相空間中類分數(shù)階變分問題的Noether對稱性與守恒量

張 毅

(蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

分數(shù)階微積分為科學(xué)和工程的不同領(lǐng)域的大量問題提供了一個強有力的數(shù)學(xué)工具，并在數(shù)學(xué)物理，經(jīng)典和量子力學(xué)，控制理論，非線性動力學(xué)，信號與圖像處理，熱力學(xué)，以及生物工程等領(lǐng)域取得了許多突破性的成果[1-5]。盡管分數(shù)階微積分在許多領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)確立，但是在其它一些領(lǐng)域的應(yīng)用研究還剛剛開始，分數(shù)階變分問題及其對稱性和守恒量的研究就是后者的一個例子。

為了建立非保守動力學(xué)系統(tǒng)模型，El-Nabulsi于2005年提出了一種新的建模方法[24]，即：類分數(shù)階變分方法或可稱之為El-Nabulsi分數(shù)階模型。在類分數(shù)階變分方法中，分數(shù)階時間積分僅引進一個實參數(shù)α，所得到的Euler-Lagrange方程形式簡單且類似于經(jīng)典的方程。該Euler-Lagrange方程的新穎之處在于存在一個作用在系統(tǒng)上的廣義分數(shù)階外力。尤其是在所得到的方程中不出現(xiàn)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，而僅僅依賴于分數(shù)階積分的階α。最近，類分數(shù)階變分方法被進一步推廣到Lagrange函數(shù)依賴于Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)情形[25]，多維類分數(shù)階變分問題[26]，受完整約束或非完整約束或耗散動力學(xué)系統(tǒng)的類分數(shù)階變分問題[27]，按指數(shù)規(guī)律變化的類分數(shù)階變分問題[28]，并通過引入廣義分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子給出了普適的類分數(shù)階Euler-Lagrange方程[29]。Frederico和Torres研究了類分數(shù)階變分問題的運動常數(shù)，基于El-Nabulsi分數(shù)階模型給出非保守系統(tǒng)的Noether定理[35]，并推廣到Lagrange函數(shù)含有高階導(dǎo)數(shù)情形[36]，但是由于文中關(guān)于Noether準對稱性的概念有誤，因此所得到的Noether定理是不正確的。

本文在類分數(shù)階變分方法的框架下進一步研究相空間中類分數(shù)階Noether理論。通過求解相空間中類分數(shù)階變分問題，得到了類分數(shù)階Hamilton正則方程；給出了相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量變分的兩個基本公式，提出了相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換和準對稱變換的定義和判據(jù)；建立了類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理，并舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 類分數(shù)階變分問題

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標qk(k=1,2,…,n)來確定，其所受的約束是理想、完整的，系統(tǒng)的廣義動量和Hamilton函數(shù)為

(1)

式中L為Lagrange函數(shù)。根據(jù)El-Nabulsi提出的分類階動力學(xué)建模方法[24]，相空間中類分數(shù)階變分問題可定義如下：

求積分泛函

(2)

在給定邊界條件

qk(a)=qk,a,qk(b)=qk,b(k=1,2,…,n)

(3)

上述變分問題可稱為相空間中類分數(shù)階變分問題，泛函(2)可稱為相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量。

根據(jù)變分學(xué)理論，泛函(2)在qk=qk(τ)，pk=pk(τ)上取得極值的必要條件是其變分等于零，即δS=0，于是有

(4)

由于

(5)

由邊界條件(3)，得到

δqk|τ=a=δqk|τ=b=0 (k=1,2,…,n)

(6)

利用式(5)和(6)，式(4)給出

(7)

將式(1)的第二式兩邊對pk求偏導(dǎo)數(shù)，有

(8)

將式(8)代入式(7)，并由δqk的獨立性和積分區(qū)間的任意性，得

(9)

聯(lián)合方程(8)和(9)，構(gòu)成類分數(shù)階Hamilton正則方程[24]，即

(10)

我們稱由方程(10)描述的力學(xué)系統(tǒng)為類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)。如取α=1，方程(10)給出經(jīng)典的Hamilton正則方程。

2 類分數(shù)階Noether對稱性

引進無限小r參數(shù)有限變換群

(11)

或其展開式

(k=1,2,…,n)

(12)

(13)

于是有

(14)

(15)

根據(jù)非等時變分Δ與等時變分δ之間的關(guān)系式[37]

(16)

其中F為任意可微函數(shù)，可以得到

(17)

由式(17),式(15)可表為

(18)

由式(12)，式(18)可進一步表為

(19)

式(15)和(19)是相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量變分的兩個基本公式。

下面，我們給出相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換的定義和判據(jù)。

定義1 如果相空間中類分數(shù)階Hamilton 作用量(2)是無限小群變換(11)的不變量，即對每一個無限小變換，始終成立

ΔS=0

(20)

則稱無限小群變換為相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換。

由定義1和公式(15)，可得到如下判據(jù)1。

判據(jù)1 對于無限小群變換(11)，如果滿足條件

(21)

