彭吳桃

摘 要：本文從兩道課本習(xí)題出發(fā)，從兩圓相交、兩圓相切（內(nèi)切或外切）、兩圓相離、兩圓內(nèi)含這4個方面探討了兩圓方程相減的幾何意義.

關(guān)鍵詞：兩圓方程；相減；幾何意義

人教版高中數(shù)學(xué)必修2課本第152頁有這樣兩道題：

A組6 已知圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x-4y+4=0關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程.

解：兩圓心為C1（0，0），C2（-2，2），C1C2斜率為-1，中點(diǎn)為（-1，1），所以直線l斜率為1，過點(diǎn)（-1，1），求得直線l的方程為x-y+2=0.

A組7 求與圓C：（x+2）2+（y-6）2=1關(guān)于直線l：3x-4y+5=0對稱的圓的方程.

解：設(shè)對稱圓的圓心（a，b），所以（a，b）與（-2，6）關(guān)于l：3x-4y+5=0對稱，

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這是兩圓關(guān)于直線對稱的問題，兩圓半徑相同可以轉(zhuǎn)化成兩圓圓心關(guān)于直線對稱的問題，但是在練習(xí)的過程中細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了A組6中兩圓方程相減即為所求對稱直線方程，這是否是必然呢？若是，A組7中圓C與直線l方程相加減為何又不是所求對稱圓的方程呢？學(xué)生提問引發(fā)筆者思考圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0這兩圓方程相減的幾何意義是什么呢？探討如下：

當(dāng)兩圓相交時

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為圓C1和圓C2的交點(diǎn)，則有A（x1，y1），B（x2，y2）滿足方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，

x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②， ①-②得（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0③，A（x1，y1），B（x2，y2）也滿足③，所以直線l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩圓公共弦所在直線方程.

當(dāng)兩圓相切（內(nèi)切或外切）時

當(dāng)把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動時，兩交點(diǎn)會逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)時，兩圓外切，同時與兩圓相交的直線l也就與兩圓只有一個公共點(diǎn)，直線l成為兩外切圓的過同一切點(diǎn)的公切線.因此，直線l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩外切圓的過同一切點(diǎn)的公切線. 當(dāng)把兩相交的圓逐漸往中間移動，到兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)時，兩圓內(nèi)切，同時，與兩圓相交的直線l也就與兩圓只有一個公共點(diǎn)，直線l成為兩內(nèi)切圓的過同一切點(diǎn)的公切線. 因此，直線l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩內(nèi)切圓的公切線.

當(dāng)兩圓相離時

這里首先得了解式子的意義，先看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，當(dāng)點(diǎn)在圓外的時候表示點(diǎn)P到圓的切線長，所以表示點(diǎn)P到圓的切線長，①-②得：

（x2+y2+D1x+E1y+F1）-（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0，此式可變?yōu)椋?，即點(diǎn)P到兩圓的切線長相等. 因此，直線l的幾何意義是：到兩相離圓的切線長相等的點(diǎn)的集合.

當(dāng)兩圓內(nèi)含時

對兩圓內(nèi)含且非同心圓，同3易知，直線l上的點(diǎn)到兩圓的切線長相等.

由以上結(jié)論可知如果兩圓的半徑相等，無論是相交、相切、相離，兩圓方程相減所得就是兩圓的對稱軸直線方程. 可見A組6中結(jié)果是必然的. A組7中能否由圓方程與直線方程加減得到呢？很快我們發(fā)現(xiàn)直線方程的系數(shù)進(jìn)行了一定的化簡，所以直接相加減是很容易出錯的，以下給出新的解法：

設(shè)對稱圓的方程為（x+2）2+（y-6）2-1+m（3x-4y+5）=0，即x2+y2+（4+3m）x-（12+4m）y+39+5m=0，半徑為1，所以=1，解之得m=-4或0（舍），

整理得對稱圓的方程為：（x-4）2+（y+2）2=1.