鄭宗劍　張斌儒

【摘 要】研究了一類含恢復(fù)期時(shí)滯且具有種群Logistic增長(zhǎng)傳染病模型。討論了平衡點(diǎn)的存在性、局部穩(wěn)定性，利用Hopf分支理論，以時(shí)間為參數(shù)給出了系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分支的的充分條件。

【關(guān)鍵詞】Hopf分支；時(shí)滯；局部漸近穩(wěn)定；平衡點(diǎn)

1.引言

針對(duì)一些通過(guò)細(xì)菌傳染的疾病，如腦炎、淋病等康復(fù)后不具有免疫力，可以被再次感染，1932年kermack-Mckendrick提出倉(cāng)室模型。近些年學(xué)者們將傳染病動(dòng)力學(xué)與種群動(dòng)力學(xué)結(jié)合起來(lái)建立模型，得到一些成果，如文獻(xiàn)[1-3]。而關(guān)于模型研究主要特性主要體現(xiàn)在染病者被治愈變?yōu)橐赘姓叩幕謴?fù)期階段，故考慮恢復(fù)期時(shí)滯更具實(shí)際意義。本文考慮加入恢復(fù)期時(shí)滯，研究如下系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性與Hopf分支，即：

其中分別表示時(shí)刻易感染者的數(shù)目，感染者的數(shù)目，為傳染率， 為內(nèi)稟自然增長(zhǎng)率，為環(huán)境容納量，為移出率，為疾病的死亡率，為潛伏期， 均為正常數(shù)。

2.平衡點(diǎn)及局部穩(wěn)定性，Hopf分支存在性

帶入并結(jié)合得知，即從小于到大于特征方程（2）的根在復(fù)平面上從左到右穿過(guò)虛軸。

定理4：若時(shí)，是特征方程（2）的根，且滿足，，，同時(shí)系統(tǒng)（1）也是條件穩(wěn)定，因此在處出現(xiàn)Hopf分支。

3.結(jié)論

本文將種群動(dòng)力學(xué)與傳染病動(dòng)力學(xué)結(jié)合考慮了含時(shí)滯的傳染病模型，主要討論了平衡點(diǎn)及局部穩(wěn)定性和Hopf分支。當(dāng)時(shí)滯由0變化到臨界值時(shí)，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分支，即當(dāng)增加通過(guò)臨界值時(shí)，從平衡點(diǎn)分支處周期解，此時(shí)，疾病會(huì)出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象。

參考文獻(xiàn)：

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[5]J. K. Hale.Theory of Functional Differential Equations[M].Springer_Verlag ，New York，1977.

基金項(xiàng)目：

四川文理學(xué)院院級(jí)項(xiàng)目“具有時(shí)滯的傳染病模型動(dòng)力學(xué)研究”（2011Z0031）。

作者簡(jiǎn)介：

鄭宗劍（1982—） 男，四川巴中人，碩士，四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，講師，主要從事常微分方程與數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究。