與平面鑲嵌的一次夢幻相遇

跟隨著熱情講解的導(dǎo)游，我們欣賞了一幅又一幅出自名家之手——荷蘭版畫家Escher的美麗而又神奇的畫作（圖1）.我盯著這些畫，有一種說不清道不明的親切感.我腦海里突然閃現(xiàn)一絲光亮，這不就是我們數(shù)學(xué)活動課上學(xué)過的“平面鑲嵌”嘛！

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.這下可把我樂壞了，心想著這次自己也能當(dāng)一回導(dǎo)游了.

有些相同的正多邊形能夠鋪滿地面，有些則不行.實際上，我們還看到有不少用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成的平面圖案.為什么這些正多邊形的組合能夠鑲嵌地面？這個問題實質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成周角”的問題.正三角形的一個內(nèi)角為60°，正四邊形的為90°，正五邊形的為108°，正六邊形的為120°，正七邊形的為■■，正八邊形的為135°，正九邊形的為140°，……幾種正多邊形鑲嵌，接點(diǎn)處各角之和要等于360°.

1.正三角形和正四邊形進(jìn)行鑲嵌

60°×3+90°×2=360°，如果只是把正方形和正三角形拼接在一起，是可以的，但要

按圖2這樣，兩個正方形和兩個正三角形組成一個圖案的話，就無法鑲嵌了.

2.正三角形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌（圖3）

60°×2+120°×2=360°，由此可見，正三角形可以和正六邊形進(jìn)行鑲嵌.

3.正三角形、正四邊形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌（圖4）

60°+90°×2+120°=360°，由此可見，不同的正多邊形有時也能進(jìn)行平面鑲嵌.這真是太神奇了！

我繼續(xù)給游客講解著，突然一聲刺耳的鬧鈴聲響起了.我迷迷糊糊從床上爬了起來，想起剛剛所發(fā)生的一切，不禁笑了起來，原來是一場夢??！

結(jié)論：平面鑲嵌雖然是數(shù)學(xué)運(yùn)用，但是聰明的人類卻可以將它在美學(xué)領(lǐng)域運(yùn)用得收放自如.數(shù)學(xué)也是一種美，它無處不在.數(shù)學(xué)創(chuàng)造了生活，也來源于生活.著名的數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor） 說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由.”沒錯，數(shù)學(xué)是一雙無形的翅膀，帶領(lǐng)我們翱翔于廣闊的藍(lán)天！

（指導(dǎo)教師：馬恒平）