桑 波

(聊城大學數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

當線性孤立奇點是中心時其非線性項的影響可使相圖是非退化中心或是穩(wěn)定焦點或不穩(wěn)定焦點，這類判定問題稱為中心焦點問題。自1904年Dulac研究二次系統(tǒng)的中心判定以來，中心焦點問題受到一些學者的廣泛關注。 它對Arnold問題、可積性問題和Hilbert第十六問題后半部分的解決都具有重要意義。 Bautin完整解決了二次系統(tǒng)的中心焦點判定問題； Sibirskii 解決了缺少二次項的三次系統(tǒng)的中心判定問題；Sadovskii[1]利用Cherkas方法解決了一類可約化為Liénard系統(tǒng)的三次系統(tǒng)的中心判定問題。但對于一般三次系統(tǒng)及三次以上系統(tǒng)，目前還沒有徹底的結論。

Zoladek[2]將中心問題推廣到具有p:-q共振奇點的復多項式微分系統(tǒng)：

(1)

其中p,q∈N,(p,q)=1,x,y,t∈C, 而且

盡管對于p:-q=1:-1,p:-q=1:-2,p:-q=1:-3,p:-q=2:-3,p:-q=3:-q,p:-q=1:-q等情形下的特殊多項式系統(tǒng)的可積性問題，已有大量的研究成果[3-11]，但對于高次多項式系統(tǒng)的可積性問題，仍需作進一步研究。

1 廣義奇點量算法及引理

對于系統(tǒng)(1)，由文[12]，可逐項確定形式冪級數(shù)

(2)

使得

(3)

其中Wn稱為系統(tǒng)(1)在原點的第n階廣義奇點量。

下面介紹我們計算廣義奇點量的方法。對(3)式中間部分合并同類項得：

Vn(xqyp)n+1+h.o.t.

其中Vn,fl,j,f(p+q)(n+1),j都是關于諸參數(shù)ak,j,bk,j和諸變量Bk,j的多項式，且關于諸變量Bk,j是線性的；h.o.t.表示次數(shù)高于(p+q)(n+1)的項。

一方面，系統(tǒng)(1)在原點的各階廣義奇點量都為零是系統(tǒng)在原點可積的充要條件；另一方面由Hilbert有限基定理，所有廣義奇點量生成的有理數(shù)域上的多項式理想是有限生成的，因此可積性問題可在有限步內解決。

考慮右端函數(shù)為n次復多項式的二維微分自治系統(tǒng)：

(4)

定義1[12]設f(x,y)是一個m>0次多項式，如果存在多項式h(x,y), 使得

(5)

則稱f=0是系統(tǒng)(4)的m次不變代數(shù)曲線，并稱f是系統(tǒng)(4)的代數(shù)積分，h稱為f的余因子。

引理1[12]設f1,f2,…,fm是系統(tǒng)(4)的m個獨立的代數(shù)積分，滿足

(6)

如果存在一組不全為零的復常數(shù)α1,α2,…,αm, 使得

(7)

引理2[13]系統(tǒng)(1)在原點可積的充要條件是該系統(tǒng)存在形如(2)的形式首次積分。

2 主要結果

考慮一類以原點為4 ∶-5共振奇點的復三次Lotka-Volterra系統(tǒng)：

(8)

通過計算，我們得到系統(tǒng)(8)的前8階廣義奇點量W1,W2,…,W8，其中

W2k+1=0,k=0,1,2,3;

而第4階、第6階、第8階廣義奇點量的項數(shù)分別多達79項，179項，319項，在此不便給出。但讀者可根據(jù)上節(jié)廣義奇點量的計算方法，并通過符號計算軟件Maple 7以上版本編程得到這些廣義奇點量。

令I8=為廣義奇點量生成的多項式理想。首先我們使用符號計算軟件 Singular中的命令minAssGTZ[16]得到在有限域Z32003上多項式理想I8的最小相伴素理想分別為

J1=,

J2=,

J3=,

J4=,

J5=,

J6=,

J8=

然后根據(jù)文[17]的有理重構算法，我們得到在有理數(shù)域上多項式理想I8的最小相伴素理想分別為

S1=,

S2=,

S3=,

S4=,

S5=,

S6=,

S8=

定理1 系統(tǒng)(8)在原點可積的必要條件是下列八組條件之一成立：

(i)b1=0;

(ii)a2=0;

(iii)a1=4/3b1;

(iv)a1=2b1,a2=6/5b2;

(v)a1=3/2b1,a2=6/5b2;

(vi)a2=-2b2,b1=7/4a1;

