高順德，楊 超，滕儒民，田鳳帥，趙 超

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.大連益利亞工程機(jī)械有限公司，遼寧 大連 116023）

全地面起重機(jī)具有起重量大、起升高度高、作業(yè)半徑大以及適應(yīng)能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，逐漸成為移動(dòng)式起重機(jī)市場(chǎng)的主力軍［1］.但較大的起升高度和作業(yè)半徑會(huì)導(dǎo)致起重機(jī)在回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重的擺振更為明顯，從而降低吊裝就位精度，同時(shí)對(duì)起重機(jī)臂架系統(tǒng)產(chǎn)生較大的周期性附加動(dòng)載荷，影響起重機(jī)臂架力學(xué)性能及整機(jī)穩(wěn)定性.為了提高起重機(jī)作業(yè)效率和操作安全性，研究回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重?cái)[振特性，對(duì)于指導(dǎo)全地面起重機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制編程具有重要意義.

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)起重機(jī)吊重?cái)[振特性進(jìn)行了大量的研究，但主要集中在小車－吊重系統(tǒng).如SINGHOSE W［2］等對(duì)龍門(mén)式起重機(jī)在起升運(yùn)動(dòng)時(shí)吊重?cái)[動(dòng)及控制進(jìn)行了研究.吳曉等［3］根據(jù)起重機(jī)小車－吊重系統(tǒng)的三維動(dòng)力學(xué)模型建立了吊重?cái)[振的二自由度擺角動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)線性簡(jiǎn)化從模型中找出了影響擺角大小的主要因素.董明曉等［4］基于非慣性參考系中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程，建立塔式起重機(jī)同時(shí)進(jìn)行變幅、回轉(zhuǎn)、起升運(yùn)動(dòng)的情況下載荷擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程.王幫峰等［5］采用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方法建立吊重?cái)[振的動(dòng)力學(xué)模型并提出了最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論的控制方案，但所研究起重機(jī)模型僅包含主臂.

本文以某1 200t全地面起重機(jī)塔臂工況為研究對(duì)象，基于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)理論，將全地面起重機(jī)塔臂工況時(shí)的結(jié)構(gòu)等效成5個(gè)桿件串聯(lián)的開(kāi)鏈機(jī)械手形式，建立吊重?cái)[振的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)全地面起重機(jī)塔臂工況回轉(zhuǎn)過(guò)程吊重?cái)[振動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究，分析了影響吊重偏擺角大小的因素.

1 吊重?cái)[振動(dòng)力學(xué)方程

1.1 吊重?cái)[振動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)全地面起重機(jī)塔臂工況的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（見(jiàn)圖1）和機(jī)器人相關(guān)理論，當(dāng)只考慮起重機(jī)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可將全地面起重機(jī)等效為具有5個(gè)桿件的串聯(lián)開(kāi)鏈機(jī)器人系統(tǒng).如圖2所示，全地面起重機(jī)塔臂工況的機(jī)器人模型，機(jī)座0為起重機(jī)底盤(pán)支撐結(jié)構(gòu)，桿件1為轉(zhuǎn)臺(tái)，關(guān)節(jié)變量θ1為轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角度，桿件2為主臂，桿件3為塔臂，關(guān)節(jié)變量θ2，θ3分別為主臂變幅角和塔臂變幅角，桿件5為吊繩和吊重，ri（i＝1，2，3，4，5）為各桿件質(zhì)心到桿件坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離.引入長(zhǎng)度和質(zhì)量均為零的虛擬桿件4，利用與之相關(guān)的關(guān)節(jié)變量θ4，θ5及吊繩的長(zhǎng)度來(lái)描述吊重相對(duì)于吊點(diǎn)的空間擺振位置.在本文研究中，視各桿為剛性，忽略吊繩的質(zhì)量及吊重尺寸對(duì)起重機(jī)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，忽略系統(tǒng)阻尼和風(fēng)載的影響，吊繩的剛度足夠大，不考慮其彈性變形.

圖1 全地面起重機(jī)塔式副臂工況結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Tower jib operation of all terrain crane

圖2 全地面起重機(jī)塔臂工況的機(jī)器人模型Fig.2 Robotic modeling of all terrain crane with tower jib

采用Denavit－Hartenberg方法確定齊次坐標(biāo)變換矩陣A，表示相鄰兩桿件相對(duì)位置和方向的關(guān)系［6］.采用下關(guān)節(jié)的坐標(biāo)建立方法建立桿件坐標(biāo)見(jiàn)圖2，則各關(guān)節(jié)處對(duì)應(yīng)的矩陣為

式中：ai－1為桿件的長(zhǎng)度，i＝1，2，3，4，5；αi－1為桿件的扭角.

