一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）

1. [a，b]是夾角為[30°]的異面直線，滿足條件“[a?α，b?β，]且[α⊥β]”的平面[α，β]（ ）

A. 不存在 B. 有且只有一對

C. 有且只有兩對 D. 有無數對

2. 已知向量[a=（8，x2，x）]，[b=（x，1，2）]，其中[x>0]. 若[a∥b]，則[x]的值為（ ）

A. 8 B. 4 C. 2 D. 0

3. 已知[a=（2，-1，3），][b=（-1，4，-2），][c=（7，5，λ），]若[a，b，c]三個向量共面，則實數[λ]等于（ ）

A. [627] B. [637] C. [647] D. [657]

4. 如圖，已知空間四邊形[ABCD]的每條邊和對角線長都等于[a]，點[E，F，G]分別為[AB，AD，DC]的中點，則[a2]等于（ ）

A. [2BA]·[AC] B. [2AD]·[BD]

C. [2FG]·[CA] D. [2EF]·[CB]

5. 已知空間四邊形[OABC]，其對 角線為[OB，AC，M，N]分別是邊[OA，CB]的中點，點[G]在線段[MN]上，且使[MG=2GN]，則用向量 [OA]， [OB]， [OC]表示向量 [OG]正確的是（ ）

A. [OG]=[OA]+[23OB]+[23OC]

B. [OG]=[12OA]+[23OB]+[23OC]

C. [OG]=[16OA]+[13OB]+[13OC]

D. [OG]=[16OA]+[13OB]+[23OC]

6. 有以下命題：①如果向量[a，b]與任何向量不能構成空間的一個基底，那么[a，b]的關系是不共線；②[O，A，B，C]為空間四點，且向量 [OA]， [OB]， [OC]不構成空間的一個基底，那么點[O，A，B，C]一定共面；③已知[{a，b，c}]是空間的一個基底，則[{a+b，a-b，c}]也是空間的一個基底. 其中正確的命題是（ ）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ①②③

7. 二面角[α-l-β]為[60°]，[A，B]是棱[l]上的兩點，[AC，BD]分別在半平面[α，β]內，[AC⊥l]，[BD⊥l]，且[AB=AC=a]，[BD=2a]，則[CD]的長為（ ）

A. [2a] B. [5a] C. [a] D. [3a]

8. 空間中一條線段[AB]的三視圖中，俯視圖是長度為1的線段，側視圖是長度為2的線段，線段[AB]的長度的取值范圍是（ ）

A. [0，2] B. [2，5]

C. [2，3] D. [2，10]

9. 若[O]為坐標原點，[OA=（1，1，-2）]，[OB=][（3，2，8）]，[OC=（0，1，0）]，則線段[AB]的中點[P]到點[C]的距離為（ ）

A. [1652] B. [214] C. [53] D. [532]

10. 已知平面[α]的一個法向量[n=（-2，-2，1）]，點[A（-1，3，0）]在[α]內，則[P（-2，1，4）]到[α]的距離為（ ）

A. [10] B. [3] C. [83] D. [103]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 若向量[a=（1，λ，2）]，[b=（-2，1，1）]，[a，b]夾角的余弦值為[16]，則[λ=] .

12. 已知空間四邊形[OABC]，點[M，N]分別是[OA，BC]的中點，且 [OA=a]， [OB=b]， [OC=c]，用[a，b，c]表示向量[MN]= .

13. 在長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點[A1]到截面[AB1D1]的距離為 .

14. 給出命題：①若[a]與[b]共線，則[a]與[b]所在的直線平行；②若[a]與[b]共線，則存在唯一的實數[λ]，使[b=λa]；③若[A，B，C]三點不共線，[O]是平面[ABC]外一點， [OM]=[13OA]+[13OB]+[13OC]，則點[M]一定在平面[ABC]上，且在[△ABC]的內部. 其中真命題是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）設[a=（a1，a2，a3）]，[b=（b1，b2，b3）]，且[a≠b]，記[|a-b|=m]，求[a-b]與[x]軸正方向的夾角的余弦值.

16. （10分）如圖所示，已知空間四邊形[ABCD]的各邊和對角線的長都等于[a]，點[M，N]分別是[AB，][CD]的中點.

（1）求證：[MN⊥AB]，[MN⊥CD]；

（2）求[MN]的長.

17. （12分）直三棱柱[ABC-A′B′C′]中，[AC=][BC=AA′]，[∠ACB=90°]，[D，E]分別為[AB，BB′]的中點.

（1）求證：[CE⊥A′D]；

（2）求異面直線[CE]與[AC′]所成角的余弦值.

18. （12分）如圖1，四棱錐[P-ABCD]中，[PD⊥]底面[ABCD]，面[ABCD]是直角梯形，[M]為側棱[PD]上一點. 該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示.

（1）證明：[BC⊥]平面[PBD]；

（2）證明：[AM]∥平面[PBC]；

（3）線段[CD]上是否存在點[N]，使[AM]與[BN]所成角的余弦值為[34]？若存在，找到所有符合要求的點[N]，并求[CN]的長；若不存在，說明理由.

[圖1][圖2][俯視圖][側（左）視圖] [2][3][1] [4]