梁金星

摘 要：三次函數(shù)是現(xiàn)在高中新課標(biāo)教材中最重要的一個(gè)內(nèi)容，是高中代數(shù)中最重要的一種函數(shù)，在高中新課標(biāo)教材中占有非常重要的地位，它的最值問(wèn)題、單調(diào)性、根與系數(shù)關(guān)系、切線、零點(diǎn)問(wèn)題及其應(yīng)用是全國(guó)各省市高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).本文對(duì)三次函數(shù)做了全面的探究，為廣大師生全面了解三次函數(shù)提供點(diǎn)滴幫助。

關(guān)鍵詞：三次函數(shù)；圖象；性質(zhì)；零點(diǎn)；切線

三次函數(shù)是現(xiàn)在高中新課標(biāo)教材中最重要的一個(gè)內(nèi)容，是高中代數(shù)中最重要的一種函數(shù)，在高中新課標(biāo)教材中占有非常重要的地位，它的最值問(wèn)題、單調(diào)性、根與系數(shù)關(guān)系、切線、零點(diǎn)問(wèn)題及其應(yīng)用是全國(guó)各省市高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。

[?] 三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象與性質(zhì)

例1 （2011年惠州模擬）已知f（x）=2x2-3x2+x+1，

（1）證明：y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A

的對(duì)稱點(diǎn)為P′（1-x0，2-y0）。

把P′（1-x0，2-y0）代入y=f（x）得

左邊=2-y0=-2x+3x-x0+1

右邊=f（1-x0）=2（1-x0）3-3（1-x0）2+（1-x0）+1=-2x+3x-x0+1，

左邊=右邊，所以點(diǎn)P′（1-x0，2-y0）滿足y=f（x）。

故點(diǎn)P′是y=f（x）圖象上一點(diǎn)，所以y=f（x）圖象關(guān)于A對(duì)稱。

（2）由（1）知：2-y0=f（1-x0），即f（1-x0）+y0=2，又f（x0）=y0，

所以f（x0）+f（1-x0）=2。

[?] 三次函數(shù)零點(diǎn)分布及拓展

1.三次函數(shù)零點(diǎn)分布

根據(jù)三次函數(shù)的圖象：

（1）三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d在R上至少有一個(gè)零點(diǎn)。

（2）當(dāng)Δ=b2-3ac≤0時(shí)，y=f（x）在整個(gè)R上單調(diào)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即ax3+bx2+cx+d=0只有唯一實(shí)數(shù)解。

（3）當(dāng)Δ=b2-3ac>0時(shí)，設(shè)f′（x）=3ax2+2bx+c=0兩個(gè)解為x1，x2，當(dāng)x1

f（x1）·f（x2）=0時(shí)，y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即ax3+bx2+cx+d=0有兩個(gè)不同解。

f（x1）·f（x2）>0時(shí)，y=f（x）只有唯一零點(diǎn)，即ax3+bx2+cx+d=0有唯一實(shí)數(shù)解。

2.三次方程根與系數(shù)關(guān)系

設(shè)ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）有三個(gè)根x1，x2，x3，

則有x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x2x1=，x1x2x3=-。

證明：因?yàn)榉匠蘟x3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三個(gè)根分別x1，x2，x3，

所以可設(shè)ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）=ax3-a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x2x3+x3x1）x-ax1x2x3，

所以-a（x1+x2+x3）=b，

3.任意連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法

（1）求f′（x）=0的解x1，x2，…，xn（x1

（2）判斷f（x1），f（x2），…，f（xn）的符號(hào).這是因?yàn)閤1，x2，…，xn（x1

（3）結(jié)論：

1°若f（xi）與f（xi+1）同號(hào)，則在（xi，xi+1）上無(wú)零點(diǎn)。

2°若f（xi）與f（xi+1）異號(hào)，則在（xi，xi+1）上有唯一零點(diǎn)。

3°若f（xi）=0，則在f（xi-1，xi+1）上有唯一零點(diǎn)xi。

例2 （2007全國(guó)Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值。

（1）求a，b的值；

（2）若對(duì)于任意的x∈[0，3]，都有f（x）

（3）（補(bǔ)充）若y=f（x）在R上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求c的值。

解析：（1）因?yàn)閒′（x）=6x2+6ax+3b，又y=f（x）在x=1及x=2處取極值，

所以f′（1）=0，

f′（2）=0，即6+6a+3b=0，

24+12a+3b=0，

解之得a=-3，b=4。

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，所以f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）.當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）>0.所以x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=5+8c； x=2時(shí)，f（x）取得極小值f（2）=4+8c。

又f（0）=8c，f（3）=9+8c，因?yàn)楫?dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）最大值為f（3）=9+8c。

因?yàn)閷?duì)任意的x∈[0，3]，有f（x）9，故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）。

（3）由（2）知y=f（x）的極大值f（1）=5+8c，極小值為f（2）=4+8c，若y=f（x）恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則f（1）·f（2）=0。

即（5+8c）（4+8c）=0，即c=-或c= -，所以c=-，c=-。

例3 （2012年韶關(guān)市一模）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）。

（1）當(dāng)a=時(shí)，若存在x∈[-3，-1]，使得f′（x）>0成立，求b的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)y=f′（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程f（x）=-t在[-1，t]（t>-1）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解析：（1）當(dāng)a=時(shí)，f′（x）=x2+2bx+b-=（x+b）2-b2+b-，其對(duì)稱軸為直線x=-b，所以-b≥-2，

