李明振 封平華

鑒于數(shù)學(xué)建模具有重要的教育功能，美、英等國已于上世紀七十年代將數(shù)學(xué)建模引入中學(xué)課堂[1]，我國于2003年頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準也已將數(shù)學(xué)建模納入數(shù)學(xué)課程[2]，然而，十年來的實踐表明，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果并不令人滿意[3]。究其重要原因之一在于，缺乏基于學(xué)生認知規(guī)律的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論指導(dǎo)。近年來，我們對高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模認知規(guī)律進行了較為系統(tǒng)的研究[4]-[8]。本文在已有研究基礎(chǔ)上，提出若干高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略，以為有效實施我國高中數(shù)學(xué)建模課程提供可能的借鑒。

一、精擬建模問題

問題是數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的基本載體，所選擬問題的優(yōu)劣在很大程度上影響數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)能否實現(xiàn)，并影響學(xué)生對數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的態(tài)度、興趣和信念。因此，精心選擬數(shù)學(xué)建模問題是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本策略。鑒于高中學(xué)生的心理特點和認知規(guī)律，結(jié)合建模課程的目標(biāo)和要求，選擬的建模問題應(yīng)貼近學(xué)生經(jīng)驗、源自有趣題材、力求難易適度。

1.貼近學(xué)生經(jīng)驗

所選擬的問題應(yīng)當(dāng)是源于學(xué)生周圍環(huán)境、貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的現(xiàn)實問題。此類問題的現(xiàn)實情境為學(xué)生所熟悉，易于為學(xué)生所理解，并易于激發(fā)學(xué)生興奮點。因而，有助于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的神秘感與疏離感，增進對數(shù)學(xué)建模的親近感；有助于激發(fā)學(xué)生的探索熱情，感悟數(shù)學(xué)建模的價值與魅力。

2.源自有趣題材

所選擬的問題應(yīng)當(dāng)源自富有趣味的題材。此類問題易于激起學(xué)生的好奇心，有助于維護和增強學(xué)生對數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)興趣與探索動機。為此，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生感興趣的熱點話題，并從獨到的視角挖掘和提煉其中所蘊含的數(shù)學(xué)建模問題，選取學(xué)生習(xí)以為常而又未曾深思但結(jié)論卻又出乎意料的問題。

3.力求難易適度

所選擬的問題應(yīng)力求難易適度，應(yīng)能使學(xué)生運用其已具備的知識與方法即可解決。如此，有助于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的畏懼心理，平抑學(xué)生源于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)壓力，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)信心，優(yōu)化學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)態(tài)度，維護學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)興趣。為此，教師在選擬問題時，應(yīng)考慮多數(shù)學(xué)生的知識基礎(chǔ)、生活背景及理解水平。所選擬的問題要盡量避免出現(xiàn)不為學(xué)生所熟悉的專業(yè)術(shù)語，避免問題過度專業(yè)化，要為學(xué)生理解問題提供必要的背景材料、信息與知識。

二、聚焦建模方法

數(shù)學(xué)建模方法是指運用數(shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型進而解決現(xiàn)實問題的方法，它是數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的核心，具有重要的教學(xué)功能。掌握一定的數(shù)學(xué)建模方法是實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模課程目標(biāo)的有效途徑。為此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)聚焦于數(shù)學(xué)建模方法。

1.注重建模步驟

數(shù)學(xué)建模方法包含諸如問題表征、簡化假設(shè)、模型構(gòu)建、模型求解、模型檢驗、模型修正、模型解釋、模型應(yīng)用等多個步驟。數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)通過數(shù)學(xué)建模案例，注重對各步驟的基本內(nèi)涵、實施技巧及各步驟之間的內(nèi)在聯(lián)系和協(xié)同方式進行闡釋和分析，這是使學(xué)生從整體上把握建模方法的必要手段。有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本過程，有助于為學(xué)生模仿建模提供操作性依據(jù)，進而為學(xué)生獨立建模提供原則性指導(dǎo)。

