陳華忠

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略。引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是提高學(xué)生思維水平、建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念、發(fā)展和運用數(shù)學(xué)的重要保證。下面介紹幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法及其在教學(xué)中的運用。

一、符號化思想

華羅庚說過：“數(shù)學(xué)的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應(yīng)用性與優(yōu)越性?！庇梅柣恼Z言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號思想。數(shù)學(xué)中各種量的關(guān)系、量的變化以及量與量之間的推導(dǎo)和演算，都是通過用字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，把復(fù)雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，這樣的處理便于理解，便于記憶，便于運用。

如教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——排列組合”時，某老師設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)，在學(xué)生初步能夠表示多種搭配方案后，出示生活中的例子：衣服搭配、早餐搭配，讓學(xué)生用自己喜歡的方式把搭配方案表示出來。教學(xué)過程中，教師要適時引導(dǎo)學(xué)生運用語言、符號來描述自己的思維過程，并通過語義互譯，滲透符號化思想，給抽象思維過程以簡約、概括、直觀的表征，讓學(xué)生體驗符號化的優(yōu)勢。

二、轉(zhuǎn)化思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決數(shù)學(xué)問題往往不是直接解決原問題，而是將原問題進行變換，使其轉(zhuǎn)化為一個或幾個已經(jīng)能夠解決的問題，這種思想叫做轉(zhuǎn)化思想。與原問題相比，利用轉(zhuǎn)化得到的新問題是學(xué)生能夠解決的或較容易解決的。所以，轉(zhuǎn)化目的是化繁為簡、化難為易、化未知為已知。

如，一位教師創(chuàng)設(shè)買東西的情境來教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”。

師：同學(xué)們從情境圖中收集到哪些信息？要求什么問題？

生：王阿姨買了3塊蛋糕，每塊蛋糕1.2元。要求3塊蛋糕多少元？

師：怎么列式？

生：1.2×3。

師：1.2×3，怎么算？

生：老師還沒有教過。

師：大家能聯(lián)系自己學(xué)過的知識，先想一想，再嘗試地算一算嗎？誰來說一說？

生1：1.2×3就是3個1.2相加，1.2+1.2+1.2=3.6（元）。

生2：1.2元=12角，12×3=36（角），36角=3.6元。

師：同學(xué)們可真了不起，想出了這么好的辦法來解決這個新問題。老師聽出來了，在不知不覺中你們都把新問題轉(zhuǎn)化成了舊知識。（板書：新問題——舊知識）

師：把新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的舊知識，這種方法就是轉(zhuǎn)化法。它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)常要用到的一種好方法，它是將需要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的舊知識，最后達到解決問題的一種方法。即通過引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以前所學(xué)過的小數(shù)加法和元、角的知識，將未知化為已知，從而體驗“轉(zhuǎn)化”思想在解決新問題中的價值。

三、假設(shè)思想

假設(shè)是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，有些問題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無從下手。這時，可以根據(jù)問題的具體情況合理假設(shè)，由此得出一些關(guān)系和結(jié)論，產(chǎn)生差異與矛盾，通過分析與思考，找出差異的原因，使復(fù)雜問題簡單化，數(shù)量關(guān)系明朗化，從而達到解決問題的目的。

如：養(yǎng)雞場分三次把一批肉雞投放市場，第一次賣出的比總數(shù)的 多100只，第二次賣出的比總數(shù)的 少120只，第三次賣出320只。這批雞共有多少只？

這道題的特點是分率后面還有個具體數(shù)量，給思考帶來麻煩。解答時可以假設(shè)沒有后面的具體數(shù)量，去零為整，這樣便于思考。假設(shè)第一次正好賣出總數(shù)的 ，把多的100只放在第三次賣出，即第三次要多賣出100只；假設(shè)第二次正好賣出總數(shù)的 ，那么少的120只需要從第三次取來，即第三次要少賣出120只。這樣，第三次賣出的只數(shù)是320+100-120=300（只）。由此可求出這批雞共有300÷（1- - ）=1050（只）。

四、模型思想

《數(shù)學(xué)課標》指出，“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！苯處熢跐B透“模型思想”時，應(yīng)注意以下幾個問題：1.小學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)模型主要有“加法模型”、“乘法模型”、“函數(shù)模型”、“方程模型”，其中，“加法模型”可以推演出“減法模型”，“乘法模型”可以推演出“除法模型”，“函數(shù)模型”主要表現(xiàn)在周長公式、面積公式、體積公式以及“路程=速度×?xí)r間”“總價=單價×數(shù)量”等關(guān)系式中。2.隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，“模型思想”的重要性表現(xiàn)更為明顯，更多體現(xiàn)在生活問題數(shù)學(xué)化的過程中，是解決生活實際問題以及數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的重要思想。小學(xué)階段所學(xué)知識是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，因此“模型思想”只要求初步滲透。3.模型思想包括建立模型和求解模型兩個部分，其中，建立模型是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、函數(shù)等模型，是生活問題或具體情景的數(shù)學(xué)化過程，求解模型是數(shù)學(xué)問題解決的過程。

