宋茂華

摘 要：學(xué)生對(duì)上課的內(nèi)容表現(xiàn)出不理解，教師就要及時(shí)做好反思，反思是一個(gè)教師快速成長(zhǎng)的一種很好的途徑。 本文結(jié)合一道高三模擬題的講評(píng)及教后反思，說(shuō)明了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。 進(jìn)一步得到：通性通法就是扎根于學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，從核心概念出發(fā)，易于理解的常規(guī)方法；通過反思，教師、學(xué)生的理解力能從一個(gè)水平升華到更高的水平。

關(guān)鍵詞：反思；數(shù)學(xué)歸納法；通性通法；理解力

問題：已知n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，…，an（n∈N*）滿足a1a2a3…an=1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：a1+a2+a3+…+an≥n。

這是2012年南通市通州區(qū)高三期中調(diào)研測(cè)試一道試題，參考答案如下：

①當(dāng)n=1，a1=1，a1≥1顯然成立；

②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即若a1a2a3·…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤ak≤ak+1，則a1-1≤0，ak+1-1≥0，

（a1-1）（ak+1-1）≤0，即a1+ak+1≥a1ak+1+1，a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥

（a1ak+1）+a2+a3+…+ak+1≥k+1。 所以原命題成立。

筆者覺得怎么想到先將k+1個(gè)數(shù)重新按照從小到大的順序排列，a1≤1，ak+1≥1，將a1與ak+1合并為一項(xiàng)，再利用歸納假設(shè)。 思路突然，技巧性太強(qiáng)，學(xué)生一頭霧水。 數(shù)學(xué)教育學(xué)家弗賴登塔爾說(shuō)過：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平?！?數(shù)學(xué)試題的講評(píng)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注通性通法，何謂通性通法？筆者認(rèn)為通性通法就是扎根于學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，易于理解的常規(guī)方法；是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最高層次的概括與提煉。 筆者反思：數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是什么？即如何由n=k命題成立，推證n=k+1時(shí)命題成立。 也就是由假設(shè)n=k命題成立，a1a2a3…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，推證n=k+1時(shí)，a1a2a3…akak+1=1，對(duì)照條件應(yīng)該如何創(chuàng)造條件利用歸納假設(shè)？便于理解的思路是將“a1a2a3…akak+1=1”改造成k個(gè)數(shù)的積！一種方法是將ak+1均分成k份，每份是[ak+1][]然后與ai（i=1，2，3，…）相乘與組合成k個(gè)數(shù)的積；另一種方法是將ai（i=1，2，3，…）與ak+1組合成一個(gè)數(shù)；思路①（a1[ak+1][]）（a2[ak+1][]）（a3[ak+1][]）…（ak[ak+1][]）=1，思路②a1a2a3…ai-1ai+1…（akak+1）=1，如何實(shí)施？思路①由歸納假設(shè)，（a1[ak+1][]）+（a1[ak+1][]）+（a3[ak+1][]）+…+（ak[ak+1][]）現(xiàn)在回頭再看參考答案思路的形成：將a1與ak+1結(jié)合構(gòu)成k項(xiàng)的積（a1ak+1）·a2a3…ak，由歸納假設(shè)（a1ak+1）+a2+a3+…+ak≥k，再尋找一個(gè)加強(qiáng)不等式a1+ak+1≥a1ak+1+1。 這樣經(jīng)過反思得到了學(xué)生覺得很自然的解法。