樓文勝

摘 要：二次輪換對稱問題的最值必在變量相等時取得，由此可非?？旖莸亟獯鹨恍└呖碱}。

關鍵詞：二次輪換對稱問題；最值；高考題

《中學數(shù)學教學參考》2012第5期刊出陳云烽老師《二次約束條件下的最值求法》，讀后深受啟發(fā)，只有當二次約束條件對應的圖形是橢圓時，x，y才能在限定的區(qū)間內，px+qy才有最大值和最小值。 文章給出了此類問題形象的幾何直觀。

如限定二次約束條件為輪換對稱式，要求的問題也是輪換對稱的，我們把它簡稱為二次輪換對稱問題。 其實這也是對2011浙江文科16題所做的一種一般化研究。二次輪換對稱問題有如下非常簡明的結論：

定理：設x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，要求x+y（或xy）的最值（當a=0，要求xy的最值，要求x，y∈R+），其最值必在x=y時取得。

下面給出上面結論的一個證明：

由高數(shù)知識，輪換對稱式可由x+y和xy表示，其實約束條件通過配方后，顯然可以用x+y和xy表示，設配方后的式子為e（x+y）2+fxy+g（x+y）+h=0，可不妨設e≥0。

1. 求x+y的最值

設t=xy，s=x+y，上述問題變?yōu)椋涸Oes2+ft+gs+h=0，求s的最值。

2. 求xy的最值

設es2+ft+gs+h=0，求t的最值。

若f=0，es2+gs+h=0，此時s為常數(shù)，t=xy≤

2，t有最大值，當且僅當x=y時取得最大值。

若f≠0，e>0時，t=-s2-s-，t有最值，當s=-時，取得最值，此時亦可看做x=y取得最值。

若f≠0，e=0時，t=-s-，≥，x，y∈R+，≥，通過放縮求最值，如有最值，最值必在等號時取得，即必有x=y。

綜上，二次輪換對稱問題“設x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，求x+y（或xy）的最值”（當a=0，求xy的最值，要求x，y∈R+）必在x=y時取得。

二次輪換對稱問題高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有了上面結論，可以非常快捷地給出答案。

3. 結論的應用舉例

例1 （1998年全國理科22題）已知a+ab+2b=30（a>0，b>0），則ab的最大值是_______。

解：條件不是輪換對稱式：如令a=s，2b=t，則問題變?yōu)椋阂阎猻+st+t=30，則st最大值是多少？這就是輪換對稱問題了。當s=t時，s=t=6，即a=6，b=3，ab的最大值為18。

例2 （2010浙江文科15題）若正實數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是________。

解：令2x=s，y=t，上式變?yōu)閟+t+6=st，則st的最小值是多少？這是一個輪換對稱問題。 當s=t=6時取最小值，即x=3，y=6，xy的最小值是18。

例3 （2006年重慶理科10題）若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2，則2a+b+c的最小值為 （ ）

解：關于b，c的輪換對稱問題，當b=c時取最小值，由條件b=c=-1-a，所以答案為D。

例4 （2011年浙江文科16題）設x，y∈R，x2+y2+xy=1，則x+y的最大值_____。

解：當x=y時，x=±，所以最大值為。

對應的理科高考16題：設x，y∈R，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______。

只要設s=2x，t=y，上式變?yōu)椋簊，t∈R，s2+t2+=1，則s+t的最大值是多少？問題變?yōu)檩啌Q對稱，易知最大值為。