唐恒鈞 張紅

基金項目：浙江省教科規(guī)劃2012年度高校研究課題“多元文化視野中數(shù)學(xué)課程資源開發(fā)研究”（SCG1）；教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金項目“多元文化數(shù)學(xué)課程的理論與實踐研究”（ 項目編號為 10YJA880179）

數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生獨特的背景與文化《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在基本理念中就明確指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實際，有利于學(xué)生的體驗與理解、思考與探索”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》也在基本理念中明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力”[2]

基于此，本文將嘗試挖掘農(nóng)村生活中噴灑農(nóng)藥的數(shù)學(xué)元素，并通過三個子任務(wù)的探索實現(xiàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系

1圓錐體的基本認(rèn)識：噴農(nóng)藥時形成的水柱

噴農(nóng)藥時形成的水柱可以近似地抽象成圓錐體（如圖1）教師可以引導(dǎo)農(nóng)村學(xué)生借助這一生活中常見的現(xiàn)象來認(rèn)識圓錐體的形狀及幾何元素比如水柱由一個洞口噴灑出來，出水口即圓錐的頂點如果是豎直地往水平地面噴灑農(nóng)藥，那么水柱邊緣所形成的面即是圓錐的側(cè)面，水柱邊緣的水形成圓錐的母線，噴到地面所形成的圓盤即是圓錐的底面，而由出水口作地面的垂線則是圓錐的軸，且垂足是圓錐底面的圓心等以此為基礎(chǔ)，還可以引導(dǎo)學(xué)生探索圓錐的一些基本幾何特征：

底面：是一個圓；

軸：經(jīng)過頂點與底面的圓心；

母線：無數(shù)條，且長度相等、交于頂點、與軸的夾角（α）相等

這樣做至少有兩方面的意義首先，密切了學(xué)生的日常生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，體會到數(shù)學(xué)的文化價值其次，強調(diào)用農(nóng)村學(xué)生生活中的經(jīng)驗理解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得現(xiàn)實而容易正如著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的[3]，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實，而且每個學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實” 數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實農(nóng)村生活經(jīng)驗是農(nóng)村中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的重要組成部分，為理解學(xué)校數(shù)學(xué)提供了具體而直觀的現(xiàn)實模型，同時數(shù)學(xué)的理解又反過來深化了對現(xiàn)實模型的認(rèn)識

2水柱圓錐體特點的進一步探索

21特殊的系列圓錐體

進一步，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去討論以下問題

問題1：隨著出水口與地面的高度的變化形成了一系列的圓錐體（如圖2），這些圓錐體之間有什么樣的關(guān)系？

對于這個問題，學(xué)生首先會思考的是一個圓錐體中有哪些定量關(guān)系根據(jù)第一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生容易得出如下關(guān)系：

化形成的系列圓錐體

然后再來考慮這一系列的圓錐體之間的關(guān)系學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，這些圓錐體的共同特征是α不變，因此，l、r、S底與h成正比即當(dāng)h增大時，l、r、S底均增大

這一問題對于大部分學(xué)生而言其實并不難，其教育價值在于使學(xué)生的思考更有脈絡(luò)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維保持在較高的水平在第一階段，學(xué)生已經(jīng)對圓錐的幾何特征有所認(rèn)識，特別是已能通過底面、側(cè)面、母線、軸、頂點等幾何元素來認(rèn)識幾何體，那進一步也是自然會思考的問題是這些幾何元素之間的關(guān)系，緊接著又會思考當(dāng)h變化時，其他元素又會如何變化，如何用定量的方式來刻畫這些變化等問題根據(jù)Stein和Smith提出的數(shù)學(xué)任務(wù)的四種認(rèn)知水平可以發(fā)現(xiàn)，該學(xué)習(xí)活動暗示有一個幾何認(rèn)識的基本框架（從單一幾何元素的認(rèn)識到多個幾何元素間的關(guān)系；從定性思考到定量思考等），同時又需要學(xué)生付出一定程度的認(rèn)知努力，因而屬于高認(rèn)知水平中的有聯(lián)系程序型任務(wù)[4]其次，這一問題的思考還有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和數(shù)學(xué)概念、命題的建構(gòu)能力在上述問題的解決過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不管高度怎么變，母線與軸的夾角不變，這也是這一系列圓錐體的本質(zhì)聯(lián)系事實上，數(shù)學(xué)的建構(gòu)在一定程度表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)“變化中的不變性”的過程，上述學(xué)習(xí)活動正好體現(xiàn)了這一過程

