項鳴曉

摘 要：本文從一道作業(yè)題出發(fā)，探討了解決曲線交點問題的方法，得出判別式法是解決此類問題的通法.

關鍵詞：曲線交點；判別式

在學習平面解析幾何中，最重要的是樹立解析思想，用代數(shù)的方法解決幾何問題，以及在代數(shù)運算過程中表達了怎么樣的幾何現(xiàn)象. 例如兩曲線交點問題，曲線C1：f（x，y）=0與曲線C2：g（x，y）=0有交點的充要條件是方程組f（x，y）=0 （1）

g（x，y）=0 （2）有實數(shù)解，而通常情況下，我們是消元轉化為一元二次方程，再利用判別式法來討論實數(shù)解的情況，這樣的轉化是否等價呢？刊物上不斷有文章對曲線交點問題提出新的解決方法，而解決此類問題的通法為判別式法，下面是筆者由教學中的一道作業(yè)題引發(fā)對此法的探討.

問題引出

例題：若雙曲線-=1與圓x2+y2=1有公共點，求k的取值范圍.

解：法1：雙曲線的焦點在x軸上，由數(shù)形結合易知a=3k≤1，解得-≤k≤.

法2：由雙曲線方程知x2=

產(chǎn)生疑問

（1）對于以前討論直線與二次曲線交點問題，不管消x還是消y，結論都是一樣的，此法是不是對討論直線與二次曲線交點問題都適用呢？

（2）對于此例題為二次曲線與二次曲線交點問題，法1的解法顯而易見是對的，為什么法2—法5分別用了判別式法而得到不同的答案呢？是不是判別式法對二次曲線與二次曲線交點問題只適用于消x呢？

（3）法2—法5中Δ≥0，保證了消元后的方程有解，但能否保證其解為兩曲線交點呢？若不能保證，則需要加上怎么樣的條件呢？

（4）再探發(fā)現(xiàn)雙曲線方程中x∈（-∞，-3k]∪[3k，+∞），y∈R，圓方程中x∈[-1，1]， y∈[-1，1].如果雙曲線與圓有公共點時，是否受到這些范圍的限制呢？公共點的橫坐標或者縱坐標的取值范圍究竟如何取呢？是取其大范圍還是小范圍部分呢？

解答疑問

在解方程組f（x，y）=0 （1）

g（x，y）=0 （2） 時，其方法實質上是代入消元法，若由（1）式可解出y=h（x）（3），而（1）式中x是有取值范圍限制的，記此取值范圍為D. 將（3）代入（2）得g[x，h（x）]=0（4），由（4）可求出x0，若x0∈D，易知（x0，h（x0））即為曲線（1）（2）的交點；若x0?D，則x0不為兩曲線交點，也就是說兩曲線交點橫坐標不僅應滿足（4）式，而且受到（1）式中x的取值范圍限制. 因此若g[x，h（x）]=0為一元二次方程，求解時不僅要考慮判別式，還需考慮其根是否屬于D.

由此我們可以對上述疑問一一解答.

直線與二次曲線交點問題中，直線方程中，不管x還是y，取值范圍都是R，所以我們把直線方程代入二次曲線方程中，不管消x還是消y，得到的一元二次方程，只需Δ≥0即可. 所以判別式法對討論直線與二次曲線交點問題都適用. 對于例題中二次曲線與二次曲線交點問題，法2是正確的，因為雙曲線中y∈R，所以我們只需考慮判別式即可. 而法3—法5只考慮判別式是不夠的，擴大了取值范圍，求出的交點不一定是兩二次曲線的交點.

解題感悟

《對判別式討論曲線交點方法的反思》一文中給出的解答是要被代換式子中x或y的取值范圍，而法2和法4，法3和法5最后消元得到的一元二次方程卻是相同的，所以不免有想法，是不是應該看他們兩個式子中橫坐標或者縱坐標的較大范圍即可呢？有待于進一步研究！

延伸應用

下列問題是一類有關最值的問題，我們可以采用二次函數(shù)求最值的方法求解，不妨改變一下解題策略，把問題轉化為兩曲線相切問題來求解，我們發(fā)現(xiàn)別有一番意境.

（1）設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=，已知點P

0，

到這個橢圓上的點的最遠距離為，求此橢圓方程.

（2）已知橢圓C：+=1的焦點為F1，F(xiàn)2，在直線l：x-y+9=0上找一點M，求以F1，F(xiàn)2為焦點，經(jīng)過M并且長軸最短的橢圓方程.

（3）雙曲線的兩個交點分別是F1（0，-2），F(xiàn)2（0，2），點P（1，0）到此雙曲線上的點的最近距離為，求此雙曲線方程.

（4）A，B分別為在圓x2+（y-3）2=1和雙曲線x2-y2=1上運動，求AB的最小值.

（5）A，B分別為在圓x2+（y-6）2=5和橢圓+=1上運動，求AB的最大值.