劉妮

(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院理論物理研究所，太原 030006)

(2012年6月14日收到;2012年8月9日收到修改稿)

1 引言

玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)與高精細(xì)光腔實(shí)驗(yàn)的組合[1,2]開辟了新的探索，因?yàn)樗粌H顯示了最高量子能級上物質(zhì)光相互作用，而且在量子信息過程中有潛在的應(yīng)用.在該新奇的裝置下，所有的超冷原子占據(jù)在相同的量子態(tài)上，而且整體與單模光場發(fā)生相同的相互作用，結(jié)果能達(dá)到強(qiáng)的原子光耦合強(qiáng)度.這種強(qiáng)耦合開拓了新的研究方向，如腔光力學(xué)的實(shí)現(xiàn)[3]和探索量子門的奇異多體量子現(xiàn)象，其中量子門是用腔調(diào)制的長程相互作用[4-11].三十多年前已預(yù)測到Dicke模型存在正常相到超輻射相的量子相變[12-15].最近，實(shí)驗(yàn)上在BEC腔系統(tǒng)中首次觀測到該相變[16,17].實(shí)驗(yàn)中引入了動量依賴的自旋態(tài)，并且典型的“no-go理論”由此而克服[18].我們知道“no-go理論”是排除超輻射相的.并且，引入了由光格勢誘導(dǎo)的有趣的原子光相互作用[19].由于該非線性原子光相互作用項(xiàng)中原子數(shù)N的存在，導(dǎo)致非線性相互作用可以達(dá)到與有效腔頻相同的數(shù)量級，甚至大于該數(shù)量級.在該強(qiáng)的相互作用區(qū)，豐富的動力學(xué)特性和新的量子相變已被預(yù)測[20,21].本文不但考慮了該強(qiáng)相互作用對相圖的影響，而且引入了外場驅(qū)動的作用.該外場驅(qū)動強(qiáng)度會改變相變點(diǎn)的位置，當(dāng)強(qiáng)度增大時(shí)相變會提前發(fā)生，但強(qiáng)度達(dá)到2 MHz時(shí)，基本只有超輻射相存在.可見，外場強(qiáng)度不能無限制地調(diào)大，而且實(shí)驗(yàn)上外場驅(qū)動強(qiáng)度通過激光是很容易調(diào)控的.

2 拓展的Dicke模型

2.1 理論模型

Dicke模型描述一個(gè)二能級原子系綜集體耦合到一個(gè)單模量子化電磁場的情形，當(dāng)原子-場耦合強(qiáng)度超過某個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會經(jīng)歷一個(gè)零溫量子相變.低于這個(gè)臨界值時(shí)系統(tǒng)處于正常相，此時(shí)所有原子處于基態(tài)，輻射場處于真空態(tài);反之系統(tǒng)處于超輻射相，此時(shí)原子激發(fā)態(tài)具有宏觀布居數(shù)，光場處于相干態(tài).這種由集體量子現(xiàn)象引起的超輻射量子相變在原子物理和量子光學(xué)中已為人們廣泛研究.此外量子混沌、基態(tài)糾纏、臨界行為等與量子相變相關(guān)的領(lǐng)域也為大家所關(guān)注.我們依據(jù)Esslinger組的實(shí)驗(yàn)裝置[16](即所有Rb87的超冷原子跟光腔誘導(dǎo)的單模光場發(fā)生集體相互作用)，運(yùn)用集體自旋算子可以給出拓展的Dicke模型的哈密頓量如下(h=1)：

2.2 含時(shí)幺正變換

該模型的哈密頓量(2)中相互作用部分顯含時(shí)間，為此做一個(gè)含時(shí)規(guī)范變換[22]?U(t)=eiωfSzt，使其在新規(guī)范下不含時(shí)，其中

2.3 平均場理論處理系統(tǒng)

由于原子數(shù)N=105，哈密頓量(3)所統(tǒng)治的基態(tài)特性可以考慮用角動量算符的Holstein-Primafoff變換來得到，這種變換是用單模玻色子來重新描述集體自旋算子的，其數(shù)學(xué)形式為

基于方程(8)和基態(tài)能量H0，我們得到了原子數(shù)的期待值隨序參量變化的相圖.