22截面問題

以上討論的是將農(nóng)藥豎直灑到水平地面的情況，那自然就要考慮到地面是一個傾斜平面時的情況在不考慮水的重力對水柱形狀的影響的情況下，這便涉及了更復(fù)雜的圓錐截面問題（如圖3），也即是數(shù)學(xué)史上重要的圓錐截面問題圓錐截面是在公元前3世紀(jì)得出的，它們?yōu)?7世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們打下了堅實的基礎(chǔ)，他們開始整理出與由圓錐截面得到的曲線相關(guān)的各種原理[5]在不考慮水的重力的情況下，當(dāng)截面位置不同時將會出現(xiàn)橢圓、雙曲線的一支、拋物線、圓、直線、點等多種類型

這樣做的目的不僅使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有背景與脈絡(luò)，滲透了一般化、分類等重要的數(shù)學(xué)思想，同時還在于將生活中的數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)史相聯(lián)接，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷史厚重感，使學(xué)生因為自己所研究的數(shù)學(xué)問題在歷史上的重要性而感到自豪

對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、并對數(shù)學(xué)有強烈探究欲望的學(xué)生，教師可以在介紹歷史背景之后，引導(dǎo)學(xué)生思考與討論各種類型在什么情況下發(fā)生這樣做就為學(xué)生構(gòu)建了一個學(xué)習(xí)的“思考空間”[6]，學(xué)生可以在其中討論困惑、猜想、解決方法、學(xué)習(xí)困難，并發(fā)展他們的批判意識和自主學(xué)習(xí)能力

而對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的學(xué)生，可以通過圖形、模型等直觀而動態(tài)地感受到當(dāng)截面位置變化時出現(xiàn)的不同的幾何圖形這一活動可以教師展示給學(xué)生看，也可以由教師引導(dǎo)學(xué)生自己去操作感受，但不去深究背后的數(shù)學(xué)原理

3回歸生活：灑農(nóng)藥過程中的數(shù)學(xué)意識

通過上述問題，學(xué)生對基于這一現(xiàn)實背景的圓錐體問題已有較為深刻的理解，但還可以引導(dǎo)學(xué)生回到現(xiàn)實

首先，植物被噴到的農(nóng)藥量與高度有關(guān)在很多人的觀念中，單位面積的植物噴灑到的農(nóng)藥量只與農(nóng)藥的濃度、噴灑時間有關(guān)，而通過上述數(shù)學(xué)問題的研究，還與出水口到植物的高度有關(guān)這是因為單位時間從出水口噴出的農(nóng)藥量是恒定的，而噴灑到的面積與出水口到植物的高度成正比，因此單位面積的植物噴灑到的農(nóng)藥量與出水口到植物的高度成反比

其次，多旋噴霧器要選擇適當(dāng)?shù)母叨炔拍苁箛姙⑿Ч^好隨著農(nóng)業(yè)科技的發(fā)展，多旋的噴霧器已變得越來越普及但出水口離植物多少高度時噴灑效果最理想？既沒有被漏灑又沒有浪費？

設(shè)兩個出水口的間距為d，則當(dāng)兩個圓錐的底面相切時，既不重復(fù)灑藥又不漏灑即2htanα=d，所以h=12dcotα

上述活動使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的現(xiàn)實應(yīng)用價值，使學(xué)生形成用數(shù)學(xué)理性地組織生活的意識與能力，同時還可以為學(xué)生與家長間的交流提供話題筆者在對一些農(nóng)村學(xué)生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生樂于將在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于日常生活中，特別是，當(dāng)這些知識能指導(dǎo)家長的農(nóng)業(yè)活動時他們感到特別自豪而這些積極情感又會反過來促使學(xué)生更加投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

總之，正如Teles所指出的，將學(xué)校數(shù)學(xué)與學(xué)生的日常生活、社會生活聯(lián)系在一起，將對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到重要的作用[7]這就需要教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的需要挖掘日常生活、社會生活中的數(shù)學(xué)元素，開發(fā)適合的教學(xué)資源并加以利用

參考文獻

[1]教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2

[2]教育部普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[S]北京：人民教育出版社，2004：3

[3]丁爾升，現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程論[M]南京：江蘇教育出版社，1997：332

[4]Stein， MK， Smith，MS， Henningsen， MA & Sliver， EA著 李忠如譯 實施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例： 匹茲堡大學(xué)QUASAR研究成果[M] 上海： 上海教育出版社，2001：9

[5]帕帕斯圓錐截面[J]數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010，（13）

[6]Perret-Clermont， A-N Thinking spaces of the young In A-N Perret-Clermont， C Pontecorvo， LResnick， etc（Eds）， Joining society： Social interaction and learning in adolescenceand youth Cambridge： Cambridge University Press， 2004： 3-10

[7]Teles， L， & César， M （2005） Handicrafts performing life In M Bosch （Ed）， CERME 4 proceedings SantFeliu de Guíxols： Universitat Ramon Llull [On line： http：//ermewebfreefr/CERME4/

作者簡介唐恒鈞，男，1979年生，浙江師范大學(xué)講師，教育學(xué)博士