Peter Rowlett

常聽人說數(shù)學(xué)浮于實際——本來嘛，理論不同于實踐，需經(jīng)由依托才能應(yīng)用于生活。數(shù)學(xué)研究往往先于時代，社會還沒發(fā)展出合適的落腳地，很多數(shù)學(xué)理論生來就成了“遺腹子”，少人疼愛。好在她天然的嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯，許多數(shù)學(xué)定理歷經(jīng)千年依然如是。然后，就在我們最最意想不到的地方與后面趕上來的生產(chǎn)力不期而遇，交匯處生出燦爛的數(shù)學(xué)之花。

這里我們編譯了三個理論與實際相遇的故事，把意想不到的數(shù)學(xué)應(yīng)用一一道來。

四元數(shù)：150年后在計算機(jī)時代盛開

1843年10月16日，愛爾蘭數(shù)學(xué)家漢密爾頓爵士在散步時，突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解，并且創(chuàng)造了形如a+bi+cj+dk的四元數(shù)（a為標(biāo)量，[bi+cj+dk]為矢量）。為了捕捉這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護(hù)文物，將方程刻在了正好經(jīng)過的布魯穆橋上。

這條方程放棄了交換律，是當(dāng)時一個極端的想法（那時還未發(fā)展出矢量和矩陣）。四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個四維空間。漢密爾頓爵士本來正在研究如何把復(fù)數(shù)應(yīng)用于三維空間，但橋上的靈光一現(xiàn)，直接把研究擴(kuò)展到了四維上去。

四元數(shù)有著漂亮的數(shù)學(xué)形式，還適用于地理學(xué)、力學(xué)和光學(xué)的研究。之后的時間里，漢密爾頓爵士把大部分精力都用于推廣四元數(shù)的概念。他死后，接力棒傳到了愛丁堡大學(xué)自然哲學(xué)教授皮特·格恩里·泰特手中。

著名物理學(xué)家威廉·湯姆遜（也稱“開爾文男爵”，熱力學(xué)溫標(biāo)單位開爾文便以他的名字命名）曾說：我和泰特為四元數(shù)爭了38年。兩人合著《自然哲學(xué)論》時，曾決定在必要時引入四元數(shù)的概念，但從最終手稿來看，“必要的時候”一直不曾出現(xiàn)。

19世紀(jì)末，向量微積分的出現(xiàn)更是搶走了四元數(shù)的光芒。在20世紀(jì)中葉的科學(xué)和工程界中，矢量幾乎已完全取代四元數(shù)的位置。麥克斯韋曾在他的《電磁場動力理論》直接以20條有20個變量的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關(guān)系。

某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數(shù)來表述，但與后來黑維塞使用四條以矢量為基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數(shù)的表述并沒有流行起來。人們認(rèn)為四元數(shù)空有漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，沒有什么實際用途，不過是數(shù)學(xué)史上又一個無足輕重的腳注罷了。

到了計算機(jī)時代，四元數(shù)終于找到了自己的位置。在三維幾何旋轉(zhuǎn)的計算中比矩陣更有優(yōu)勢，在機(jī)器人技術(shù)、計算機(jī)視覺和圖像編程領(lǐng)域都是極為重要的工具。

150年之后，漢密爾頓爵士他們的研究終于得到了世人的認(rèn)可。自己種下的理論滋養(yǎng)了全球數(shù)以千億計的計算機(jī)產(chǎn)業(yè)，爵爺若地下有知，也應(yīng)該感到欣慰了。

最密堆積：三個世紀(jì)后在信道中相遇

假如在你面前放著一堆橙子，怎么擺放才能最節(jié)約空間？別以為這只是困擾水果店老板的日常煩惱之一。人們可以憑經(jīng)驗或直覺斷定，把上一層橙子交錯著放到下一層橙子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理。但誰能用數(shù)學(xué)證明不存在比這更合理的方法？

1611年，開普勒提出，水果商堆橙子的辦法對空間的利用率最高，可他自己卻沒法給出證明。在400多年的時間里，“開普勒猜想”難倒了眾多數(shù)學(xué)家。直到1940年，匈牙利數(shù)學(xué)家拉茲洛·費耶·托斯才解決了開普勒猜想的簡化版——圓環(huán)堆積問題。

1998年，一則數(shù)學(xué)新聞突然成了各大媒體報道的焦點：美國匹茲堡大學(xué)的托馬斯·海爾斯證明了“開普勒猜想”：在箱子里堆放大小一樣的球，用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）使空間利用率最高。也就是說，水果商在箱子里裝橙子的辦法一直都是最有效的。

海爾斯解答了這個提出了400余年的難題，但水果商并不買賬。一位水果攤小販在接受電視臺采訪時說：“這簡直是浪費時間又浪費我們納稅人的錢！”