由于D－H方法對(duì)關(guān)節(jié)變量的規(guī)定，使得用θ4描述吊重在變幅平面內(nèi)的擺振（徑向擺振）并不直觀，所以采用圖2中徑向擺角φ代之，即吊繩在變幅平面上的投影與鉛垂線的夾角，由幾何關(guān)系可得

同時(shí)，由于在回轉(zhuǎn)過(guò)程中徑向擺角φ一般較小，可近似地將θ5視為吊重的切向擺角β，即吊繩與變幅平面的夾角.矩陣Ai中參數(shù)的取值見(jiàn)表1，其中e為回轉(zhuǎn)軸線到臂架與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸點(diǎn)的距離，lzb為主臂長(zhǎng)度，ltb為塔臂長(zhǎng)度.

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

利用牛頓－歐拉方法推導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組［6］.將轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速作為系統(tǒng)輸入，視為已知.同時(shí)由于機(jī)座為不動(dòng)桿件，所以將系統(tǒng)參數(shù)

表1 矩陣A參數(shù)Tab.1 Parameters of Amatrix

代入牛頓－歐拉正向遞交推公式：

式中：符號(hào)上方的波浪線表示該量是在其后下標(biāo)所表示坐標(biāo)系中度量的分別為｛i｝系相對(duì)于｛i－1｝的角速度和角加速度矢量的逆矩陣為｛i＋1｝系向｛i｝系變換的Ai的旋轉(zhuǎn)子矩陣分別為｛i｝系原點(diǎn)Oi的線速度和線加速度矢量為第i＋1號(hào)桿件的執(zhí)行器在i＋1號(hào)關(guān)節(jié)處提供的角速度和角加速度；為指定｛i＋1｝系z(mì)軸方向的單位矢量，為在｛i｝系中描述的｛i＋1｝系原點(diǎn)的位置矢量為桿件i＋1在（i＋1）系中的線加速度為第i＋1號(hào)桿件的質(zhì)心在｛i＋1｝系中的位置矢量.

并因吊重質(zhì)心處線加速度在桿件5坐標(biāo)系中的y，z軸分量為零，即則可導(dǎo)出全地面起重臂塔臂工況進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的吊重?cái)[振動(dòng)力學(xué)方程組為

式中：l為吊重質(zhì)心到塔臂懸吊點(diǎn)的距離（吊繩長(zhǎng)度）；為主臂長(zhǎng)度，ltb為塔臂長(zhǎng)度；γ＝θ2－asin（ltbsin（θ3－π）／lboom）.

2 吊重?cái)[振特性研究

回轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的切向慣性力和徑向離心力會(huì)引起吊重在徑向和切向的擺振，但二者的擺振并非獨(dú)立進(jìn)行，而是相互影響共同作用使吊重在空間產(chǎn)生一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng).這一吊重?cái)[振動(dòng)態(tài)特性可以結(jié)合回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，利用動(dòng)力學(xué)方程（4）進(jìn)行研究.

2.1 徑向和切向擺振研究

選取分析工況參數(shù)為：主臂長(zhǎng)度為lzb＝17.2m，塔臂長(zhǎng)度為ltb＝36m，吊繩長(zhǎng)度為l＝5m，主臂仰角為θ2＝76°，工作幅度為lfd＝36m，額定起重量為65t，最大回轉(zhuǎn)角速度為n＝1.0r·min－1.

如圖3所示，表示在100s回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重在兩個(gè)方向上的擺振情況，0～10s為勻加速啟動(dòng)階段，10s之后為勻速回轉(zhuǎn)階段.從圖中可得：對(duì)于切向擺振，在加速階段，吊重在慣性沖擊載荷的作用下以圖中所示基線為對(duì)稱軸擺振，基線所在位置的擺角為2.20°，與回轉(zhuǎn)慣性力作用下吊重受力平衡時(shí)的切向擺角相等；在勻速回轉(zhuǎn)階段，由于慣性力消失及不考慮系統(tǒng)阻尼，吊重在初始激勵(lì)的作用下以鉛垂線為對(duì)稱軸擺振.對(duì)于徑向擺振，在加速階段，吊重的擺角逐漸增大，并發(fā)生輕微的振動(dòng)；在勻速回轉(zhuǎn)階段，吊重以圖中所示基線為對(duì)稱軸擺振，基線所在位置的擺角為2.31°，與回轉(zhuǎn)離心力作用下吊重受力平衡時(shí)的徑向擺角相等.另外由圖3可得：切向和徑向的擺振均以一定的周期循環(huán)，采用傅立葉變換（FFT）分析得到吊重在兩個(gè)方向上擺振的頻譜圖（見(jiàn)圖4），由圖4可得兩個(gè)方向上的擺振頻率均為0.23Hz，吊繩長(zhǎng)度為5m的簡(jiǎn)單鐘擺其擺振頻率為0.22Hz，二者近似相等.