2.突出普適方法

不同的數(shù)學(xué)建模方法，其作用大小和應(yīng)用范圍也不同，譬如，關(guān)系分析方法、平衡原理方法、數(shù)據(jù)分析方法、圖形（表）分析方法以及類比分析方法等均為具有統(tǒng)攝性和普適性的建模方法。教師應(yīng)側(cè)重對這些普適性的建模方法進行教學(xué)，使學(xué)生重點理解、掌握和應(yīng)用。此外，分屬于幾何、代數(shù)、三角、微積分、概率與統(tǒng)計、線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域的建模方法等，盡管其普適性程度稍遜，但其對解決具有領(lǐng)域特征的現(xiàn)實問題卻具重要應(yīng)用價值，因而，教師也應(yīng)結(jié)合相應(yīng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生通過把握其領(lǐng)域特性及其所運用的問題情境特征而熟練掌握并靈活應(yīng)用。

3.加強方法關(guān)聯(lián)

許多現(xiàn)實問題的解決往往需要綜合運用多種數(shù)學(xué)建模方法，因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)加強數(shù)學(xué)建模方法之間的關(guān)聯(lián)，注重多種建模方法的綜合運用。為此，應(yīng)在加強各建模步驟之間聯(lián)系與協(xié)調(diào)運用基礎(chǔ)上，綜合貫通處于不同層次、分屬不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模方法，在建模各步驟之間、具體的建模方法之間、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模方法之間進行多維聯(lián)結(jié)，建立數(shù)學(xué)建模方法網(wǎng)絡(luò)圖，以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模方法體系，形成綜合運用數(shù)學(xué)建模方法解決現(xiàn)實問題的能力。

三、強化建模策略

數(shù)學(xué)建模策略是指在數(shù)學(xué)建模過程中理解問題、選擇方法、采取步驟的指導(dǎo)方針，是選擇、組合、改變或操作與當(dāng)前數(shù)學(xué)建模問題解決有關(guān)的事實、概念和原理的規(guī)則。數(shù)學(xué)建模策略對數(shù)學(xué)建模的過程、結(jié)果與效率均具有重要作用。學(xué)生掌握有效的數(shù)學(xué)建模策略，既是數(shù)學(xué)建模課程的重要教學(xué)目標(biāo)，也是學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模能力的重要步驟。因此，應(yīng)強化數(shù)學(xué)建模策略的教與學(xué)。

1.基于建模案例

策略通常具有抽象性、概括性等特點，往往需要借助實例運用獲得具體經(jīng)驗，才能被真正領(lǐng)悟與有效掌握。因此，數(shù)學(xué)建模策略的教學(xué)應(yīng)基于對建模案例的示范與解析，使學(xué)生在現(xiàn)實問題情境中感受所要習(xí)得的建模策略的具體運用。為此，一方面，針對某特定建模策略的案例應(yīng)盡可能涵蓋豐富的現(xiàn)實問題，并在相應(yīng)的案例中揭示該建模策略的不同方面，以為該建模策略提供多樣化的情境與經(jīng)驗支持；另一方面，應(yīng)對某特定建模案例中所涉及的多種建模策略的運用進行多角度的審視與解析，以厘清各種建模策略之間的內(nèi)在聯(lián)系?；诎咐盐战２呗?，將抽象的建模策略與鮮活的現(xiàn)實問題密切聯(lián)系，有助于積累建模策略的背景性經(jīng)驗，有助于豐富建模策略的應(yīng)用模式，有助于促進建模策略的條件化與經(jīng)驗化，進而實現(xiàn)建模策略的靈活應(yīng)用與廣泛遷移。

2.寓于建模方法

建模策略從層次上高于建模方法，是建模方法應(yīng)用的指導(dǎo)性方針，它通過建模方法影響建模的過程、結(jié)果與效率。離開建模方法而獲得的建模策略勢必停留于表面與形式，難以對數(shù)學(xué)建模發(fā)揮作用。因此，應(yīng)寓于建模方法獲得建模策略。為此，應(yīng)通過數(shù)學(xué)建模案例，解析與闡釋所用策略與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系與協(xié)同規(guī)律，使學(xué)生掌握如何運用建模方法，知曉何以運用建模方法，從而獲得具有“實用”價值的數(shù)學(xué)建模策略。

