羅強(qiáng)

摘 要：本文主要討論當(dāng)下的熱門(mén)話題參與式教學(xué)，重心在于如何讓學(xué)生參與到課堂中，是對(duì)數(shù)學(xué)課堂參與式教學(xué)的切身的體驗(yàn)和淺顯的看法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；參與式；好奇心；問(wèn)題；興趣；積極性

數(shù)學(xué)看是一門(mén)枯燥乏味的學(xué)科，正是如此很大程度上限制數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展. 新課改之后，全面提出參與式教學(xué)，不再是填鴨式的教學(xué)，它更注重學(xué)生的主體性，讓學(xué)生積極參與到課堂中，主動(dòng)獲取知識(shí).從教師和學(xué)生兩方面突破數(shù)學(xué)教學(xué)的局限性.

首先，參與式教學(xué)中的教師作為一名向?qū)Т嬖冢ㄟ^(guò)設(shè)立教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生一步一步主動(dòng)獲取知識(shí). 與過(guò)去的數(shù)學(xué)課堂中，教師始終處于教育活動(dòng)的中心地位有區(qū)別. 參與式教學(xué)法強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程是師生之間的雙向互動(dòng)，它需要調(diào)動(dòng)和發(fā)揮教師和學(xué)生兩個(gè)方面的創(chuàng)造性、積極性和主動(dòng)性. 因此，要求注意了解學(xué)生的愿望和需求，把他們所關(guān)注的問(wèn)題滲透到教學(xué)之中，做到突出主題、有的放矢.

其次，參與式教學(xué)中的學(xué)生不再是被動(dòng)去吸收、強(qiáng)記知識(shí)，而是要主動(dòng)去探尋. 在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生處于主體地位，學(xué)生是課堂的探索者，學(xué)生就會(huì)以主動(dòng)的態(tài)度和自己的方式去探究知識(shí)，尋求對(duì)自己有價(jià)值的知識(shí).

因此教師需在課堂中巧妙地組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)中去，拓展其發(fā)展空間，挖掘其創(chuàng)造潛能，開(kāi)發(fā)其創(chuàng)造力. 但要如何讓學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中也是參與式教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)；通過(guò)這三年來(lái)的學(xué)案式教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為可以從以問(wèn)題貫穿課堂；以成就感提升學(xué)生的興趣；以親身體驗(yàn)提高學(xué)生的積極性這三方面來(lái)提高學(xué)生的參與度.

以問(wèn)題貫穿課堂

我們組上的學(xué)案教學(xué)就是以問(wèn)題貫穿始終；一個(gè)好的問(wèn)題的提出能勾起學(xué)生的好奇心. 問(wèn)題的提出可先從生活實(shí)例或故事或者練習(xí)題出發(fā)，吸引學(xué)生的注意力. 接著從生活或故事或練習(xí)題中拋出問(wèn)題，引起學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生嘗試著解決，而學(xué)生知道解決的思路，但利用已有的知識(shí)卻無(wú)從解決或與原來(lái)的思維發(fā)生沖突，勾起好奇心從而主動(dòng)去探尋解決辦法.

比如說(shuō)，在上《求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》時(shí)，可以用故事引入：“相信大家都看過(guò)《西游記》，那你們知不知道取經(jīng)后，豬八戒去做什么了嗎？話說(shuō)唐僧師徒四人西天取得真經(jīng)，修成正果之后，豬八戒回到他朝思暮想的高老莊，大力發(fā)展畜牧養(yǎng)殖業(yè)，從給高老爺做工的農(nóng)民工，逐步發(fā)展成為一個(gè)規(guī)模不小的養(yǎng)殖場(chǎng)的老板. 可是上網(wǎng)和同門(mén)師兄一溝通，各個(gè)資產(chǎn)過(guò)億，于是他也想擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，辦一個(gè)集養(yǎng)殖、加工為一體的高科技生產(chǎn)企業(yè)——高老莊集團(tuán)，可是資金不夠，于是他想到了在海南搞房地產(chǎn)的大師兄.