圖3 100s回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重的擺振Fig.3 Load vibration during 100sof the slewing motion

圖4 吊重?cái)[振頻譜圖Fig.4 Spectrum diagram of theload vibration

如圖5所示，表示在360°回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重在兩個(gè)方向上的擺振情況.從圖5中可得：最大穩(wěn)態(tài)徑向擺振幅度（注：?jiǎn)?dòng)或制動(dòng)時(shí)的擺振稱瞬態(tài)擺振，勻速回轉(zhuǎn)或靜止時(shí)的擺振稱穩(wěn)態(tài)擺振）發(fā)生在穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度接近最小值時(shí)，同樣反之亦然.同時(shí)每回轉(zhuǎn)90°以后，徑向和切向的穩(wěn)態(tài)擺振均發(fā)生較明顯的轉(zhuǎn)換，兩個(gè)方向上的穩(wěn)態(tài)擺振幅度關(guān)于90°的回轉(zhuǎn)距離幾乎是對(duì)稱的.在回轉(zhuǎn)90°后，初始位置時(shí)的徑向變成切向，而初始位置時(shí)的切向變成徑向，這一空間位置及方向的變化和特點(diǎn)，導(dǎo)致了吊重在回轉(zhuǎn)時(shí)表現(xiàn)出如圖5所示的擺振動(dòng)態(tài)特性，而且系統(tǒng)擺振的最原始激勵(lì)主要來(lái)源于回轉(zhuǎn)加速啟動(dòng)時(shí)切向的慣性沖擊載荷，徑向擺振是隨著回轉(zhuǎn)距離的變化由切向擺振傳遞而來(lái).

如圖6所示，表示在不同加速斜坡信號(hào)時(shí)吊重在兩個(gè)方向上的擺振情況.從圖6中可得：對(duì)于切向擺振，在斜坡信號(hào)時(shí)間為11s時(shí)，信號(hào)結(jié)束時(shí)刻吊重所在空間位置的幅度較大，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度較大.在斜坡信號(hào)時(shí)間為9s時(shí)，信號(hào)結(jié)束時(shí)刻吊重所在空間位置的幅度較小，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度較小.對(duì)于徑向擺振，其穩(wěn)態(tài)擺振幅度主要受切向擺振幅度的影響，所以如圖6所示，吊重徑向擺振與切向擺振有著相同的規(guī)律.

圖5 360°回轉(zhuǎn)過(guò)程中吊重的擺振Fig.5 Load vibration during 360°of the slewing motion

圖6 不同加速斜坡信號(hào)時(shí)吊重?cái)[振Fig.6 Load vibration in different speed ramp signals

如圖7所示，表示在不同時(shí)刻制動(dòng)時(shí)吊重在兩個(gè)方向上的擺振情況.從圖7中可得：對(duì)于切向擺振，在12s開(kāi)始制動(dòng)時(shí)，制動(dòng)引起的擺振與啟動(dòng)引起的擺振協(xié)調(diào)一致，增強(qiáng)了由啟動(dòng)引起的切向擺振，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度要比瞬態(tài)時(shí)的大.在13s開(kāi)始制動(dòng)時(shí)，制動(dòng)引起的擺振與啟動(dòng)引起的擺振不一致，削弱了部分由啟動(dòng)引起的切向擺振，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度要比瞬態(tài)時(shí)的小.同樣如圖7所示，吊重徑向擺振與切向擺振有著相同的規(guī)律.

圖7 不同時(shí)刻制動(dòng)時(shí)吊重?cái)[振Fig.7 Load vibration in different times for braking

2.2 影響偏擺角大小因素研究

影響起重機(jī)回轉(zhuǎn)偏擺角大小的因素很多，主要有：吊繩長(zhǎng)度l、工作幅度lfd、加速斜坡時(shí)間t等，這些因素綜合影響了起重機(jī)的工作效率和安全.本部分將研究這些因素與偏擺角的關(guān)系及其對(duì)偏擺角大小的影響.選取的工況為：主臂長(zhǎng)度為lzb＝17.2m，塔臂長(zhǎng)度為ltb＝36m，主臂仰角為θ2＝76°，最大回轉(zhuǎn)角速度為n＝1.0r·min－1.

如圖8所示，表示在特定的繩長(zhǎng)（l＝10m）和加速斜坡信號(hào)（t＝5s）下，切向最大偏擺角β和徑向最大偏擺角φ隨工作幅度變化曲線.從圖中可得：兩個(gè)方向的偏擺角均隨工作幅度的增加而變大且二者成線性關(guān)系.