不過，開普勒和海爾斯的智慧結(jié)晶當(dāng)然不僅僅是用來裝橙子這么簡單——有關(guān)最密堆積的研究成果是現(xiàn)代通訊技術(shù)的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內(nèi)容。

同樣也是在17世紀(jì)，牛頓和大衛(wèi)·格里高里因“牛頓數(shù)問題”爭來爭去。牛頓數(shù)，“Kissing Number”，是與一個n維球外切的等維球的個數(shù)。很容易看出，二維的牛頓數(shù)是6。牛頓確信三維的牛頓數(shù)是12，直到1953年，科特·舒特和范·德·維爾登才給出了一個證明。

2003年，奧萊格·穆辛證明了四維的牛頓數(shù)是24。至于五維的牛頓數(shù)，目前只知道它在40到44之間。不過，我們知道八維的牛頓數(shù)是240，二十四維的牛頓數(shù)是196560，這兩個數(shù)都是美國明尼蘇達(dá)大學(xué)的安德魯·奧德里茲克在1979年證明的。八維和二十四維的牛頓數(shù)證明起來其實比三維的牛頓數(shù)簡單，它們還跟超密集的球體填充問題有關(guān)：八維E8點陣和二十四維Leech點陣。

這些發(fā)現(xiàn)令人驚奇，不過讓普通人一頭霧水的概念有什么實際意義？接下來聽我說。

20世紀(jì)60年代，一位叫戈登·朗的工程師正在設(shè)計調(diào)制解調(diào)器系統(tǒng)。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發(fā)出一個信號，信號由一系列的音調(diào)組成。但是，由于一個頻道傳遞的信號過多，經(jīng)常出現(xiàn)信號無法被完整接收的情況。朗將組成信號的聲音用一串?dāng)?shù)字表示，信號即可被當(dāng)作一個個包含信息的“小球”，為了使發(fā)送的信息量達(dá)到最大化，這些“小球”必須被盡可能緊密地排列起來。

20世紀(jì)70年代晚期，朗發(fā)明了采用E8堆積法傳遞八維信號的調(diào)制解調(diào)器。由于這項技術(shù)可以通過電話線進(jìn)行信號傳播，不必重新設(shè)計信號電纜，因此大大加快了互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展。

概率論：賭桌上的硬道理到保險業(yè)的發(fā)展

文藝復(fù)興時期，意大利出現(xiàn)了一位大學(xué)者卡爾達(dá)諾，他嗜賭，但賭術(shù)并不高明，在賭桌上輸?shù)袅舜蟀鸭耶a(chǎn)。不過，他由此寫下《論賭博游戲》一書，被認(rèn)為是第一部概率論專著，開創(chuàng)了現(xiàn)代概率論研究的先河，也為今天的精算學(xué)做了鋪墊。

一個世紀(jì)之后，法國賭徒梅內(nèi)遇到了難題。他常玩的兩個游戲，一是連續(xù)擲4次色子，看能否扔出一個6；二是擲2個色子，連續(xù)24次，看能否扔出2個6。梅內(nèi)以為兩者贏錢的概率相等，不過實際情況卻與他想的不一樣。前者他贏多輸少，后者卻是輸多贏少。梅內(nèi)向朋友數(shù)學(xué)家帕斯卡求助，帕斯卡隨后和費馬在信件往來中探討了這個問題，為概率論的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。1657年，荷蘭人惠更斯首次公開發(fā)表了概率論著作《論賭博中的計算》。

17世紀(jì)晚期，雅各布·伯努利發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)擲一次色子，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/6，但連續(xù)擲6次色子并不能確保每個數(shù)字都出現(xiàn)。他提出了伯努利實驗，許多實際問題都可歸結(jié)為這種模型。更重要的是，伯努利還提出了大數(shù)定律，指在一個隨機(jī)事件中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率越趨近于一個穩(wěn)定值。這個定律甚至促進(jìn)了保險業(yè)的發(fā)展。過去，保險公司只敢賣出有限的保單，因為賣出的保單越多，賠付的風(fēng)險看上去就越高。直到18世紀(jì)初，保險公司才開始像現(xiàn)在一樣大肆推銷保險。這都多虧伯努利的大數(shù)定理證明：保單賣得越多，賠付的概率就越趨于穩(wěn)定，風(fēng)險是可控的。

預(yù)測一項科學(xué)研究的影響極為困難。不過，最近一項報告指出，即使是理論性最強(qiáng)的數(shù)學(xué)研究，也可能在幾十年后產(chǎn)生意想不到的作用。數(shù)學(xué)家盡可鉆研理論，然后等其他領(lǐng)域的天才把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際。