豬八戒：猴哥，能不能幫幫我……

孫悟空：No problem！我每天給你投資100萬(wàn)元，連續(xù)一個(gè)月（30天），但有一個(gè)條件：你第一天返還1元，第二天返還2元，第三天返還4元……后一天返還數(shù)為前一天的2倍. 30天之后互不相欠.

豬八戒：第一天出1元入100萬(wàn)；第二天出2元入100萬(wàn)；第三天出4元入100萬(wàn)元……哇，發(fā)了……（想：這猴子是不是又在耍我）.

大家替豬八戒想想他是不是被孫大圣耍了呢？

故事引入的開(kāi)頭頓時(shí)激起了學(xué)生的興趣，順著故事的思路，便也開(kāi)始好奇孫悟空到底是不是在耍豬八戒. 紛紛開(kāi)始思考老師所提出的問(wèn)題，也就是要算兩種方式的總價(jià)錢(qián)，然后進(jìn)行比較. 學(xué)生很容易算出100×30=3000（萬(wàn)元），但在算1+2+4+8+…+229的時(shí)候就無(wú)從下手了，問(wèn)題到這就沒(méi)辦法解決了. 在好奇心的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生就更想去尋求他的解決辦法，從而進(jìn)入探索新知識(shí)的內(nèi)容.當(dāng)然教材上也有引用了國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)象棋發(fā)明者的故事，發(fā)明者向國(guó)王提出在棋盤(pán)上放麥粒的要求，通過(guò)學(xué)習(xí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)最后國(guó)王拿出的麥?？倲?shù)（1+2+22+23+24+…+263）是一個(gè)驚人的天文數(shù)字.

因此，設(shè)置一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題，能充分調(diào)動(dòng)課堂的氣氛，促使學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的每一個(gè)動(dòng)向，帶動(dòng)學(xué)生參與到解決問(wèn)題的過(guò)程，從而達(dá)到讓學(xué)生參與課堂的目的.

以成就感提升興趣

要讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)課堂中，他們的興趣是一個(gè)不可或缺的因素. 只要他們對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，也就能夠投入到課堂當(dāng)中. 以成功解決數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)滿足學(xué)生的成就感是提升學(xué)生興趣的途徑之一. 如何來(lái)幫助學(xué)生尋找他們的成就感呢？也就是如何引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題？一般采取提問(wèn)加點(diǎn)撥式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 對(duì)于所提的問(wèn)題不宜太過(guò)簡(jiǎn)單，學(xué)生會(huì)覺(jué)得沒(méi)勁不參與其中，也不宜太具有挑戰(zhàn)性，打擊學(xué)生的積極性. 從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題一步一步引導(dǎo)，適時(shí)設(shè)置障礙，讓學(xué)生去挑戰(zhàn)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候點(diǎn)撥，幫助學(xué)生跳躍障礙. 通過(guò)這樣的途徑一是讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)其實(shí)也不難，二是讓學(xué)生感覺(jué)到自己有能力解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就不會(huì)在障礙面前失去信心，進(jìn)而失去學(xué)習(xí)的興趣.

我們不主張傳統(tǒng)教學(xué)中的講授法，而是根據(jù)數(shù)學(xué)本身，提出問(wèn)題適當(dāng)點(diǎn)撥，讓學(xué)生動(dòng)腦筋，需要時(shí)也可以讓單個(gè)學(xué)生來(lái)回答，讓學(xué)生參與到問(wèn)題解決過(guò)程中，由學(xué)生解決. 同時(shí)對(duì)學(xué)生在參與例題解決中的“惑”給予適當(dāng)點(diǎn)撥，這即為學(xué)生參與解決問(wèn)題掃清障礙，又將鼓勵(lì)學(xué)生以更高的熱情參與學(xué)習(xí). 對(duì)于點(diǎn)撥，常用的方法有聯(lián)系已知，對(duì)照比較，變換角度等等.

