王超

摘 要：高中數(shù)學(xué)新教材增加了向量知識(shí)，向量具有幾何和代數(shù)的雙重形式和特征是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，為解決和處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題增添新的方法，因此有必要理清向量與平面幾何、三角、解析幾何、立體幾何、數(shù)學(xué)模型等的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：幾何；解析幾何；三角；模型

一、向量與平面幾何的關(guān)系

平面幾何是學(xué)習(xí)平面向量的重要載體，沒有平面幾何這一載體，學(xué)生很難理解平面向量的一些概念.同時(shí)由于向量可以用有向線段表示，這就為用向量解決平面幾何問題創(chuàng)造了條件.牢牢把握向量與平面幾何的關(guān)系，一方面應(yīng)用向量加減法三角形法則與平行四邊形法則、向量的模、向量的平行與垂直等幾何意義解決問題；另一方面結(jié)合平面幾何知識(shí)解決向量問題.

例1.（05年浙江高考題）已知向量a≠e，e=1，對(duì)任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A.a⊥e B.a⊥（a-e） C.e⊥（a-e） D.（a+e）⊥（a-e）

解：如圖1，設(shè)O，A為定點(diǎn)，■=a，■=e，■=te，t在變，te也在變，即點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三點(diǎn)共線.因而a-te表示■的模長(zhǎng)，a-e表示■的模，對(duì)任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■⊥■，即e⊥（a-e），選C.

點(diǎn)評(píng)：解利用向量的減法的幾何意義和向量平行的充要條件，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜結(jié)合等思想把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，非常直觀地找到了答案.

二、向量與解析幾何的關(guān)系

由于向量的坐標(biāo)化使向量與解析幾何建立一定的聯(lián)系，也改變了解析幾何中的一些傳統(tǒng)研究方法.由于向量?jī)?nèi)積的幾何幾何意義，即向量投影等概念，可以用來解決點(diǎn)到直線的距離.向量坐標(biāo)表示方法使方程思想有了更廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用向量?jī)?nèi)積還可以解決兩條直線夾角等問題，大大簡(jiǎn)化了解析幾何中的計(jì)算.但值得一提的是新教材中定比分點(diǎn)定理和兩條直線的夾角公式，它們是傳統(tǒng)教材的難點(diǎn)問題，向量的引入可以廢除這兩個(gè)公式的“武功”，既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又培養(yǎng)了綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

例2.（2009全國(guó)卷Ⅱ理）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為■的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若■=4■，則曲線C的離心率為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

解：設(shè)雙曲線C：■-■=1的右準(zhǔn)線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為■，知直線AB的傾斜角60°，∴∠BAD=60°，AD=■AB，

由雙曲線的第二定義有：

AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.

又∵■=4■

∴■·3■=■■∴e=■.故選A.

評(píng)析結(jié)合了向量的模的幾何意義和雙曲線的知識(shí)解決問題.

三、向量與立體幾何中的關(guān)系

在選修2-1引入了空間向量，它的引入為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具，將復(fù)雜繁瑣的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算問題，進(jìn)一步闡釋了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系.

例3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.

（1）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（2）求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

解：（1）如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量n=（x，y，z），由n⊥■，n⊥■可得：

2x+4y=02y+2z=0，令z=1，則n=（2，-1，1）.設(shè)所求角為α，則sinα=■=■，

所以所求角的大小為arcsin■.

（2）由條件可得，AN⊥NC.在Rt△PAC中，PA2=PN·PC，所以PN=■，則NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的■，設(shè)點(diǎn)P到平面ACM距離為h，則h=■=■，所以所求距離為■h=■.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用向量數(shù)量積的知識(shí)，將立體幾何線面角轉(zhuǎn)化為直線方向向量與法向量的夾角，點(diǎn)到面得距離轉(zhuǎn)化■在平面法向量n的投影，充分應(yīng)用了向量的幾何意義.

四、向量與三角的關(guān)系

用向量方法可研究解析幾何中兩直線夾角問題，用向量方法還可研究三角形中有關(guān)角的計(jì)算（包括垂直問題）和三角公式、余弦定理的推導(dǎo).與傳統(tǒng)比較，向量方法簡(jiǎn)潔明了，構(gòu)造思想對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新思維很有價(jià)值.向量作為一種新的運(yùn)算工具，常常與三角結(jié)合起來，廣泛應(yīng)用于解決三角問題.

例4.（2010年四川高考題）（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

（Ⅱ）已知△ABC的面積S=■■·■=3，且cosB=■，求cosC.

解（1）①如圖3，在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為OX，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3；角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4.

則P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.

P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.

∴sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c，

則S=■bc sinA=■■·■=bc cosA=3>0

∴A∈（0，■），cosA=3sinA.

又∵sin2A+cos2A=1，∴sinA=■，cosA=■.

由題意，cosB=■，得sinB=■，

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示和內(nèi)積運(yùn)算及兩點(diǎn)間的距離公式，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，比傳統(tǒng)方法更加簡(jiǎn)潔明了、簡(jiǎn)單易懂，充分體現(xiàn)了向量的工具性.

五、向量與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

由于向量具有明顯物理背景和幾何特征，而且具有形式特征，這就為向量與某些數(shù)學(xué)模型發(fā)生了聯(lián)系.如向量a=（x，y）的模等于■向量數(shù)量積的定義等都具有模型特征，所以只要具有類似特征的問題，都可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決.

例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求證：■+■≤2■.

證明：設(shè)m=（1，1），n=（■，■），

則m=■，n=■=2

由性質(zhì)m·n≤m·n，得■+■≤2■

點(diǎn)評(píng)：本題利用■與向量模的結(jié)構(gòu)上的類似而構(gòu)造向量，然后利用向量數(shù)量積的模小于向量模的積來解決問題.向量不等式“m·n≤m·n”也是解決不等式的重要工具，是實(shí)現(xiàn)由等到不等的重要手段，在求最值中經(jīng)常用到.由于向量具有雙重特征，向量的表示方法多樣，因而向量解決問題方法也多樣.向量的應(yīng)用應(yīng)該不拘于幾何特征和代數(shù)形式，從不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解決問題，可見異曲同工之妙.

參考文獻(xiàn)：

[1]祈平.課標(biāo)要求下向量及其教學(xué)的一些思考和建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（12）.

[2]耀世虎.從一道立體幾何題談向量的應(yīng)用[J].教學(xué)文匯，2009（01）.

（作者單位 四川省綿陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

？誗編輯 司 楠