3 相圖及分析

圖1為原子光非線性相互作用U=0的情形下，被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強(qiáng)度g和外場驅(qū)動強(qiáng)度Ω的函數(shù).當(dāng)U=0時(shí)，系統(tǒng)退化為標(biāo)準(zhǔn)的Dicke模型加外場驅(qū)動，這樣我們就能看外場驅(qū)動強(qiáng)度對系統(tǒng)基態(tài)特性的影響.從圖1可以看出，當(dāng)Ω=0時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了標(biāo)準(zhǔn)的Dicke量子相變，臨界相變點(diǎn)在g=1處.當(dāng)Ω增大時(shí)，系統(tǒng)仍然是發(fā)生正常相到超輻射相的量子相變，但是在耦合強(qiáng)度小于1時(shí)就發(fā)生了相變.而且外場驅(qū)動增加到2時(shí)基本上系統(tǒng)只存在超輻射相，也就是說外場驅(qū)動不能太大;圖2中我們將參數(shù)重新取定為Δ=-20，Δ0=0.05，圖像呈現(xiàn)的物理與圖1是一致的.

圖1 被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強(qiáng)度g的函數(shù)，參數(shù)取值Δ=20，Δ0=0.05

圖2 被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強(qiáng)度g的函數(shù)，參數(shù)取值Δ=-20，Δ0=0.05

圖3清晰地描述了非線性原子光相互作用U對被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值的影響，自變量是原子-場耦合強(qiáng)度g.圖中實(shí)的彩色線是U取正值，虛的彩色線是U取負(fù)值，黑線對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)Dicke 模型，臨界相變點(diǎn)是 1，且〈Jz〉(g≤1)=-0.5，〈Jz〉(g≥1)/=-0.5，發(fā)生了正常相到超輻射相的量子相變.從不同的U對應(yīng)的線可以看出，U越大，相變點(diǎn)對應(yīng)的耦合強(qiáng)度越小，且原子被激發(fā)越小;反之U越小，相變點(diǎn)對應(yīng)的耦合強(qiáng)度越大，且原子被激發(fā)越大.也就是說U越大系統(tǒng)越容易發(fā)生相變，但是原子的宏觀占據(jù)并不大.

圖3 被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強(qiáng)度g的函數(shù)，參數(shù)取值Δ=20，Δ0=0.05

圖4 被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強(qiáng)度g和非線性原子光相互作用U的變化圖像，參數(shù)取值Δ=20，Δ0=0.05

圖4給出的是原子-場耦合強(qiáng)度g和非線性原子光相互作用U對被激發(fā)原子數(shù)的影響.如圖所示，當(dāng)非線性原子光相互作用確定時(shí)，即U給定為某一固定值，被激發(fā)原子數(shù)的期待值隨著耦合強(qiáng)度g的增大而增大，且藍(lán)色區(qū)域和彩色區(qū)域的交界線為臨界相變邊界.g小于臨界相變點(diǎn)時(shí)，〈Sz〉/N=-0.5(圖示藍(lán)色區(qū)域)，表示原子未被激發(fā);g大于臨界相變點(diǎn)，〈Sz〉/N＞-0.5(圖示彩色區(qū)域)，表示原子被不程度激發(fā)，這主要依賴于耦合強(qiáng)度的取值，也就是圖3給出的不同取值U的情形.當(dāng)小于臨界相變界時(shí)，無論耦合強(qiáng)度和非線性原子光相互作用怎樣變化，原子數(shù)的期待值保持-0.5，沒有激發(fā)，即系統(tǒng)處于正常相;當(dāng)大于臨界相變界時(shí)，任取定耦合強(qiáng)度g，被激發(fā)原子數(shù)的期待值隨非線性原子光相互作用強(qiáng)度線性減小，但該區(qū)域內(nèi)全部是超輻射相.需要強(qiáng)調(diào)的是U=0的情形所展示的相圖對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型的量子相變.

