瞿紅勤

摘 要：完全平方公式是初中數(shù)學(xué)里一個(gè)非常重要的公式，也是初中各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽關(guān)注的熱點(diǎn).關(guān)于完全平方公式的文章已有很多，但對(duì)完全平方式的推廣公式在競(jìng)賽中的應(yīng)用沒有涉及，通過對(duì)近年來各類初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的相關(guān)試題做出分析與總結(jié)，談?wù)勍耆椒绞降耐茝V公式解初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的應(yīng)用，僅供參考.

關(guān)鍵詞：完全平方公式；數(shù)學(xué)競(jìng)賽；推廣公式

由兩個(gè)基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2，我們可以推廣得到以下一組公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

靈活選用以上公式，可以簡(jiǎn)單、快速地求解一些競(jìng)賽題，下面請(qǐng)看一些例子.

例1.有3個(gè)正整數(shù)a，b，c，且a>b>c，從中任取2個(gè)有3種不同的取法，將每種取法取出的2個(gè)數(shù)分別作和與作差，得到如下6個(gè)數(shù)：42，45，64，87，109，151，則a2+b2+c2=（ ）（2013“希望杯”初二第2試）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本題是求三個(gè)整數(shù)的平方和，且題目給出了三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)的和與差，滿足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正確選項(xiàng)為C.

評(píng)注：通過以上解析過程可以發(fā)現(xiàn)，此解法根本不需要a，b，c為正整數(shù)及a>b>c這兩個(gè)條件，事實(shí)上，只要知道這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)的和與差即可求出它們的平方和。出題者可能是考慮到有些學(xué)生可能想不到這個(gè)公式，因此加上這兩個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)整數(shù)的大小關(guān)系入手，結(jié)合作和與作差所得的6個(gè)整數(shù)進(jìn)行邏輯分析，求出a，b，c的值，然后代入計(jì)算得出答案。雖然也能得到正確解答，但是如果能從整體上把握題目特征，利用變形公式求解，就顯得簡(jiǎn)單、明快.

例2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知條件聯(lián)想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后獲得解題思路.

解：∵a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

∴ab+bc+ac=0，從而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

∴abc=-112.

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件聯(lián)想到公式，然后構(gòu)造相關(guān)代數(shù)式求解.把此題稍加改變，就得到下面這道競(jìng)賽題：

例3.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，則a3+b3+c3= .（18屆“華杯賽”初一）

分析：由已知條件聯(lián)想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，從而求出a2+b2+c2，然后再構(gòu)造代數(shù)式a3+b3+c3求解.

解：∵a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

∴a2+b2+c2=4，

從而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

∴a3+b3+c3=2×4-3=5.

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件想到推廣公式（1），構(gòu)造出所要求的代數(shù)式。以上兩例本質(zhì)上是一樣的，事實(shí)上，稍加分析以上兩題解答過程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四個(gè)代數(shù)式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三個(gè)的值，可以求出另外一個(gè)的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初二年級(jí)競(jìng)賽）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

評(píng)注：本題考查對(duì)推廣公式的靈活運(yùn)用。

通過以上例子可以發(fā)現(xiàn)：各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都比較注重對(duì)完全平方公式及其推廣公式的考查，所考查的知識(shí)點(diǎn)源于課本，又高于課本，并且有些賽題具有相同的思維本質(zhì)，只是形式上有所差別而已，這就要求在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中，不僅要掌握課本上的基本知識(shí)，還要養(yǎng)成深入探索與之相關(guān)知識(shí)的習(xí)慣，在解題練習(xí)中不能只滿足于某道題的答案正確，還要多思考一下題目的本質(zhì)是什么？關(guān)鍵點(diǎn)在哪？可以怎樣拓展？不斷總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、聯(lián)想能力，形成良好的思維品質(zhì)。這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才會(huì)越學(xué)越輕松，越學(xué)越有趣。

（作者單位 深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2011級(jí)研究生）