǎn)就是“垂直平分線”,所以連接AF得到等腰三角形,再利用等腰三角形性質(zhì)定理證明.

      證明:連接AF.

      ∵EF為AB的垂直平分線,

      ∴AF=BF,

      ∴∠B=∠FAB.

      ∵AB=AC,∴∠B=∠C.

      ∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,

      ∴∠FAB=30°,

      ∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,

      ∴AF=■FC,

      ∴BF=■FC.

      例2 如圖3,在△ABC中,M、N分別是BC與EF的中點(diǎn),CF⊥AB,BE⊥AC.求證:MN⊥EF.

      【分析】這里輔助線的著眼點(diǎn)依然是“垂直平分線”.要證明的MN與EF的垂直關(guān)系以及條件中N是 EF的中點(diǎn),就是提示我們MN是EF的垂直平分線,所以連接MF與ME得到等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”證明,從而輕松解決問(wèn)題.

      證明:連接MF、ME.

      ∵CF⊥AB,

      ∴△CFB是直角三角形.

      又∵M(jìn)是BC邊上的中點(diǎn),

      ∴MF=■BC.

      同理ME=■BC.

      ∴MF=ME.

      又∵N是 EF的中點(diǎn),∴MN⊥ EF.

      二、基本圖形——角平分線

      性質(zhì):如圖4,點(diǎn)P是∠BOA的角平分線OE上的一點(diǎn),PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別為D、C. 則DP=CP.(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.)

      判定:如圖4,點(diǎn)P是∠BOA內(nèi)的一點(diǎn),PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別為D、C,且 DP=CP, 則點(diǎn)P在∠BOA的平分線上.(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.)

      應(yīng)用:

      例3 如圖5,OC平分∠AOB,P是OC上一點(diǎn),D是OA上一點(diǎn),E是OB上一點(diǎn),且PD=PE,求證:∠PDO+∠PEO=180°.

      【分析】要證∠PDO+∠PEO=180°,而∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置,且無(wú)平行線使它們聯(lián)系起來(lái),若設(shè)法把其中的一個(gè)角轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角,問(wèn)題便可以解決.由于OC是角平分線,故可過(guò)P點(diǎn)作兩邊的垂線,構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形,再證明這兩個(gè)三角形全等即可.

      證明:過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為M、N.

      ∵OC是角平分線,

      ∴PM=PN.

      在Rt△PMD和Rt△PNE中,

      PD=PE,PM=PN,

      ∴Rt△PMD≌Rt△PNE,

      ∴∠MDP=∠NEP.

      又∵∠MDP+∠PDO=180°,

      ∴∠PDO+∠PEO=180°.

      例4 如圖6,已知:∠A=90°,AD∥BC,P是AB的中點(diǎn),PD平分∠ADC.求證:CP平分∠DCB.

      【分析】點(diǎn)P在∠ADC的平分線上,欲證點(diǎn)P在∠DCB的角平分線上,可轉(zhuǎn)化為證點(diǎn)P到這個(gè)角兩邊的距離相等,這是本題證明的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)P向DC引垂線,以便充分運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.

      證明:過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC,垂足為E.

      則∠1=∠2=90°.

      又∵∠A=90°,∴∠1=∠2=∠A=90°.

      又∵PD平分∠ADC,∴PA=PE.

      ∵P是AB的中點(diǎn),∴PA=PB,∴PE=PB.

      ∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,

      ∴∠B=90°.

      ∴點(diǎn)P在∠DCB的平分線上,

      ∴CP平分∠DCB.

      通過(guò)對(duì)這兩個(gè)基本圖形的研究,我們不難發(fā)現(xiàn)幾何問(wèn)題中所涉及的復(fù)雜圖形往往都是一些基本圖形的疊加和演變.牢牢掌握基本圖形,能幫助我們迅速添加輔助線“補(bǔ)圖”,找到證題思路.如果我們能掌握這些基本圖形的性質(zhì)和特征,在以后的幾何解題過(guò)程中,便會(huì)從容不迫地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的圖形.

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