龍旭東

摘 要：數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是對一類數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的概括?？梢哉f“數(shù)學(xué)是從概念出發(fā)的”。因此，理解、掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保證。在課堂教學(xué)中，運用邏輯方法，分析、歸納概念間的關(guān)系，使各個概念間有較強的聯(lián)系，體現(xiàn)出各個概念之間的結(jié)構(gòu)性，對學(xué)生正確掌握概念的內(nèi)涵和外延，深刻理解并牢固地掌握、靈活地運用概念有重要作用。

關(guān)鍵詞：概念；同一；從屬；全異

一、數(shù)學(xué)概念的幾種關(guān)系

中小學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系統(tǒng)中，除了一些不定義的概念或者原始概念之外，其余概念通過給它下定義來準確揭示它的內(nèi)涵。在一般情況下，當一個概念的內(nèi)涵被揭示后，也就確定了它的外延，因此，概念的定義可以作為判別概念外延的標準。在中小學(xué)數(shù)學(xué)里，從邏輯的角度看，兩個概念的外延之間，有下列幾種關(guān)系：

1.同一關(guān)系

如果兩個概念的外延完全重合，那么這兩個概念具有同一關(guān)系。例如，數(shù)0是自然數(shù)集中的最小的數(shù)，它又是正數(shù)與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中又是兩個相等數(shù)的差。又如，數(shù)1是不為0的同一數(shù)相除的商；在對數(shù)中，1=lg2+lg5；在三角函數(shù)中，1=sin2α+cos2α等。上述各組概念的外延完全重合，它們都是具有同一關(guān)系的概念。

2.從屬關(guān)系

不是同一關(guān)系的兩個概念甲和乙，如果甲概念的外延A完全包含乙概念的外延B，那么這兩個概念具有從屬關(guān)系。在具有從屬關(guān)系的兩個概念中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。例如，四邊形與平行四邊形；整數(shù)與分數(shù)；等式與方程；復(fù)數(shù)的模與實數(shù)的絕對值等，它們都具有從屬關(guān)系。

3.全異關(guān)系

如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合，那么這兩個概念具有全異關(guān)系。全異關(guān)系分為矛盾關(guān)系和反對關(guān)系。在同一屬概念之下的兩個種概念，如果它們的外延之和等于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么這兩個種概念的關(guān)系稱為矛盾關(guān)系。例如，在平面幾何中，“直角三角形與斜角三角形”，實數(shù)中的負數(shù)與非負數(shù)等都是具有矛盾關(guān)系的概念。如果它們的外延之和小于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么這兩個種概念的關(guān)系稱為反對關(guān)系。例如，在自然數(shù)中考慮質(zhì)數(shù)與合數(shù)，在四邊形中考慮“平行四邊形”與“梯形”等，這兩組概念都具有反對關(guān)系。

二、利用概念間的關(guān)系，讓學(xué)生準確理解概念

1.利用同一關(guān)系，讓學(xué)生全面理解概念

在中小學(xué)數(shù)學(xué)里，有的概念敘述簡潔，寓意深刻，有的概念用式子表示，比較抽象。具有同一關(guān)系的概念，它們的外延完全重合，而它們的內(nèi)涵可以有所不同，根據(jù)這一情況，抓住同一關(guān)系的概念進行比較，可以讓學(xué)生全面理解概念。

2.利用從屬關(guān)系，讓學(xué)生清晰地理解概念

具有從屬關(guān)系的概念在中小學(xué)數(shù)學(xué)里大量存在，對這些概念的學(xué)習(xí)，就可以通過確定它們彼此的從屬關(guān)系，揭示相互之間的有機聯(lián)系，把有關(guān)概念逐個串聯(lián)起來，使之形成一個環(huán)環(huán)相扣的概念鏈。例如，在對四邊形、平行四邊形、長方形、正方形進行復(fù)習(xí)時，就可以利用集合圖來表示它們四者的從屬關(guān)系，這種方法比較直觀形象，易于理解和掌握。

3.利用反對、矛盾關(guān)系，讓學(xué)生深刻地理解概念

具有反對、矛盾關(guān)系的兩個概念在數(shù)學(xué)上也是大量存在的，了解了它可以采用充分分析一方而另一方必然自明的方法來進行教學(xué)，從而達到讓學(xué)生深刻地理解概念的目的。例如，在教學(xué)等邊三角形與不等邊三角形時，有的學(xué)生把等邊三角形視為不等邊三角形的否定，事實上，我們知道，等邊三角形是三邊都相等的三角形，不等邊三角形是三邊都不相等的三角形，因此，這兩個概念是反對關(guān)系的概念，但不是矛盾關(guān)系的概念，兩者之間還有一種底邊和腰不相等的等腰三角形。

參考文獻：

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[2]汪繩祖.小學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué).高等教育出版社，1997-11.

[3]劉電芝.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教的策略.西南師范大學(xué)出版社，2001-08.

（作者單位 重慶市璧山縣教師進修學(xué)校）