比如說(shuō)，這道題：“已知函數(shù)f（x）=對(duì)于任意x1，x2∈[-1，+∞]，比較f（x1）-f（x2）與x1-x2大小”. 根據(jù)已有的方法，學(xué)生會(huì)選擇用作商法得出. 接著教師可設(shè)置第一個(gè)問(wèn)題：“觀察這個(gè)式子，含有根號(hào)不容易計(jì)算，接下來(lái)應(yīng)怎么處理呢？”學(xué)生的直接反應(yīng)是平方，出現(xiàn)了，形式更復(fù)雜了. 接著教師可提出第二個(gè)問(wèn)題：“對(duì)它進(jìn)行平方，變得更復(fù)雜了，還有沒(méi)有別的方法呢？”留下學(xué)生思考的空間并結(jié)合分母有理化引導(dǎo)他們往分子有理化方向走，學(xué)生經(jīng)過(guò)演算可得出. 第三個(gè)問(wèn)題：“到了這一步，我們?nèi)绾巫屵@個(gè)式子與1有聯(lián)系呢？”學(xué)生想到分母變?yōu)樾稳鐇1+x2的形式進(jìn)而會(huì)用到放縮法.

再如：證明log23>log34（血色比較法）.

【法1】（高一知識(shí)） log23-log34=（log23-1）-（log34-1）=log2-log3>log3-log3=log3>0.

【法2】（高二知識(shí)）

教師注意要在題目的障礙處進(jìn)行引導(dǎo). “引導(dǎo)”不是傳統(tǒng)的講授法而是強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性，注重啟發(fā)式，在學(xué)生踮著腳且夠不著的情況下，教師給予搭橋鋪墊，讓學(xué)生“跳一跳，摘果子”. 這就是設(shè)置問(wèn)題的目的：既能勾起學(xué)生的好奇心，同時(shí)又能滿足他們的成就感，學(xué)生能在挑戰(zhàn)中找到成功的喜悅從而更積極參與其中.

以親身體驗(yàn)提高積極性

數(shù)學(xué)課堂教師要少講，學(xué)生要多想，讓學(xué)生在題目中去“求同存異”；在筆者的教學(xué)中堅(jiān)持一個(gè)學(xué)的循環(huán)過(guò)程：“思——做——問(wèn)——思”. 思是學(xué)生的獨(dú)立思考；做是學(xué)生自己動(dòng)手操作；問(wèn)是學(xué)生間的相互交流；只有讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用，吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，才能內(nèi)化為他們自己的知識(shí)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 比教師自己反復(fù)叮嚀“這里要注意”、“那里不要出錯(cuò)”的效果要好得多.教師只需在最后進(jìn)行點(diǎn)撥式的總結(jié)一下注意事項(xiàng).

例如：“由4球放入3個(gè)盒子的問(wèn)題引出的題型”

（基本模型）

由4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)小球的放法數(shù)為_(kāi)_______.

解：（捆綁法）CA；

[（C）＼&×＼&×＼&]

另：分法：2，1，1，分組分工：·A=C·A=36.

（變化的題型）

1. （組合第3課練習(xí)2006重慶高考）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高二年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，至多2名，則不同的分配方案有（ ）

A. 30種 B. 90種

C. 180種 D. 270種

解：分組為：2，2，1，分法為：·A=90種.

點(diǎn)評(píng)：元素個(gè)數(shù)差為2，且只有1類(lèi)分組.

2. （組合第3課變換）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高二年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，則不同分配方案有______種.

解：分組為：2，2，1或3，1，1，分法為：

+）·A=150.

點(diǎn)評(píng)：去掉了條件每班至多2名，元素個(gè)數(shù)差為2，且有2類(lèi)分組.

3. 5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒中，恰有1個(gè)空盒的放法數(shù)為_(kāi)_____.

解：CA=10×120=1200.

（區(qū)別的題型）

4. 4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門(mén)課程中選修1門(mén)，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（ ）

A. 12種 B. 24種

C. 30種 D. 36種

解：C·22=24.

（引申的題型）

5. （2011重慶）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中，

（1）沒(méi)有人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；

（2）每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)的概率.

解：（1）所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“沒(méi)有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”的申請(qǐng)方式有24種，記“沒(méi)有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則P（A）==.

（2）所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”的申請(qǐng)方式有CCC或CA種，記“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”為事件B，從而有P（B）==.