3.聯(lián)結(jié)思維策略

思維策略是指問題解決思維活動過程中具有普適性作用的策略。譬如，解題時，先準確理解題意，而非匆忙解答；從整體上把握題意，理清復(fù)雜關(guān)系，挖掘蘊涵的深層關(guān)系，把握問題的深層結(jié)構(gòu)；在理解問題整體意義基礎(chǔ)上判斷解題的思路方向；充分利用已知條件信息；注意運用雙向推理；克服思維定勢，進行擴散性思維；解題后總結(jié)解題思路，舉一反三等，均為問題解決中的思維策略。思維策略是數(shù)學(xué)建模不可或缺的認知工具，對數(shù)學(xué)建模具有重要指導(dǎo)作用。思維策略從層次上高于建模策略，它通過建模策略對建模活動產(chǎn)生影響。離開思維策略的指導(dǎo)，建模策略的作用將受到很大制約。因此，在建模策略教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合建模案例，將所用建模策略與所用思維策略相聯(lián)結(jié)，以使學(xué)生充分感悟思維策略對建模策略運用的指引作用，增強建模策略運用的彈性。

四、注重圖式教學(xué)

數(shù)學(xué)建模圖式是指由與數(shù)學(xué)建模有關(guān)的原理、概念、關(guān)系、規(guī)則和操作程序構(gòu)成的知識綜合體。具有如下基本內(nèi)涵：是與數(shù)學(xué)建模有關(guān)的知識組塊；是已有數(shù)學(xué)建模成功案例的概括和抽象；可被當(dāng)前數(shù)學(xué)建模問題情境的某些線索激活。數(shù)學(xué)建模圖式在建模中具有重要作用，影響數(shù)學(xué)建模的模式識別與表征、策略搜索與選擇、遷移評估與預(yù)測。因此，應(yīng)注重數(shù)學(xué)建模圖式的教與學(xué)，為此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)實施樣例學(xué)習(xí)、開展變式練習(xí)、強化開放訓(xùn)練。

1.實施樣例學(xué)習(xí)

樣例學(xué)習(xí)是向?qū)W生書面呈現(xiàn)一批解答完好的例題（樣例），學(xué)生解決問題遇到障礙或出現(xiàn)錯誤時，可以自學(xué)這些樣例，再嘗試去解決問題。樣例學(xué)習(xí)要求從具有詳細解答步驟的樣例中歸納出隱含其中的抽象知識與方法來解決當(dāng)前問題。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中實施樣例學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)和研究別人的已建模型及建模過程中的思維模式，有助于使學(xué)生更多地關(guān)注數(shù)學(xué)建模問題的深層結(jié)構(gòu)特征，更好地關(guān)注在何種情況下使用和如何使用原理、規(guī)則與算法等，從而有助于其建模圖式的形成。在實施樣例學(xué)習(xí)時，應(yīng)注重透過建模問題的表面特征提煉和歸納其所蘊含的關(guān)系、原理、規(guī)則和類別等深層結(jié)構(gòu)。

2.開展變式練習(xí)

通過樣例學(xué)習(xí)而形成的建模圖式往往并不穩(wěn)固，且難以靈活遷移至新的情境。為此，應(yīng)在樣例學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上開展變式練習(xí)，通過多種變式情境的分析和比較，排除具體問題情境中非本質(zhì)性的細節(jié)，逐步從表層向深層概括規(guī)則和建構(gòu)模式，不斷地將初步形成的建模圖式和提煉過的規(guī)則和模式內(nèi)化，以形成清晰而穩(wěn)固的建模圖式。開展變式練習(xí)時，應(yīng)注重洞察構(gòu)成現(xiàn)實情境問題的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)框架”，從“變化”的外在特征中鑒別和抽象出“不變”的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