圖5 被激發(fā)原子數(shù)〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強(qiáng)度g和外場驅(qū)動強(qiáng)度Ω的變化圖像，參數(shù)取值Δ=20，Δ0=0.05

圖5主要展示的是無非線性原子光相互作用下外場驅(qū)動強(qiáng)度Ω對原子激發(fā)的影響.從圖可以看出：Ω較小時(shí)系統(tǒng)處于藍(lán)色正常相區(qū);當(dāng)外場驅(qū)動強(qiáng)度Ω增強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了二級相變(藍(lán)色-彩色)，而且當(dāng)Ω增大時(shí)，隨著原子-場耦合強(qiáng)度增強(qiáng)，系統(tǒng)很快處于超輻射相;當(dāng)Ω=2時(shí)只有在g很小時(shí)系統(tǒng)處于正常相，很快系統(tǒng)就發(fā)生了正常區(qū)到超輻射區(qū)的量子相變(藍(lán)色-彩色)，也就是說原子的宏觀占據(jù)數(shù)很多.可見，若想觀測到由朗道對稱破缺導(dǎo)致的二級相變，外場驅(qū)動強(qiáng)度不能取得過大，這樣平均場理論會失效.

4 結(jié)論

本文在標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型的基礎(chǔ)上加入了原子光的非線性相互作用和含時(shí)的外場驅(qū)動.在平均場近似理論和含時(shí)幺正變換方法下，我們推導(dǎo)出了含時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)能量表達(dá)式以及表征基態(tài)特性的方程.本文主要調(diào)節(jié)不同的參數(shù)給出了豐富的相圖，而且相圖所展示的性質(zhì)最近已從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證[16]，尤其是非線性相互作用和外場驅(qū)動強(qiáng)度對量子相變的影響.

[1］Brennecke F，Donner T，Ritter S，Bourdel T，K¨ohl M，Esslinger T 2007Nature450 268

[2］Colombe Y，Steinmetz T，Dubois G，Linke F，Hunger D，Reichel J 2007Nature450 272

[3］Brennecke F，Ritter S，Donner T，Esslinger T 2008Science322 235

[4］Maschler C，Ritsch H 2005Phys.Rev.Lett.95 260401

[5］Chen G，Wang X G，Liang J Q，Wang Z D 2008Phys.Rev.A 78 023634

[6］Morrison S，Parkins A S 2008Phys.Rev.Lett.100 040403

[7］Larson J，Damski B，Morigi G，Lewenstein M 2008Phys.Rev.Lett.100 050401

[8］ Larson J，Martikainen J P 2010Phys.Rev.A 82 033606

[9］Gopalakrishnan S，Lev B L，Goldbart P M 2009Nat.Phys.5 845

[10］Szirmai G，Nagy D，Domokos P 2009Phys.Rev.Lett.102 080401

[11］Bastidas V M，Emary C，Regler B，Brandes T 2012Phys.Rev.Lett.108 043003

[12］Hepp K，Lieb E H 1973Ann.Phys.(N.Y.)76 360

[13］Hioes F T 1973Phys.Rev.A 8 1440

[14］Song L J，Yan D，Gai Y J，Wang Y B 2010Acta Phys.Sin.59 3695(in Chinese)[宋立軍，嚴(yán)冬，蓋永杰，王玉波2010物理學(xué)報(bào)59 3695］

[15］Song L J，Yan D，Gai Y J，Wang Y B 2011Acta Phys.Sin.60 020302(in Chinese)[宋立軍，嚴(yán)冬，蓋永杰，王玉波2011物理學(xué)報(bào) 60 020302］

[16］Baumann K，Guerlin C，Brennecke F，Esslinger T 2010Nature464 1301

[17］Baumann K，Mottl R，Brennecke F，Esslinger T 2011Phys.Rev.Lett.107 140402

[18］Viehmann O，von Delft J，Marquardt F 2011Phys.Rev.Lett.107 113602

[19］Nagy D，K′onya G，Szirmai G，Domokos P 2010Phys.Rev.Lett.104 130401

[20］KeelingJ，BhaseenMJ，SimonsBD2010Phys.Rev.Lett.105043001

[21］Liu N，Lian J L，Ma J，Xiao L T，Chen G ，Liang J Q，Jia S T 2011Phys.Rev.A 83 033601

[22］Xu C T，Liang J Q 2006Phys.Rev.A 356 206