除條件(vii)外， 其它條件也是充分的。

證明(必要性) 只需求解多項式集G={W2,W4,W6,W8}，但由于這一過程非常復雜，我們無法在有理數(shù)域上直接給出零點分解。

(充分性)當條件(i)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(9)

系統(tǒng)(9)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(9)在原點可積。

當條件(ii)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(10)

系統(tǒng)(10)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(10)在原點可積。

當條件(iii)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(11)

(12)

設v1(x)=0，通過求解遞推方程并令積分常數(shù)為1可得

(13)

下面利用數(shù)學歸納法證明當n≥2時，

(14)

其中P2n+1(x)表示次數(shù)為2n+1次的多項式。

當n=2時，結論顯然成立。

假設當n=k時，

(15)

其中P2k+1(x)表示次數(shù)為2k+1次的多項式。

將n=k+1和(15)式代入遞推方程，我們得到

(16)

其中

2kP2k+1(x)b1(-b2+2a2)x2+

為2k+3次多項式。求解方程(16)并令積分常數(shù)為零，我們得到vk+1(x)具有如下形式

(17)

其中P2k+3(x)表示次數(shù)為2k+3次的多項式。即當n=k+1時，結論成立。

綜上，系統(tǒng)(11)具有形式首次積分

其中P2k+1(x)為2k+1次多項式，從而由引理2，系統(tǒng)(11)在原點可積。

當條件(iv)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(18)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學歸納法可證系統(tǒng)(18)具有形式首次積分

其中P2k(y)為2k次多項式，P4(y)=y4。 從而由引理2，系統(tǒng)(18)在原點可積。

當條件(v)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(19)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學歸納法可證系統(tǒng)(19)具有形式首次積分

其中P2k(y)為2k次多項式 ，P4(y)=y4。從而由引理 2，系統(tǒng)(19)在原點可積 。

當條件(vi)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(20)

同情形(iii)的證明類似，利用數(shù)學歸納法可證系統(tǒng)(20)具有形式首次積分

其中P4k-3(x)為4k-3次多項式，P5(x)=x5。從而由引理2，系統(tǒng)(20)在原點可積。

當條件(vii)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(21)

對于系統(tǒng)(21)，我們沒有找到其形式首次積分或積分因子，但通過計算可知其前30階廣義奇點量全部為零，因此我們猜想系統(tǒng)(21)在原點可積。

當條件(viii)成立時，系統(tǒng)(8)化為

(22)

系統(tǒng)(22)以函數(shù)

為積分因子，因此系統(tǒng)(22)在原點可積。

參考文獻：

[1] SADOVSKII A P, SHCHEGLOVA T V. Solutions of the center focus problem for a nine-parameter cubic system [J]. Differential Equations, 2011, 47(2): 208-223.

[3] ROMANOVSKI V G, SHCHEGLOVA N L. The integrability conditions for two cubic vector fields [J].Differential Equations, 2000, 36(1): 108-112.

[5] GINé J, ROMANOVSKI V G. Integrability conditions for Lotka-Volterra planar complex quintic systems [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11(3): 2100-2105.

[6] LIU C J, CHEN G T, LI C Z. Integrability and linearizability of the Lotka-Volterra systems [J]. Journal of Differential Equations, 2004, 198(2): 301-320.

[8] LIU C J, CHEN G T, CHEN G R. Integrability of Lotka-Volterra type systems of degree 4 [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 388(2): 1107-1116.

[10] CHEN X W, GINé J, ROMANOVSKI V G, et al. The 1:-qresonant center problem for certain cubic Lotka-Volterra systems [J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 218(23): 11620-11633.

[11] HU Z P, ROMANOVSKI V G, SHAFER D S. 1 : -3 resonant centers onC2with homogeneous cubic nonlinearities [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2008, 56(8): 1927-1940.

[12] 劉一戎, 李繼彬. 平面向量場的若干經(jīng)典問題[M]. 北京:科學出版社, 2010.

[13] MATTEI J F, MOUSSU R. Holonomie et intégrates premières [J]. Ann Sci Ecole Normale Superieure, 1980, 13(4): 469-523.

[14] 楊路, 張景中, 侯曉榮. 非線性代數(shù)方程組與定理機器證明[M]. 上海:上?？萍冀逃霭嫔? 1996.

[15] 劉木蘭. Gr?bner基理論及其應用[M]. 北京:科學出版社, 2000.

[16] ZEIDLER E, GREUEL G M, PFISTER G. A singular introduction to commutative algebra [M]. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[17] WANG P S, GUY M J T, DAVENPORT J H. P-adic reconstruction of rational numbers [J]. SIGSAM Bull, 1982, 16(2): 2-3.