3.強化開放訓(xùn)練

數(shù)學(xué)建模具有結(jié)構(gòu)不良問題解決的特性。譬如，條件和目標(biāo)不明確；“簡化”假設(shè)時需要高度靈活的技巧；模型構(gòu)建需要基于對問題的深邃洞察與合理判斷并靈活運用建模方法；所建模型及其形式表達缺乏統(tǒng)一標(biāo)準，需要檢驗、修正并不斷推廣以適應(yīng)更復(fù)雜的情境；有并非唯一正確的多種結(jié)果和答案等等。鑒于此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)強化開放訓(xùn)練，以促進學(xué)生形成概括性強、遷移范圍廣、豐富多樣的建模圖式。為此，應(yīng)通過改變問題的情境、條件、要求及方法來拓展問題。即對簡化假設(shè)、建模思路、建模結(jié)果、模型應(yīng)用等建模環(huán)節(jié)進行多種可能性分析；將問題原型恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)變到某一特定模型；將一個領(lǐng)域內(nèi)的模型靈活地轉(zhuǎn)移到另一領(lǐng)域；將一個具體、形象的模型創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)換成綜合、抽象的模型。在上述操作基礎(chǔ)上，對建模問題進行抽象、概括和歸類，從一種問題情境進行輻射，并以此網(wǎng)羅建模的不同操作模式，從而使學(xué)生形成關(guān)于建模圖式的體系化認知，進而提升建模圖式的靈活性和可遷移性。

五、活化教學(xué)方式

鑒于數(shù)學(xué)建模具有綜合性、實踐性和活動性特征，因而其教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)以學(xué)生為認知主體，以運用數(shù)學(xué)知識與方法解決現(xiàn)實問題為運行主線，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力為核心目標(biāo)。為此，應(yīng)靈活采取激勵獨立探究、引導(dǎo)對比反思、尋求優(yōu)化選擇等密切協(xié)同的教學(xué)方式。

1.激勵獨立探究

數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)首先激發(fā)學(xué)生獨立思考、自主探索，力求學(xué)生找到各自富有個性的建模思路與方案。誠然，教師和教材的思路與方案可能更為簡約而成熟，然而，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，其獲得的思路與方案更貼近學(xué)生自身的認知水平。因此，教師應(yīng)給予學(xué)生獨立思考的機會，激勵學(xué)生個體自主探索，尊重學(xué)生的個性化思考，允許不同的學(xué)生從不同的角度認識問題，以不同的方式表征問題，用不同的方法探索問題，并盡力找到自己的建模思路與方案，以培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣和探究能力。

2.引導(dǎo)對比分析

在激勵學(xué)生探尋個性化的建模思路與方案基礎(chǔ)上，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對比分析，歸納出多樣化的建模思路與方案。為此，應(yīng)將提出不同建模方案的學(xué)生組成“異質(zhì)”的討論小組，聆聽其他同學(xué)的分析與解釋，對比分析探索過程、評價探索結(jié)果、分享探索成果，以使學(xué)生認識從不同角度與層次獲得的多樣化方案。引導(dǎo)學(xué)生對比分析，既展現(xiàn)了學(xué)生自主探索的成果，又發(fā)揮了教師組織引導(dǎo)的職能，還使學(xué)生獲得了多元化的數(shù)學(xué)建模思維方式。

3.尋求優(yōu)化選擇

在獲得多樣化的建模方案基礎(chǔ)上，教師應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)全班學(xué)生對多樣化的建模方案進行觀察與辨析，使學(xué)生在思維的交流與碰撞中，感受與認知其它方案的優(yōu)點和局限，反思與改進自己的方案，相互糾正、補充與完善，尋求方案的優(yōu)化選擇。引導(dǎo)學(xué)生尋求優(yōu)化選擇，不僅僅是求得最優(yōu)化的結(jié)果，還是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的有效方式。在此過程中，教師應(yīng)與學(xué)生有效互動，深度交流，汲取不同方案的可取之點與合理之處，以做出優(yōu)化選擇。

上述數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略之間存在密切聯(lián)系。精擬建模問題是有效實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的載體；聚焦建模方法是有效實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的核心；強化建模策略是有效實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的靈魂；注重圖式教學(xué)是有效實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的依據(jù)；活化教學(xué)方式是有效實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的保障。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，諸策略應(yīng)有機結(jié)合，協(xié)同運用，以求取得最佳效果。

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（責(zé)任編輯 任洪鉞）