龍強云

集合這一章的內(nèi)容涉及的概念多，數(shù)學(xué)方法多，復(fù)習(xí)起來，要想面面俱到，就需很多例題來講解，筆者這里有一道變式例題，可以將集合的內(nèi)容一一覆蓋，下面我們就來探索這道題。

例：已知集合A={x|x2+4x=0}

B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}

（1）.若集合B中只有一個元素，求實數(shù)a的值；

（2）.若集合B中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）.若集合B中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；

（4）.若A∪B=B求實數(shù)a的值；

（5）.若B A， 求實數(shù)a的取值范圍；

（6）.若A∩B≠Ф求實數(shù)a的值；

分析： （1） （2） （3）題針對集合B中元素的個數(shù)來命題的，我們可以轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)來解決。

解： A={-4，0} 方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的判別式⊿=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8依題意知： （1）⊿=0 a=-1

（2）⊿≥0 a≥-1（3）⊿≤0 a≤-1

分析： （4） （5） （6）是集合間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，深刻理解集合元素的特征： 確定性、互異性、無序性以及空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集，任何集合都是它本身的子集，要注意用借助數(shù)軸和文氏圖轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語 B A有兩個元素，B最多有兩個元素，故A=B

即：0，-4是方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的兩根

0+（-4）=-2（a+1）

0×（-4）= a2-1 a=1

（5）B

A ∴B=Ф或{0}或{-4}或{0，-4}依次求得a<-1 或a=-1或a∈Ф或a=1

（6） A∩B={0}或{-4}或{0，-4}

0∈B或-4∈B或B={0，-4}分別求得

a=-1，1或a=1，7或a=1

∴a∈{-1，1，7}

小結(jié)： 1.基本概念的理解與掌握

2. 數(shù)形結(jié)合思想：解答某些集合問題，一般借助數(shù)軸和文氏圖求解，以“形”助“數(shù)”，形象直觀，方便快捷。

3. 等價轉(zhuǎn)化思想：解答集合問題時，有時需要對給定的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只有通過轉(zhuǎn)化，給定的條件才能得以有效利用。

4. 分類討論思想：根據(jù)解題的實際需要，有時需要對解題過程的某一環(huán)節(jié)分類討論。分類討論要注意“起點”的尋找和“層次”的劃分，做到“起點”討論合理自然，“層次”劃分明確清晰。分類討論的原則是“既不重復(fù)，也不遺漏”。