則變換是相空間中的類分數(shù)階Noether對稱變換。

條件(21)也可表示為

(σ=1,2,…,r)

(22)

當(dāng)取r=1時，式(22)可稱為相空間中的類分數(shù)階Noether等式。

利用判據(jù)1可以判斷所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱性。

其次，研究相空間中的類分數(shù)階Noether準對稱變換。

設(shè)H′是另外的Hamilton函數(shù)，如果變換(11)精確到一階小量滿足條件

(23)

則稱類分數(shù)階Hamilton作用量(2)是無限小群變換(11)下的準不變量。由此確定的H′與H具有同樣的運動微分方程，則變換稱為相空間中類分數(shù)階Noether準對稱變換。此時有

(24)

將式(24)代入式(23)，我們有

(25)

式(25)中G應(yīng)為一階小量，故可用ΔG來代替G。

于是有

定義2 如果相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量(2)是無限小群變換(11)的準不變量，即對每一個無限小變換，始終成立

(26)

則稱無限小群變換為相空間中類分數(shù)階Noether準對稱變換。

由定義2和公式(15)，可以得到如下判據(jù)2。

判據(jù)2 對于無限小群變換(11)，如果滿足條件

(27)

則變換是相空間中的類分數(shù)階Noether準對稱變換。

條件(27)也可表為

(σ=1,2,…,r)

(28)

其中ΔG=εσGσ.當(dāng)取r=1時，式(28)可稱為相空間中的類分數(shù)階廣義Noether等式。

利用判據(jù)2，可以判斷所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱性。

3 類分數(shù)階Noether對稱性導(dǎo)致的守恒量

首先，給出類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量的定義。

定義3 函數(shù)I(τ,q,p)稱為類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量，當(dāng)且僅當(dāng)沿著類分數(shù)階Hamilton正則方程(10)的解曲線恒成立

(29)

對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)，如果能找到相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換或準對稱變換，便可求得與之相應(yīng)的守恒量。有如下定理。

定理1 對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(10)，如果無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換，則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量，形如

(σ=1,2,…,r)

(30)

證明因無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換，由定義1，有

ΔS=0

(31)

將式(19)代入上式，得

(32)

將方程(10)代入上式，由εσ的獨立性和積分區(qū)間[a,b]的任意性，得到

(33)

積分之，便得式(30)。證畢。

定理2 對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(10)，如果無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱變換，則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量，形如

(σ=1,2,…,r)

(34)

證明由定義2和方程(10)，類似于定理1，可容易證明之。

定理1和定理2稱為相空間中類分數(shù)階Noether定理。定理表明，如果能找到所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換或類分數(shù)階Noether準對稱變換，便能求出系統(tǒng)的守恒量。

4 算 例

例已知二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(35)

試研究其類分數(shù)階Noether對稱性和守恒量。

由式(1)知

(36)

類分數(shù)階廣義Noether等式(28)給出

(37)

方程(37)有解

(38)

(39)

(40)

由本文判據(jù)，生成元(38)相應(yīng)于系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換，生成元(39)，(40)相應(yīng)于系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱變換。由本文定理，對應(yīng)于生成元(38)，(39)和(40)，守恒量式(34)分別給出為

(41)

(42)

I3=0

(43)

其中式(43)表示與式(40)對應(yīng)的無限小變換是平庸的。

5 結(jié) 語

利用分數(shù)階微積分進行非保守力學(xué)系統(tǒng)或耗散系統(tǒng)的動力學(xué)建模，可以解決用經(jīng)典微積分方法建立起來的模型所難以解決的問題[4, 6-7]?；贓l-Nabulsi提出的分數(shù)階模型，文章研究了相空間中的分數(shù)階變分問題，建立了分數(shù)階模型下的Hamilton正則方程。在El-Nabulsi分數(shù)階模型的框架下，將經(jīng)典的Noether對稱性理論推廣到分數(shù)階系統(tǒng)，建立了相空間中的分數(shù)階Noether理論，從而在更一般意義上揭示了動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系。本文的方法和結(jié)果具有普遍意義，可進一步推廣應(yīng)用于各類約束力學(xué)系統(tǒng)，并且經(jīng)典的Noether定理是本文的特例。

參考文獻：

[1] OLDHAM K B, SPANIER J. The fractional calculus [M]. San Diego: Academic Press, 1974.

[2] MILLER K S, ROSS B. An introduction to the fractional integrals and derivatives-theory and applications[M]. New York: John Wiley and Sons Inc, 1993.

[3] PODLUBNY I. Fractional differential equations [M]. San Diego: Academic Press, 1999.

[4] HILFER R. Applications of fractional calculus in physics [M]. Singapore: World Scientific, 2000.

[5] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier B V, 2006.

[6] RIEWE F. Nonconservative lagrangian and hamiltonian mechanics[J]. Phys Rev E, 1996, 53(2): 1890-1899.