在數(shù)學(xué)課堂中，采取參與式教學(xué)方式的期望是通過(guò)建設(shè)一個(gè)能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性的一種學(xué)習(xí)氛圍，讓每一個(gè)學(xué)生都成為實(shí)踐者，讓每一個(gè)學(xué)生都成為參與者. 同時(shí)讓學(xué)生感受到這是屬于他自己的課堂，需要他，他不是被灌輸?shù)膶?duì)象.日常教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在碰到稍難一些的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)覺(jué)得“無(wú)從著手”，找不到解決問(wèn)題的途徑，其中一個(gè)比較突出的問(wèn)題就是不善于“聯(lián)想”. 愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“想象力比知識(shí)更重要”. 聯(lián)想是客觀事物的內(nèi)部規(guī)律和相互間關(guān)系在人們頭腦中的反映，是“由此及彼”的思維活動(dòng)，是將知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系在一起思考的思維過(guò)程. 數(shù)學(xué)學(xué)科本身就是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，這種聯(lián)系不但體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法和思維方式上. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生有效變換視角、發(fā)散思維，調(diào)動(dòng)大腦中的存儲(chǔ)信息，聯(lián)想與新知識(shí)相關(guān)的其他知識(shí)（問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想和方法），建立起它們之間的聯(lián)系，架構(gòu)從生疏到熟悉、從未知到已知的橋梁，必能在有效建構(gòu)所學(xué)知識(shí)，將其納入到知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)有效拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)一步提升學(xué)生思維的靈活性和開(kāi)闊度，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和解題能力將會(huì)得到有效的發(fā)展. 那么，在教學(xué)實(shí)踐中，如何有效引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想呢？筆者以例行文，談?wù)勛约旱淖龇?，與同行探討.

借助數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想

數(shù)學(xué)本是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體.數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，包括數(shù)學(xué)知識(shí)間的橫向、縱向聯(lián)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的必然聯(lián)系，數(shù)學(xué)思想方法層面的必然聯(lián)系，為學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)聯(lián)想提供了可能. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是新知識(shí)、新方法的引入過(guò)程中，通過(guò)加強(qiáng)新舊知識(shí)間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系中開(kāi)展教學(xué)，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，揭示新舊知識(shí)間、數(shù)學(xué)思想方法間的共同因素與差異所在，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法遷移的有效策略.

案例1 借助幾何模型探求數(shù)學(xué)問(wèn)題案例

例1：（1）探求+的最小值；

（2）若a，b，c為實(shí)常數(shù)，實(shí)數(shù)x，y滿足ay-bx=c≠0，探求a，b，c之間滿足的關(guān)系式是什么？

對(duì)于題（1），引導(dǎo)學(xué)生回顧平面上兩點(diǎn)間的距離公式（考慮逆用公式），學(xué)生馬上聯(lián)想到式子表示A（x，y），B（a，b）兩點(diǎn)間的距離，從而該題即求點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)B（4，4）的距離之和. 對(duì)于題（2），引導(dǎo)學(xué)生回顧表示點(diǎn)A（x，y）到直線l：ay-bx=0的距離，點(diǎn)B（a，b）在直線l上，直線l外一點(diǎn)A（x，y）到直線l的距離不大于點(diǎn)A（x，y）到直線l上一點(diǎn)B（a，b）的距離，從而有=·≤，即≤1，得a2+b2≥c2.

“熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì)做詩(shī)也會(huì)吟.” 在平時(shí)的教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)積累. 積累多了，遇到類(lèi)似的問(wèn)題就容易遷移聯(lián)想到相應(yīng)的思路與方法. 當(dāng)然，積累不是填鴨式，不但要讓學(xué)生“知其然”，更要“知其所以然”，讓學(xué)生在潛移默化中通過(guò)同化或順應(yīng)的方法將其內(nèi)化，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

依托本原問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想

教學(xué)中，我們?cè)谥笇?dǎo)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的時(shí)候，不僅要關(guān)注問(wèn)題本身，還應(yīng)關(guān)注問(wèn)題的背景、問(wèn)題的基礎(chǔ)和依據(jù)，回歸問(wèn)題的本原，領(lǐng)悟內(nèi)在的本質(zhì)問(wèn)題，發(fā)掘知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系以及基本性質(zhì)和功能，從本原問(wèn)題的角度考查基本知識(shí)在知識(shí)系統(tǒng)中的地位和作用. 依托本原問(wèn)題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要針對(duì)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，思考其“核心要素”或“基本構(gòu)成”，作為解決問(wèn)題的首選方法，其實(shí)質(zhì)是考慮什么是該數(shù)學(xué)問(wèn)題最為根本的、本質(zhì)的，從而聯(lián)想到基本的實(shí)為更為“通用”的解題方法.

