平方根、立方根的區(qū)別和聯(lián)系

辛賀華

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)算術(shù)平方根、平方根、立方根的知識(shí)時(shí)往往感覺很容易，但是在解題時(shí)又會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)，現(xiàn)將知識(shí)點(diǎn)歸納如下.

一、區(qū)別

1. 定義不同

平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x就叫a的平方根.

算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0）.

立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做a的立方根.

說明：只有算術(shù)平方根的定義中是“如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a ”，強(qiáng)調(diào)的是“正數(shù)”，即一個(gè)正數(shù)a正的平方根叫做算術(shù)平方根.

2. 表示方法不同

平方根用“±”表示，根指數(shù)2可以省略；算術(shù)平方根用“”表示，根指數(shù)2可以省略；立方根用“”表示，根指數(shù)3不能略去，更不能寫成“±”.

3. 存在的條件不同

a有平方根的條件：a≥0，因?yàn)檎龜?shù)、零、負(fù)數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，故負(fù)數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根.

a有立方根的條件：a為全體實(shí)數(shù)，即正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可.

4. 結(jié)果不同

算術(shù)平方根：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且一定為正數(shù).

平方根：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

立方根：任何一個(gè)數(shù)都有立方根且只有一個(gè)立方根，正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根 .（特例：0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.）

5. 方根等于本身的數(shù)的個(gè)數(shù)不同

若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為本身，則這個(gè)數(shù)為0或1，有兩個(gè)數(shù)；若一個(gè)數(shù)的平方根為本身，則這個(gè)數(shù)為0，只有一個(gè)數(shù)；若一個(gè)數(shù)的立方根為本身，則這個(gè)數(shù)為0、1或-1，有三個(gè)數(shù).

二、聯(lián)系

1. 平方根中包含了算術(shù)平方根，就是說算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)，即一個(gè)正數(shù)的平方根有一正一負(fù)且互為相反數(shù)，其中那個(gè)正數(shù)就是它的算術(shù)平方根. 如：16的平方根為±4，其中4為16的算術(shù)平方根.

2. 求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根的運(yùn)算都是開方運(yùn)算，開方和乘方互為逆運(yùn)算.

3. 所有正數(shù)都有平方根和立方根.

4. 0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.

三、典型例題

例1 的平方根為 .

解析：要知道這個(gè)數(shù)的含義，它表示16的算術(shù)平方根，因?yàn)?2=16，所以16的算術(shù)平方根為4，即=4. 該題就變?yōu)椋?求4的平方根.因?yàn)椋ā?）2=4，故的平方根為±2.

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).正數(shù)a的平方根，表示為±，正數(shù)a 的算術(shù)平方根為.

例2 n為自然數(shù)，則= .

解析：因?yàn)閚為自然數(shù)，2n為偶數(shù)， -1的偶數(shù)次冪為1，即（-1）2n=1，所以==1.

例3 已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3x-2和5x+6，則這個(gè)數(shù)是 .

解析：因?yàn)檎龜?shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以（3x-2）+（5x+6）=0，解得x=-.代入3x-2和5x+6，得3x-2=-，5x+6=.由（±）2=，得這個(gè)數(shù)是 .

例4 若x2=（-3）2，y3=（-2）3，求x+y所有可能的值.

解析：不要被已知條件所迷惑，因?yàn)椋?3）2=9，即已知條件為x2=9，顯然x為9的平方根，由（±3）2=9，得x=±3.

由（-2）3=-8，即已知條件為y3=-8，顯然y為-8的立方根， y=-2.

故x+y可能為：①x+y=3+（-2）=1；

②x+y=-3+（-2）=-5.

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根且只有一個(gè)立方根；正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根. （注：0的平方根和立方根都是0.）

練習(xí)：

1. 下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）.

A.是5的平方根

B.-16是256 的平方根

C.-15是（-15）2的算術(shù)平方根

D.±是的平方根

2. 下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）.

A.負(fù)數(shù)沒有立方根

B.1的立方根是1

C. 的平方根是±

D.立方根等于它本身的數(shù)有3個(gè)

3. 已知2x+1的平方根是±5，求5x+4的立方根.

4.如果A=為a+3b的算術(shù)平方根，B=為1-a2的立方根，求A+B的平方根.

參考答案：1.C；2.A；3.4；4.±1.