[7] RIEWE F. Mechanics with fractional derivatives [J]. Phys Rev E, 1997, 55(3): 3581-3592.

[8] KLIMEK M. Fractional sequential mechanics-models with symmetric fractional derivative [J]. Czechoslovak J Phys, 2001, 51(12): 1348-1354.

[9] KLIMEK M. Lagrangian and hamiltonian fractional sequential mechanics [J]. Czechoslovak J Phys, 2002, 52(11): 1247-1253.

[10] AGRAWAL O P. Formulation of euler-lagrange equations for fractional variational problems [J]. J Math Anal Appl, 2002, 272(1): 368-379.

[11] AGRAWAL O P. Fractional variational calculus and the transversality conditions [J]. J Phys A: Math Gen, 2006, 39: 10375-10384.

[12] AGRAWAL O P. Fractional variational calculus in terms of Riesz fractional derivatives [J]. J Phys A: Math Theor, 2007, 40(24): 6287-6303.

[13] AGRAWAL O P, MUSLIH S I, BALEANU D. Generalized variational calculus in terms of multi-parameters fractional derivatives [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011, 16(12): 4756-4767.

[17] JUMARIE G. Fractional Hamilton-Jacobi equation for the optimal control of nonrandom fractional dynamics with fractional cost functions [J]. J Appl Math & Computing, 2007, 23(1-2): 215-228.

[18] BALEANU D, AVKAR T. Lagrangians with linear velocities within Riemann-Liouville fractional derivatives [J]. Nuovo Cimento B, 2003, 119(1): 73-79.

[19] BALEANU D, TRUJILLO J I. A new method of finding the fractional Euler-Lagrange and Hamilton equations within Caputo fractional derivatives [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2010, 15: 1111-1115.

[20] BALEANU D, MUSLIH S I, RABEI E M et al. On fractional Hamiltonian systems possessing first-class constraints within Caputo derivatives [J]. Romanian Reports in Physics, 2011, 63(1): 3-8.

[21] ALMEIDA R, TORRES D F M. Necessary and sufficient conditions for the fractional calculus of variations with Caputo derivatives [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011, 16: 1490-1500.

[22] ODZIJEWICZ T, MALINOWSKA A B, TORRES D F M. Fractional variational calculus with classical and combined Caputo derivatives [J]. Nonlinear Analysis, 2011, doi:10.1016/j.na.2011.01.010.

[23] MALINOWSKA A B, TORRES D F M. Generalized natural boundary conditions for fractional variational problems in terms of the Caputo derivative [J]. Comput Math Appl, 2010, 59: 3110-3116.

[24] EL-NABULSI A R. A fractional approach to nonconservative Lagrangian dynamical systems [J]. Fizika A, 2005, 14(4): 289-298.

[25] EL-NABULSI A R. Necessary optimality conditions for fractional action-like integrals of variational calculus with Riemann-Liouville derivatives of order (a,b) [J]. Math Methods Appl Sci, 2007, 30: 1931-1939.

[26] EL-NABULSI A R,TORRES D F M. Fractional action-like variational problems [J]. J Math Phys, 2008, 49:053521.

[27] EL-NABULSI A R. Fractional action-like variational problems in holonomic, non-holonomic and semi-holonomic constrained and dissipative dynamical systems [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 42: 52-61.

[28] EL-NABULSI A R. Fractional variational problems from extended exponentially fractional integral [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217: 9492-9496.

[29] EL-NABULSI A R. Universal fractional Euler-Lagrange equation from a generalized fractional derivate operator [J]. Central European Journal of Physics, 2011, 9 (1): 250-256.

[30] CRESSON J. Fractional embedding of differential operators and Lagrangian systems [J]. Journal of Mathematical Physics, 2007, 48: 033504.

[31] RABEI E M, NAWAFLEH K I, HIJJAWI R S, et al. The Hamilton formalism with fractional derivatives [J]. J Math Ahal Appl, 2007, 327: 891-897.

[32] RABEI E M, ABABNEH B S. Hamilton-Jacobi fractional mechanics [J]. J Math Anal Appl, 2008, 344: 799-805.

[33] RABEI E M, RAWASHDEH I M, MUSLIH S,et al. Hamilton-Jacobi formulation for systems in terms of Riesz’s fractional derivatives [J]. Int J Theor Phys, 2011, 50: 1569-1576.

[34] TARASOV V E. Fractional dynamics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2010.

[35] FREDERICO G S F, TORRES D F M. Constants of motion for fractional action-like variational problems [J]. Int J Appl Math, 2006, 19(1): 97-104.

[36] FREDERICO G S F, TORRES D F M. Non-conservative Noether’s theorem for fractional action-like variational problems with intrinsic and observer times [J]. Int J Ecol Econ Stat, 2007, 9(F07): 74-82.

[37] MEI F X, WU H B. Dynamics of constrained mechanical systems[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2009.