程捷逵

【內(nèi)容摘要】解二元一次方程組的基本思想方法就是通過消元將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”。代入法、加減法是解二元一次方程組的基本方法，必須靈活運(yùn)用，領(lǐng)會并掌握解二元一次方程組的方法，根據(jù)方程組的情況，能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組。通過簡單方法的靈活選擇來提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】二元一次方程組 巧解 化難為易

大家知道，“代入法”與“加減法”是解二元一次方程組的一般方法。它們的實質(zhì)都是消元。當(dāng)同學(xué)們熟練地掌握了這兩種基本解法之后。就能解決一般的二元一次方程組中的題型，但是對于有些復(fù)雜一點的二元一次方程組中的有些題型，同學(xué)們處理起來還是有點吃力，根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，和教學(xué)中自己摸索的一些教學(xué)方法，同學(xué)們在聽講時更容易掌握一點。我來談?wù)勄山舛淮畏匠探M部分難題的一些方法。

二元一次方程組的題型我大致把它們分為三類：兩個方程，三個方程，四個方程。

兩個方程是我們書中最長見的，也是同學(xué)們練的最多的，他的基本解法有“代入法”與“加減法”。

代入消元法即：將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解。

加減消元法即：當(dāng)方程中兩個方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，有些復(fù)雜一點的二元一次方程組我們還可以用換元法。

換元法即：解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

以上的方法都是傳統(tǒng)一點的方法，大部分的老師和學(xué)生都能很好掌握，下面就方程組中有些巧妙的方法我來稍做介紹。

一、兩個方程

1.整體代入法

例1、解方程組

解：由①得x-y=1③，將③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程組的解為x=0，y=-1。

2.參數(shù)法

例2、解方程

解：設(shè)3（x-1）=y+5=k，則有

將③和④同時代入②得

解得k=12，再將k=12代入③④得x=5，y=7。

下面重點來介紹三個方程和四個方程的方程組。

為了便于表達(dá)二元一次方程我把他們做出了如下定義：一個方程中如果只含有像x，y這樣的兩個字母我把他們稱之為“簡單”的方程，下面我都用“簡單”表述，對于一個方程中有三個或四個字母的方程我用“難”來定義他們名字。很明顯要解出一個方程組的解只要兩個“簡單”的方程就可以了。

二、三個方程

三個方程可以分為兩種類型：

1.“簡單”，“簡單”，“難”型。

例3、如果方程組

的解為方程3x+my=8③的一個解，求m。

觀察三個方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡單”，“簡單”，“難”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會了先由兩個簡單方程①②解出方程組的解為x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。

例4、若方程組

中x=y③，求k。

觀察三個方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=3，y=3，代入②解得k=1。

例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。

觀察三個方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=1，代入②得m=3。

例6、若方程組

的解x與y互為相反數(shù)③，求a。

我們可以把方程③改寫為x+y=0，觀察三個方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=-1，代入②得a=2。

2.“難”，“難”，“簡單”型。

對于“難”，“難”，“簡單”型我們又可以把它們分為四類。

第一類：對于字母x，y他們的系數(shù)不是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數(shù)是1或-1，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。

例7、若關(guān)于x、y的二元一次方程組

的解中，x與y的差為7③，求k。

解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④組成方程組解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。

例8、關(guān)于x、y的二元一次方程組

滿足x+y=12③，求k的值。

解：②-①得x+2y=2④再由③和④組成方程組解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。

第二類：對于字母x，y他們的系數(shù)比較簡單是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數(shù)比較復(fù)雜，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。

例9、若關(guān)于x、y的二元一次方程組

的解也是方程x+2y=15③的解，求k。

解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。

例10、如果二元一次方程組

的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一個解，那么k為多少。

解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。

第三類：對于字母x，y，字母k的系數(shù)都比較復(fù)雜，這類題型我們既可以用第一類的方法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。也可以用第二類的方法利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。

例11、如果二元一次方程組

的解滿足二元一次方程x+y=5③，那么k為多少。

第四類：仔細(xì)觀察x和y的系數(shù)特點，有些題目有捷徑可以走。

例如：若方程組

的解滿足x+y=0③，求m。

解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因為x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。

三、四個方程

例12：已知方程組

和方程組

的解相同，求（2a+b）2013的值。

分析：我們觀察①②③④這四個方程，可知道①③這兩個方程為“簡單”，②④這兩個方程為“難”，因此解題的時候可以先由兩個“簡單”的方程組成方程組求出x和y的值，再代入兩個“難”的方程就能解出a和b的值了

解：由①③組成方程組得

解得x=2，y=-6，代入②④得

解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1

例13；已知方程組

和方程組

有相同的解，求a、b的值。

分析：很明顯本題①④為“簡單”，②③為“難”。

解：由①④組成方程組得

解得x=3，y=-1，代入②③得

解得a=1，b=2。

以上是我在解二元一次方程組中部分難題的一些想法，不妥之處，請同行指正。

（作者單位：安徽省淮南市龍湖中學(xué)）