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      平方根、立方根的區(qū)別和聯(lián)系

      2013-06-20 10:24:34辛賀華
      關(guān)鍵詞:立方根平方根算術(shù)

      辛賀華

      同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)算術(shù)平方根、平方根、立方根的知識(shí)時(shí)往往感覺很容易,但是在解題時(shí)又會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí),現(xiàn)將知識(shí)點(diǎn)歸納如下.

      一、區(qū)別

      1. 定義不同

      平方根:如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a,那么x就叫a的平方根.

      算術(shù)平方根:如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0).

      立方根:如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

      說明:只有算術(shù)平方根的定義中是“如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a ”,強(qiáng)調(diào)的是“正數(shù)”,即一個(gè)正數(shù)a正的平方根叫做算術(shù)平方根.

      2. 表示方法不同

      平方根用“±”表示,根指數(shù)2可以省略;算術(shù)平方根用“”表示,根指數(shù)2可以省略;立方根用“”表示,根指數(shù)3不能略去,更不能寫成“±”.

      3. 存在的條件不同

      a有平方根的條件:a≥0,因?yàn)檎龜?shù)、零、負(fù)數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù),故負(fù)數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根.

      a有立方根的條件:a為全體實(shí)數(shù),即正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可.

      4. 結(jié)果不同

      算術(shù)平方根:一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且一定為正數(shù).

      平方根:一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).

      立方根:任何一個(gè)數(shù)都有立方根且只有一個(gè)立方根,正數(shù)有一個(gè)正的立方根,負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根 .(特例:0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.)

      5. 方根等于本身的數(shù)的個(gè)數(shù)不同

      若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為本身,則這個(gè)數(shù)為0或1,有兩個(gè)數(shù);若一個(gè)數(shù)的平方根為本身,則這個(gè)數(shù)為0,只有一個(gè)數(shù);若一個(gè)數(shù)的立方根為本身,則這個(gè)數(shù)為0、1或-1,有三個(gè)數(shù).

      二、聯(lián)系

      1. 平方根中包含了算術(shù)平方根,就是說算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè),即一個(gè)正數(shù)的平方根有一正一負(fù)且互為相反數(shù),其中那個(gè)正數(shù)就是它的算術(shù)平方根. 如:16的平方根為±4,其中4為16的算術(shù)平方根.

      2. 求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根的運(yùn)算都是開方運(yùn)算,開方和乘方互為逆運(yùn)算.

      3. 所有正數(shù)都有平方根和立方根.

      4. 0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0.

      三、典型例題

      例1 的平方根為 .

      解析:要知道這個(gè)數(shù)的含義,它表示16的算術(shù)平方根,因?yàn)?2=16,所以16的算術(shù)平方根為4,即=4. 該題就變?yōu)椋?求4的平方根.因?yàn)椋ā?)2=4,故的平方根為±2.

      點(diǎn)評(píng):一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè),一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).正數(shù)a的平方根,表示為±,正數(shù)a 的算術(shù)平方根為.

      例2 n為自然數(shù),則= .

      解析:因?yàn)閚為自然數(shù),2n為偶數(shù), -1的偶數(shù)次冪為1,即(-1)2n=1,所以==1.

      例3 已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3x-2和5x+6,則這個(gè)數(shù)是 .

      解析:因?yàn)檎龜?shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),所以(3x-2)+(5x+6)=0,解得x=-.代入3x-2和5x+6,得3x-2=-,5x+6=.由(±)2=,得這個(gè)數(shù)是 .

      例4 若x2=(-3)2,y3=(-2)3,求x+y所有可能的值.

      解析:不要被已知條件所迷惑,因?yàn)椋?3)2=9,即已知條件為x2=9,顯然x為9的平方根,由(±3)2=9,得x=±3.

      由(-2)3=-8,即已知條件為y3=-8,顯然y為-8的立方根, y=-2.

      故x+y可能為:①x+y=3+(-2)=1;

      ②x+y=-3+(-2)=-5.

      點(diǎn)評(píng):一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù);任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根且只有一個(gè)立方根;正數(shù)有一個(gè)正的立方根,負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根. (注:0的平方根和立方根都是0.)

      練習(xí):

      1. 下列說法中錯(cuò)誤的是( ).

      A.是5的平方根

      B.-16是256 的平方根

      C.-15是(-15)2的算術(shù)平方根

      D.±是的平方根

      2. 下列說法中錯(cuò)誤的是( ).

      A.負(fù)數(shù)沒有立方根

      B.1的立方根是1

      C. 的平方根是±

      D.立方根等于它本身的數(shù)有3個(gè)

      3. 已知2x+1的平方根是±5,求5x+4的立方根.

      4.如果A=為a+3b的算術(shù)平方根,B=為1-a2的立方根,求A+B的平方根.

      參考答案:1.C;2.A;3.4;4.±1.

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