因此，教師要根據(jù)學(xué)生的認知水平和生活經(jīng)驗，重視生活問題的抽象概括和數(shù)學(xué)化的過程，為模型思想的初步滲透和建立奠定思維基礎(chǔ)。在“數(shù)的運算”教學(xué)中，可以進行“加法模型”“乘法模型”等思想的滲透；在周長、面積、體積等知識教學(xué)中，可以進行“函數(shù)模型”思想的滲透；在簡易方程知識的教學(xué)中，可以進行“方程模型”思想的滲透等。

五、極限思想

極限是用來描述變量在一定變化過程中的終極狀態(tài)的概念，極限思想為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了強有力的思想武器。

如教學(xué)“圓的面積”時，教師比較注重對學(xué)生滲透極限思想，讓學(xué)生體會到“化圓為方”、“化曲為直”的數(shù)學(xué)方法。學(xué)生在經(jīng)歷圓面積計算公式的推導(dǎo)過程中，通過教師點撥引導(dǎo)，大膽放手讓學(xué)生自主探究，合作交流，大部分學(xué)生都是先把圓分成相等的兩部分，然后把兩個半圓8等分，12等分，16等分等，并把它剪開，再拼湊成近似于平行四邊形或長方形的圖形。推導(dǎo)過程是學(xué)生通過動手操作、小組合作交流得出來的。最后運用課件演示進行驗證，突出如果把圓64等分、128等分以及更多等分，讓學(xué)生感受到這是一種用“無限逼近”的方法來推導(dǎo)圓的面積計算公式，感受到把圓等分的份數(shù)越多，“弧”就越接近于“直”，拼成的圖形越接近于長方形或平行四邊形。這時長方形或平行四邊形的面積就越接近圓的面積，從而使學(xué)生初步感受“無限”思想。

六、對應(yīng)思想

對應(yīng)思想是人們對兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法，是解答實際問題的常見方法。小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。在“數(shù)的認識”教學(xué)中，可以運用“一一對應(yīng)”的方法培養(yǎng)學(xué)生的對應(yīng)意識，逐步形成對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

如教學(xué)“用分數(shù)知識解決問題”時，抓準分率與具體量的對應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵。用分數(shù)知識解決問題的數(shù)量關(guān)系比較抽象，必須充分利用半具體半抽象的線段圖作為解題工具。通過線段圖幫助，明確誰是單位“1”，誰是對應(yīng)分率，從而幫助學(xué)生理清思路，找到解題線索，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。如：小新看一本120頁的故事書，第一天看了總頁數(shù)的 ，第二天看總頁數(shù)的 ，___________？（讓學(xué)生提出問題并列式解決）

顯然，分率 對應(yīng)的是第一天看的頁數(shù)；分率 對應(yīng)的是第二天看的頁數(shù)；分率（ + ）對應(yīng)的是前兩天看的頁數(shù)；分率（1- - ）對應(yīng)的是還剩下的頁數(shù)。

為此，教師在教學(xué)中要有意識地滲透對應(yīng)思想，增強學(xué)生的對應(yīng)意識。只有學(xué)生掌握了對應(yīng)的思想方法，無論用分數(shù)知識解決問題的條件如何變化，都能認清題目中的量與率的對應(yīng)關(guān)系，找到解決問題的途徑與方法，為解決實際問題奠定基礎(chǔ)。

七、函數(shù)思想

運動、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。函數(shù)思想的可貴之處就在于它是用運動、變化的觀點去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對函數(shù)概念的理解有一個過程，教學(xué)中教師在處理一些問題時就要做到心中有函數(shù)思想，注意滲透函數(shù)思想。

如讓學(xué)生觀察“20以內(nèi)進位加法表”，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起和的變化的規(guī)律等都較好地滲透了函數(shù)思想。在低年級教材里，如一個加數(shù)不變時，“和”隨“另一個加數(shù)”變化而變化，也是找出其對應(yīng)關(guān)系。六年級正、反比例這部分內(nèi)容更是集中滲透了函數(shù)的概念。教師處理這部分教材時，應(yīng)通過畫圖、列表等直觀形式，畫龍點睛地強調(diào)量的“變化”，突出“兩種相關(guān)聯(lián)的量”之間的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。為此，在教學(xué)中滲透函數(shù)思想的內(nèi)容時，可以這樣安排：先讓學(xué)生獨立計算，然后指名匯報，師生訂正，接著再引導(dǎo)學(xué)生認真觀察比較，發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律，答案的變化是怎樣引起的？通過觀察對比，讓學(xué)生體會“當(dāng)一個數(shù)變化，另一個數(shù)不變時，得數(shù)變化是有規(guī)律的”，這樣，函數(shù)思想就自然而然地滲透在其中。

八、分類思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類思想?！拔镆灶惥?，人以群分”，將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論。

分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中經(jīng)常用到的，又叫做邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對研究對象進行分類，都是深化研究對象、發(fā)展科學(xué)必不可少的思想。因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)中的分類思想具有兩個特性：1.統(tǒng)一性。要進行分類首先必須將對象視為統(tǒng)一整體，然后進行分類；或者通過分類，指出對象間某種共同的聯(lián)系，進而表現(xiàn)出其統(tǒng)一的屬性。2.差異性。分類不僅揭示了對象的整體統(tǒng)一性，也刻畫了它們的個體差異性，這種差異性才使得不同對象得以區(qū)別，分類得以實現(xiàn)。

責(zé)任編輯：趙關(guān)榮