齊良平 褚寶增

[摘要]在力學(xué)及許多工程技術(shù)問題中，如何定量地刻畫空間曲面的彎曲程度十分重要。本文通過對(duì)平面曲線曲率具有普遍性的推導(dǎo)方法，推廣到空間曲面的方向曲率與對(duì)點(diǎn)方向曲率，并得出了方向曲率是最小曲率的結(jié)論。

[關(guān)鍵詞]空間曲面 方向曲率 對(duì)點(diǎn)方向曲率

一、平面曲線的曲率

首先介紹平面曲率具有普遍性的推導(dǎo)方法，為下邊空間曲面的方向曲率與對(duì)點(diǎn)方向曲率的公式推導(dǎo)提供參照依據(jù)[1][2]。

假定曲線y=y（x）二階可導(dǎo)。da表示曲線上某點(diǎn)處切（法）向量的變角，曲線在此點(diǎn)的一個(gè)切向量為

設(shè)曲線上某點(diǎn)為 ，點(diǎn)A，B處的切向量分別為

二、曲面的方向曲率

借助曲率由平面曲線推廣到空間曲線的思想[3]，容易想到是否可以推廣得到曲面的“曲率”，事實(shí)上，曲面并無曲率的意義，因?yàn)榍嫔辖?jīng)過同一點(diǎn)的多條曲線在這一點(diǎn)的曲率未必相同，因而也就難以把它們統(tǒng)一起來。但若給定了曲面上弧增量的取向，令變角為法向量變角，則曲面在該點(diǎn)沿給定方向的曲率存在，并且可求。

定義1：（方向曲率）設(shè)有光滑二階可微曲面，點(diǎn)P（x0，y0，

z0）∈∑，∑在P處一個(gè)法向量為 ，給定弧增量

△s的取向?yàn)?，△α為法向量變角，若

存在，則稱K為∑在P處沿 方向的方向曲率，記

。

關(guān)于定義的說明： 并非任意，如果 與 不垂直，則按

取微小增量后將離開原曲面∑。

下面給出計(jì)算公式的推導(dǎo)：

設(shè)光滑二階可微曲面，點(diǎn)P（x，y，z）∈∑，∑在P處一個(gè)法向

量為 ，給定弧增量△s，取向?yàn)?/p>

為法向量變角， 。

定理：曲面∑在點(diǎn)P處沿 方向的方向曲率不大于∑上 經(jīng)過P，且以 為在P的一個(gè)切向量的曲線C在P處的曲率。

簡(jiǎn)而言之：方向曲率是最小曲率。

證明：如圖-1，對(duì)曲率相應(yīng)地有曲率中心[4]，設(shè)與P相應(yīng)的曲率中心為O，給增量△s后得到點(diǎn)Q，∑在P，Q的一個(gè)法向量分別為 ，C在P，Q的一個(gè)切向量分別為 。則

分別以O(shè)P，OQ為垂線，P，Q為垂足作平面 。

所成二面角為 ，得 ，

所以在△s相同的情況下△α為最小，取極限后仍如是。故此說方向曲率是最小曲率。

三、曲面的對(duì)點(diǎn)方向曲率

定義2 （對(duì)點(diǎn)方向曲率） 已知空間一定點(diǎn)P，曲面∑及其上一點(diǎn)D，∑在D處一個(gè)法向量為 ，給D處沿 方向 一個(gè)弧增量△s，得到點(diǎn)E， ，若 存在，則稱K為∑在D沿 方向?qū)的曲率，記 。

曲面∑在D處沿 方向?qū)的曲率與∑上任意經(jīng)過D且以

為在D的一個(gè)切向量的曲線C在D對(duì)P的曲率相等。

曲面的方向曲率、對(duì)點(diǎn)方向曲率可稱為廣義曲率。有了曲面的方向曲率、對(duì)點(diǎn)方向曲率的定量結(jié)果，對(duì)曲面彎曲程度的認(rèn)識(shí)便可更加準(zhǔn)確。

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄭利凱，平面曲線曲率計(jì)算公式的探討[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012， 5：20-21.

[2]褚寶增，陳兆斗.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008，8：109-112.

[3]梁林，毛瑞.空間曲線的曲率圓問題新探[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào).2012， 3：28-39.

[4]崔鳳午.空間曲線曲率中心軌跡的曲率與撓率[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報(bào).2010，2：41-43.

（作者單位：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院 北京）