圖8 偏擺角隨工作幅度變化規(guī)律Fig.8 Regularity for partial vibration angle with working range changing

如圖9所示，表示在任意一幅度（在此取lfd＝36m）下，分別在l＝6～21m繩長(zhǎng)時(shí)，切向最大偏擺角β隨斜坡時(shí)間變化曲線.從圖可得：隨斜坡時(shí)間增加，切向偏擺角減小且趨于穩(wěn)定.同時(shí)當(dāng)斜坡時(shí)間較短時(shí)，繩長(zhǎng)越短，切向偏擺角越大，當(dāng)斜坡時(shí)間大于一定值時(shí)，繩長(zhǎng)越長(zhǎng)，切向偏擺角越大.如圖10所示，表示在任意一幅度（在此取lfd＝36m）下，分別在t＝1～8s斜坡時(shí)，切向最大偏擺角β隨吊繩長(zhǎng)度變化曲線.從圖可得：當(dāng)斜坡時(shí)間較短時(shí)，繩長(zhǎng)越短，切向偏擺角越大，當(dāng)斜坡時(shí)間大于一定值時(shí)，繩長(zhǎng)越長(zhǎng)，切向偏擺角越大.同時(shí)當(dāng)繩長(zhǎng)超過(guò)一定值后切向偏擺角趨于穩(wěn)定.徑向最大偏擺角φ與切向最大偏擺角β有著相同的變化規(guī)律，在此不再贅述.

圖9 切向偏擺角隨斜坡時(shí)間變化規(guī)律Fig.9 Regularity for partial vibration angle with ramp time changing

圖10 切向偏擺角隨吊繩長(zhǎng)度變化規(guī)律Fig.10 Regularity for partial vibration angle with cable length changing

3 結(jié)論

本文利用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)理論建立吊重?cái)[振的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)全地面起重機(jī)塔臂工況回轉(zhuǎn)吊重?cái)[振動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析研究.通過(guò)研究可知：

（1）吊重在切向和徑向兩個(gè)方向上的穩(wěn)態(tài)擺振隨著回轉(zhuǎn)時(shí)間均以一定的周期循環(huán)，二者擺振頻率相等且與等繩長(zhǎng)簡(jiǎn)單鐘擺的擺振頻率近似相等.同時(shí)，最大穩(wěn)態(tài)徑向擺振幅度發(fā)生在穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度接近最小值時(shí)，反之亦然，而且兩個(gè)方向上的擺振關(guān)于90°的回轉(zhuǎn)距離是對(duì)稱的.

（2）系統(tǒng)擺振最原始激勵(lì)主要來(lái)源于回轉(zhuǎn)加速啟動(dòng)時(shí)切向慣性沖擊載荷，徑向擺振是隨著回轉(zhuǎn)距離的變化由切向擺振傳遞而來(lái).啟動(dòng)加速停止時(shí)刻和制動(dòng)開(kāi)始時(shí)刻對(duì)吊重在切向和徑向兩個(gè)方向上的穩(wěn)態(tài)擺振幅度均有較大影響.

（3）吊重切向最大偏擺角和徑向最大偏擺角會(huì)隨著工作幅度的增加而變大，隨啟動(dòng)加速時(shí)間的增加而變小，吊繩長(zhǎng)度對(duì)偏擺角的影響因斜坡時(shí)間的不同而不同.

［1］賈體鋒，張艷俠.全地面起重機(jī)關(guān)鍵技術(shù)發(fā)展探析［J］.建筑機(jī)械，2011（1－2）：55－61.JIA Tifeng，ZHANG Yanxia.Discuss and analyze the key technique of all－terrain crane［J］.Construction Machinery，2011（1－2）：55－61.

［2］SINGHOSE W，PORTER L，KENINSON M.Effects of hoisting on the input shaping control of gantry crane［J］.Control Engineering Practice，2000，8（10）：1159－1165.

［3］吳曉，鐘斌，張則強(qiáng).小車吊重系統(tǒng)擺振動(dòng)力學(xué)模型及仿真［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2007，24（11）：316－319.WU Xiao，ZHONG Bin，ZHANG Zeqiang.A dynamic model of load sway for trolley load system and its simulation［J］.Computer Simulation，2007，24（11）：316－319.

［4］董明曉，鄭康平，姜紅，等.塔式起重機(jī)載荷擺動(dòng)特性研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2004，23（8）：976－978.DONG Mingxiao，ZHENG Kangping，JIANG Hong，et al.Research on payload oscillation behavior of a tower crane［J］.Mechanical Science and Technology，2004，23（8）：976－978.

［5］王幫峰，張瑞芳，張國(guó)忠.回轉(zhuǎn)起重機(jī)吊重?cái)[振的動(dòng)力學(xué)模型與控制［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2001，12（11）：1214－1217.WANG Bangfeng，ZHANG Ruifang，ZHANG Guozhong.Dynamic model and control of slewing crane load sway［J］.China Mechanical Engineering，2001，12（11）：1214－1217.

［6］王庭樹(shù).機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1990.WANG Tingshu.Robot kinematics and dynamics［M］.Xi’an：Xidian University Press，1990.