馬志峰

摘 要：化歸不僅是一種重要的解題思想，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。只有善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，才能使問(wèn)題得到解決。

關(guān)鍵詞：隔板法；化歸思想；解決問(wèn)題

在課堂中如何做到由淺到深、用化歸思想轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題來(lái)解決的教學(xué)一直是我們所要探索的。

在此通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題來(lái)探究：

問(wèn)題1（基本問(wèn)題）：9個(gè)相同的小球放到3個(gè)不同盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？

解析：把3個(gè)盒子看作由平行的4個(gè)隔板組成的。每一個(gè)滿足要求的放法都相當(dāng)于9個(gè)小球和4個(gè)隔板的一個(gè)排列，其中兩個(gè)隔板在兩頭，任何兩個(gè)隔板之間至少有一個(gè)球（即任何兩個(gè)隔板不相鄰），把兩頭的兩個(gè)隔板拿掉，每一個(gè)滿足要求的放法還相當(dāng)于在排成一列的9個(gè)小球間的8個(gè)空檔中插入2個(gè)隔板，不同的放球方法即插隔的方法，共有C28=28種。

反思與總結(jié)：隔板法應(yīng)用了對(duì)應(yīng)的方法，應(yīng)用此法的前提是小球完全相同（不加區(qū)分），盒子是不同的，每個(gè)盒子至少一個(gè)球。簡(jiǎn)言之，隔板法可以看成是相同元素分給不同對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少分到一個(gè)元素的問(wèn)題解法。

問(wèn)題2（變式與推廣）：9個(gè)相同的小球，放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放2個(gè)球，有多少種不同的放法？

解析：先在3個(gè)盒子中各放一球，化歸為把6個(gè)球放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)。答案是：C25=10。

反思與總結(jié)：?jiǎn)栴}的解決主要是用了化歸的思想——“至少兩個(gè)”化歸為“至少一個(gè)”，這樣就可以轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題來(lái)解決。該題還可以改編為如下：

例1.9個(gè)相同的小球分到編號(hào)為l、2、3的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子分的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，有多少種不同的分法？

解析：先在2號(hào)盒放一個(gè)球，3號(hào)盒放2個(gè)球；問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為6個(gè)球放入3個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少一球。用隔板法，可求得分法種數(shù)為C25=10。

例2.9個(gè)相同的小球放入編號(hào)為l、2、3的三個(gè)盒子中，問(wèn)不同的放法有多少種？

解析：先給每個(gè)小盒放入一個(gè)球，題目中給定的9個(gè)小球任意裝，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為12個(gè)小球裝入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一球的裝法有C211=55種。

問(wèn)題3（深化提高）：（1）方程x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解有多少組？（2）方程x1+x2+x3+x4=10的非負(fù)整數(shù)解有多少組？

解析：（1）原方程的正整數(shù)解可以理解為10個(gè)“1”分給x1、x2、x3、x4，每個(gè)至少有一個(gè)“1”，即可轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，每盒至少裝一個(gè)，有C39=84種，所以該方程有84組正整數(shù)解。

（2）轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，可以有空盒，先給每個(gè)小盒裝一個(gè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為14個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，每盒至少裝一個(gè)，有C313=286種，所以該方程有286組非負(fù)整數(shù)解。

例3.A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={1，2，3，4，5，6}，滿足條件f（a1）≤f（a2）≤f（a3）≤f（a4）≤f（a5）的映射f的個(gè)數(shù)是多少？

解析：按映射f的象集元素個(gè)數(shù)分為5類：

（1）象集恰有5個(gè)元素時(shí)，有C56個(gè)映射；

（2）象集恰有4個(gè)元素時(shí)（即恰有1個(gè)等號(hào)成立），從B中取4個(gè)元素，有C46種方法，再將集合A中的5個(gè)元素按下標(biāo)由小到大的順序分為4組，即a1，a2，a3，a4，a5的中間的4個(gè)空檔插入3個(gè)隔板，有C34種分組方法（這4組分別記為第1，2，3，4組），從B中取出的4個(gè)元素按由小到大的順序分別與第1、2、3、4組相對(duì)應(yīng)。所以共有C46·C34個(gè)映射；

（3）象集恰有3個(gè)元素時(shí)（即恰有兩個(gè)等號(hào)成立），同理有C46·C24個(gè)映射；

（4）象集恰有2個(gè)元素時(shí)（即恰有3個(gè)等號(hào)成立），同理有C46·C14個(gè)映射；

（5）象集恰有1個(gè)元素時(shí)，同理有C16個(gè)映射；

由分類計(jì)數(shù)原理，映射f的個(gè)數(shù)為C56+C46·C34·C24+C26·C14+C16=C510。

我們?nèi)粢浴皢?wèn)題，探究，交流，反思”為主線的探究性課堂教學(xué)，讓學(xué)生在“在實(shí)際中探索，在探索中反思，在反思中創(chuàng)造”，一節(jié)課就會(huì)比單純枯燥的教學(xué)好很多！

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位 江西省廣豐中學(xué)）