袁國軍　肖慶憲

摘要：考慮了CEV過程下含有交易對手違約風(fēng)險的脆弱期權(quán)定價。根據(jù)無套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過程下脆弱期權(quán)定價模型，得到了定價方程。然后基于半離散化方法，給出了數(shù)值解法，并對數(shù)值結(jié)果進行了分析。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價，脆弱期權(quán)，CEV過程

一、引言

近年來，期權(quán)的場外市場（OTC Market）發(fā)展迅速，但是，由于場外交易的期權(quán)不受交易所的擔(dān)保和保護，使得進入期權(quán)交易的雙方都有可能違約，都面臨著對方的信用風(fēng)險，從而導(dǎo)致期權(quán)可能得不到執(zhí)行。與交易所期權(quán)不同的是，場外市場上的期權(quán)持有者面臨著對手可能違約的信用風(fēng)險，Johnson和Stulz[1]將在OTC上交易的含有信用風(fēng)險的期權(quán)稱為脆弱期權(quán)。

2007年，美國爆發(fā)的“次貸危機”再次說明，OTC市場上交易的金融衍生產(chǎn)品存在著嚴(yán)重的潛在信用風(fēng)險，也使人們認(rèn)識到了對含有對手信用風(fēng)險的金融衍生產(chǎn)品進行合理定價的重要性及其現(xiàn)實意義。雖然，目前我國資本市場開放受到限制，商業(yè)銀行的國內(nèi)業(yè)務(wù)發(fā)展迅猛，使得我國的金融市場在這次金融危機中受到的沖擊有限。但是，隨著經(jīng)濟金融全球一體化進程的加劇和我國金融衍生產(chǎn)品市場的迅猛發(fā)展，金融機構(gòu)及其監(jiān)管部門越來越意識到了對信用風(fēng)險進行管理并進行合理定價的重要性。因此，合理評估OTC市場上含有信用風(fēng)險的期權(quán)的價值，有助于為我國的信用風(fēng)險管理及金融市場的健康發(fā)展提供理論上的指導(dǎo)和金融技術(shù)上的支持。

Johnson和Stulz[1]最先探討含有信用風(fēng)險的期權(quán)定價問題，他們首先引進脆弱期權(quán)這個術(shù)語來定義那些含有交易對手違約風(fēng)險的期權(quán)，并指出了此類期權(quán)的大量特征，他們的研究實際上是拓展了Merton[2]的公司債券定價模型。Hull和White[3]給出了關(guān)于脆弱期權(quán)的定價公式。Klein[4]考慮了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)與對手資產(chǎn)的線性相關(guān)性，得到了歐式脆弱期權(quán)的定價公式?；诮Y(jié)構(gòu)化的方法，在隨機違約邊界與隨機利率的假設(shè)下，Manuel[5]得到了脆弱期權(quán)定價的顯示解，推廣了Klein模型。Hung等[6]、Chang等[7]分別將Klein的研究結(jié)果推廣至不完全市場和美式脆弱期權(quán)情形。陳超[8]建立了跳-擴散結(jié)構(gòu)下的脆弱期權(quán)定價模型。烏畫等[9]研究了多元隨機波動模型中的信用風(fēng)險衍生品的定價問題。李平等[10]運用Frechet Copula和相關(guān)性測度Kendall 來刻畫脆弱期權(quán)行權(quán)概率與對手違約之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，給出了歐式脆弱看漲期權(quán)價格的閉形式表達(dá)式。理論研究和金融實踐發(fā)現(xiàn)，期權(quán)價格中存在波動率“微笑”特征，針對這一現(xiàn)象，Cox和Ross[11]最早提出了用Constant Elasticity of Variance（CEV）模型來刻畫波動率的“微笑”特征。Davydo等[12]對障礙期權(quán)和回望期權(quán)建立了CEV模型，深入探討了估價及套期保值等問題。本文在上述文獻研究的基礎(chǔ)上，利用期權(quán)定價的無套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過程下脆弱期權(quán)定價模型，然后利用半離散化方法，給出了數(shù)值解法，并對數(shù)值結(jié)果進行了分析。

二、CEV過程下脆弱期權(quán)定價模型

為了推導(dǎo)CEV過程下脆弱期權(quán)定價模型，作如下假設(shè)：

三、半離散化及差分格式

四、數(shù)值算例

算例1. 考慮具有下列參數(shù)的歐式脆弱期權(quán)

圖1給出了期權(quán)價格與期權(quán)價值狀況（S/K）之間的關(guān)系，從圖1可以發(fā)現(xiàn)，期權(quán)的價格隨著期權(quán)價值狀況（S/K）值的增加而增加，這與市場實際情況相吻合。

算例2. 考慮具有下列參數(shù)的歐式脆弱期權(quán)

圖2給出了期權(quán)價格與其交易對手資產(chǎn)價格之間的關(guān)系，從圖2可以看出，期權(quán)交易對手資產(chǎn)價格越高，則期權(quán)的價格就越高，這與市場實際情況相吻合。

參考文獻：

[1]Johnson H， Stulz R. The pricing of options with default risk[J].Journal of Finance，1987， 42（2）：267 -280.

[2]Merton R. On the pricing of corporate debt：The risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29（2）：449-470.

[3]Hull J， White A. The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities[J]. Journal of Banking Finance，1995，19（2）：299-322.

[4]Klein P C. Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk[J]. Journal of Banking Finance，1996，20（7）：1211-1229.

[5]Manuel A. Credit risk Valuation-Methods. Models and Applications[M].NY： Springer- Verlag，2001.

[6]Hung M W，Liu Y H. Pricing vulnerable options in incomplete markets[J]. Journal of Futures Markets，2005，25（ 2） ：135-170.

[7]Chang L F，Hung M W. Valuation of vulnerable American options with correlated credit risk[J]. Review of Derivatives Research， 2006，9（2）： 137-165.

[8]陳超.標(biāo)的資產(chǎn)價格服從跳-擴散過程的脆弱期權(quán)定價模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，25（6）： 1129-1132.

[9]烏畫，易傳和，杜軍等.基于多元隨機波動模型的信用風(fēng)險衍生定價[J].管理科學(xué)學(xué)報，2010， 13（10）：55-62.

[10]李平，曲博，黃光東.基于Frechet Copula的歐式脆弱期權(quán)定價[J].管理科學(xué)學(xué)報，2012，15（4）： 23-30.

[11]Cox J C， Ross S A. The valuation of opt ion for alternative stochastic process[J].Journal of Financial Economics，1976， 3（1-2）： 145- 166.

[12]Davydov D，Linetsky V. Pricing and Hedging Path-Dependent Options Under the CEV Process[J].Management Science，2001，47（7）：949-965.

[13]Cont R， Tankov P. Financial modeling with jump process[M]. Chapman and Hall/CRC， Boca Raton， FL， 2004.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11171221）