案例2 一個(gè)基本不等式問(wèn)題的解法聯(lián)想

例2：正數(shù)a，b滿足ab+a+b=3，求a+b的最小值.

本題在教學(xué)時(shí)，很多教師認(rèn)為只需讓學(xué)生聯(lián)想a≥0，b≥0時(shí)，≥，即ab≤

，從而得3=ab+a+b≤

+（a+b），然后解關(guān)于a+b的二次不等式即可. 雖然這樣做能夠解決該題，但學(xué)生只是機(jī)械地運(yùn)用均值不等式，遇到靈活一點(diǎn)的問(wèn)題，如將“求a+b的最小值”改為“求a+2b的最小值”，許多學(xué)生就束手無(wú)策了. 因此，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，要側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生分析：?jiǎn)栴}要求a+b的最小值，而題設(shè)中給出了a+b與ab的關(guān)系式. 要求a+b，是否可以消去ab？從而聯(lián)想到均值不等式. 解題完畢后，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：本題中有兩個(gè)元a，b，能否利用條件消去一個(gè)元？由條件，b=>0，可得ab=a

1+

=a-1++5（其中a-1>0），再利用均值不等式即可. 此解法的本質(zhì)實(shí)為通過(guò)減元轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)的最值問(wèn)題，其適用性更為廣泛.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.” 通過(guò)聯(lián)想解題，要指導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面分析，把握本質(zhì)，深入挖掘本原問(wèn)題的內(nèi)涵要義. 只有抓住本原問(wèn)題，知曉問(wèn)題的核心所在，找準(zhǔn)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，方能如庖丁解牛，一刀下去，切中要害，從而讓學(xué)生的解題活動(dòng)揮灑自如.

變換審題視角，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想

不能不重視的是，某些數(shù)學(xué)教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解題的“熟能生巧”，布置大量的題目讓學(xué)生反反復(fù)復(fù)地訓(xùn)練. 特別是“導(dǎo)學(xué)案”實(shí)施以來(lái)，教師不注重知識(shí)的生成過(guò)程的剖析，不注重例題的分析與引導(dǎo)的現(xiàn)象比比皆是，數(shù)學(xué)課堂儼然成了學(xué)生題目的“訓(xùn)練場(chǎng)”. 其實(shí)，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，浩如煙海，不可能窮盡，而大量的訓(xùn)練反而導(dǎo)致許多學(xué)生在解題時(shí)趕進(jìn)度，往往習(xí)慣于從單一角度去思考問(wèn)題. 如果教師不及時(shí)加以糾正，長(zhǎng)此以往，學(xué)生發(fā)散的思維將會(huì)受到束縛，造成解題思路單一，刻板僵化，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng). 因此，在課堂教學(xué)中，我們要發(fā)揮例題承載的思維訓(xùn)練的示范與引領(lǐng)功能，通過(guò)創(chuàng)設(shè)多元化的思維環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生在細(xì)致觀察題目的基礎(chǔ)上，變換審題的視角，從不同的角度思考問(wèn)題，并通過(guò)深入的思考展開(kāi)豐富的聯(lián)想，讓學(xué)生在“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的美妙境界中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的精髓和實(shí)質(zhì).

案例3 變換審題視角引發(fā)聯(lián)想案例

例3 （2012年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第2題）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且滿足式子acosB-bcosA=c，則的值是多少？

觀察題目條件，所給等式中有角有邊，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可化歸為邊或化歸為角的問(wèn)題，從而得下面的思路1.

思路1：（利用余弦定理）由條件，a·-b·=c，即a2-b2=c2，

從而=====4.

注意到題目條件中的acosB，可將a視作直角三角形的斜邊，從而acosB即為該直角三角形的一條直角邊，借助直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，得思路2.