所以b的取值范圍為-∞

（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a）。

法1：當(dāng)a=0時(shí)，x=-符合題意。

當(dāng)a≠0時(shí)，3x2+2x+

-1=0，令t=，則3x2+2tx+（t-1）=0，令h（x）=3x2+2tx+（t-1），因?yàn)閔

-=-<0， 當(dāng)t>1時(shí)，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在

-，0內(nèi)有零點(diǎn)；

當(dāng)t≤1時(shí)，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在-1，

-內(nèi)有零點(diǎn)。

當(dāng)a≠0時(shí)，y=h（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上可知，函數(shù)y=f′（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

法2：f′（0）=b-a，f′（-1）=2a-b，

因?yàn)閍，b不同時(shí)為零，所以f′

-·f′（-1）<0，故結(jié)論成立。

（3）因?yàn)閒（x）=ax3+bx2+（b-a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，f′（x）=3ax2-a。

又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x3-x。

所以f（x）在-∞，

法1：如圖1所示，作y=f（x）與y=-的圖象，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則

①當(dāng)-10，

即t3-t≥-，解得-≤t≤ -；

時(shí)，過(guò)y=-x圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點(diǎn)，

當(dāng)x取其他任何值時(shí)都有兩個(gè)或沒(méi)有交點(diǎn)。

得另外的切線l2：y-n=f′（m）（x-m）。

2.過(guò)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象外一點(diǎn)P（x0，y0）作y=f（x）的圖象的切線，可作一條或兩條或三條，即最少可作一條切線，最多可作三條切線。

設(shè)所作切線的切點(diǎn)為Q（m，n），

則

由方程組（Ⅰ）求解m，n，

若（Ⅰ）只有一組m，n的解，則只能作一條切線；

若（Ⅰ）有兩組m，n的解，則能作兩條不同切線；

若（Ⅰ）有三組m，n的解，則能作三條不同切線。

3.從圖象上了解三次函數(shù)圖象的切線分布

一般情況下，設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）的凹凸分界線為l，經(jīng)過(guò)極大值點(diǎn)且垂直x軸的單調(diào)圖象分界線為l1，經(jīng)過(guò)極小值點(diǎn)且垂直x軸的單調(diào)圖象分界線為l2，如圖7。

設(shè)l0，l1，l2與y=f（x）圍成的封閉區(qū)域叫做區(qū)域Ⅱ，l1的左側(cè)且在y=f（x）圖象上方與l2的右側(cè)區(qū)域且在y=f（x）圖象下方區(qū)域叫做區(qū)域Ⅲ，其余部分叫做區(qū)域Ⅰ。

例4 已知函數(shù)f（x）=x3-x。

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程；

（2）設(shè)a>0，如果過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，

證明：-a

解：（1）f′（x）=3x2-1，所以在M（t，f（t））處的切線斜率k=f′（t）=3t2-1。

所以在M（t，t3-t）處的切線方程為y-（t3-t）=（3t2-1）（x-t），

即y=（3t2-1）x-2t3。

（2）如果切線過(guò)點(diǎn)（a，b），由（1）知，則存在t，使b=（3t2-1）a-2t3，若過(guò)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。

設(shè)g（t）=2t3-3at2+a+b，則g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）。

令g′（t）=0得t=0，t=a。

當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g′（t）變化情況如下表：

[t＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，a）＼&a＼&（a，+∞）＼&g′（t）＼&+＼&0＼&-＼&0＼&+＼&g（t）＼&增＼&極大值

a+b＼&減＼&極小值

b-f（a）＼&增＼&]

由表知t=0時(shí)，g（t）極大值=g（0）=a+b， t=a時(shí)，g（t）極小值=g（a）=b-f（a）。

因?yàn)間（t）=2t3-3at2+a+b有三個(gè)零點(diǎn)，

所以（a+b）[b-f（a）]<0（?）。

又在[0，a]上時(shí)，g（t）遞減，所以g（0）=a+b>g（a）=b-f（a），

所以結(jié)合（?）有a+b>0，

b-f（a）<0，

即-a

例5 已知函數(shù)f（x）=x3-3x，

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=2處的切線方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，f（2）=23-3×2=2，所以曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y-2=9（x-2），即9x-y-16=0。

（2）過(guò)點(diǎn)A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），

則y0=x-3x0，k=f′（x0）=3x-3，

所以切線方程為y-（x-3x0）=（3x-3）（x-x0），

整理得2x-3x+m+3=0.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，

所以方程（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根。

記g（x）=2x3-3x2+m+3，g′（x）=6x2-6x=6x（x-1）.令g′（x）=0，x=0或1。

則x，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

[x＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，1）＼&1＼&（1，+∞）＼&g′（x）＼&+＼&0＼&-＼&0＼&+＼&g（x）＼&＼&極大＼&＼&極?。?amp;＼&]

當(dāng)x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2。

由g（x）的簡(jiǎn)圖知，

當(dāng)且僅當(dāng)g（0）>0，

g（1）<0，

即m+3>0，

m+2<0，-3

所以若過(guò)點(diǎn)A可作曲線y=f（x）的三條不同切線，m的取值范圍是（-3，-2）。