思路2：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則acosB=DB，bcosA=AD，從而由條件可得DB-AD=c，又DB+AD=c，聯(lián)立上述兩個(gè)方程，得AD=c，DB=c，===4.

[D][A][B][C]

圖1

思路3：在思路2的基礎(chǔ)上，我們發(fā)現(xiàn)，直角三角形的射影定理acosB+bcosA=c，與條件acosB-bcosA=c聯(lián)立，即得acosB=c，bcosA=c，從而===4.

善于從問(wèn)題的條件和結(jié)論出發(fā)，或從數(shù)和形的特征等方面去捕捉信息，通過(guò)變換審題的視角，從多方面、多角度去思考問(wèn)題，有助于開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

通過(guò)問(wèn)題發(fā)散，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想

問(wèn)題發(fā)散即從不同方向、角度考慮解決問(wèn)題的多種可能性，尋求解決問(wèn)題的各種可能途徑. 因此，通過(guò)問(wèn)題發(fā)散引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，能夠開(kāi)闊學(xué)生的思路，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中善于分解組合和延伸拓展，這在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)遷移的方式解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)不可或缺，也是實(shí)現(xiàn)化歸的重要思維方式，不僅有助于學(xué)生習(xí)得變通解決問(wèn)題的方法，更有利于學(xué)生思維能力的進(jìn)一步提升.

案例4 正余弦函數(shù)圖象的作法教學(xué)片斷

先請(qǐng)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則sinα=y，cosβ=x. 將其倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，即y=sinα，x=cosα. 由α→角α的終邊→P（x，y）知y=sinα，x=cosα（α∈R）滿足函數(shù)定義，按習(xí)慣定義其為正弦函數(shù)、余弦函數(shù).至此，我們得到了正余弦函數(shù)的解析式.現(xiàn)在的問(wèn)題是，通過(guò)解析式，你能畫(huà)出它的圖象嗎？提醒學(xué)生不要受課本的約束，自己獨(dú)立思考.

以y=sinα，α∈[0，2π]為例：

聯(lián)想在已知函數(shù)式的情況下，如何作圖？學(xué)生很容易想到思路1——描點(diǎn)作圖：取α=0，，，，，，，，π，...，2π. 列表，描點(diǎn)，平滑曲線連結(jié)（說(shuō)明作圖的本質(zhì)：特殊點(diǎn)法，得到大致圖象）.

教師再引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)線定義，sinα=MP，聯(lián)想到思路2——通過(guò)測(cè)量角的大小（即單位圓中角α對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)）和MP的長(zhǎng)，結(jié)合初中知識(shí)利用尺規(guī)作圖（可仿照教材把單位圓進(jìn)行分割，找角及對(duì)應(yīng)的正弦線）. 引導(dǎo)學(xué)生思考：此作法與思路1本質(zhì)相同，仍為特殊點(diǎn)法. 那么，能否給出一個(gè)更精確的方法呢？從而聯(lián)想到思路3——借助幾何畫(huà)板作圖得精確圖象，如圖2. 在學(xué)生欣賞的同時(shí)，讓學(xué)生注意觀察，掌握?qǐng)D象（曲線）的大致走向，給出問(wèn)題：平時(shí)我們利用圖象解題，在圖象大致把握標(biāo)準(zhǔn)的前提下，需要提高效率，該如何操作？學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)其中五個(gè)點(diǎn)非常關(guān)鍵：波峰、波谷和平衡位置的三個(gè)點(diǎn)，從而聯(lián)想到思路4——五點(diǎn)法作圖.

上述案例中，教師在教學(xué)時(shí)注意數(shù)學(xué)方法的遷移，不但有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，更有助于方法的深化與發(fā)展. 潛移默化之中，學(xué)生的思維方式將會(huì)得到有效的鍛煉.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題的條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，讓學(xué)生在不同的知識(shí)模塊之間、不同思想方法層面適時(shí)、靈活地轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生的思維層層遞進(jìn)的同時(shí)深刻體味數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛與普遍的聯(lián)系、和諧與辯證的統(tǒng)一，從而提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).