聚焦與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題

趙國瑞

綜觀近年的中考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)以反比例函數(shù)為載體的面積問題越來越受到中考命題者的青睞.這類試題大致有兩種類型：（1）已知反比例函數(shù)的圖象，求有關(guān)圖形的面積；（2）已知反比例函數(shù)的圖象及有關(guān)圖形的面積，求反比例函數(shù)的比例系數(shù).解答此類問題大致有以下三種思路.

一、利用k的幾何意義

如圖1，若點P（x0，y0）是反比例函數(shù)y=上的任意一點，則有x0·y0=k，即x0與y0的積必是一個定值.過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點M、點N，則PM=ON=y0，PN=OM=x0，于是S矩形OMPN=x0·y0=k.而S△OPN=S△OPM=x0·y0=k.

這就是說，過雙曲線上任意一點作x軸和y軸的垂線，兩垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積等于k，或以該點與垂足、坐標原點為頂點的直角三角形的面積等于k，這是比例系數(shù)k的幾何意義.

圖1

例1 （2012年遼寧丹東）如圖2，點A是雙曲線y=在第二象限分支上的任意一點，點B、點C、點D分別是點A關(guān)于x軸、坐標原點、y軸的對稱點.若四邊形ABCD的面積是8，則k的值為（ ）.

圖2

A.-1 B.1 C.2 D.-2

解析：四邊形ABCD被兩條坐標軸分成四個小矩形，由對稱性知每個小矩形的面積相等，都等于2.由k的幾何意義知k=2.由雙曲線y=的一支位于第二象限知k<0，從而k=-2. 故選D.

例2 （2012年遼寧鐵嶺）如圖3，點A在雙曲線 y=上，點B在雙曲線y=（k≠0）上，AB∥x軸，分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為D、C.若矩形ABCD的面積是8，則k的值為（ ）.

圖3

A.12 B.10 C.8 D.6

解析：反向延長AB交y軸于點E，則四邊形ADOE與BCOE都是矩形.由k的幾何意義，得S矩形BCOE=k，S矩形ADOE=4.

于是S矩形BCOE=S矩形ADOE+S矩形ABCD=4+8=12，即k=12.由雙曲線的一支位于第一象限知k>0，從而k=12.故選A.

例3 （2012年湖北荊門）如圖4，點A是反比例函數(shù) y=（x>0）的圖象上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=-的圖象于點B，以AB為邊作？荀ABCD，其中C、D在x軸上，則S？荀ABCD為（ ）.

圖4

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為E、F，則四邊形ABFE、四邊形AEOP和四邊形BFOP 都為矩形.

設(shè)AB交y軸于點P，則S？荀ABCD=S矩形ABFE=AB·OP.而S矩形ABFE=S矩形AEOP+S矩形BFOP.由k的幾何意義得S矩形AEOP=2，S矩形BFOP=3，于是S？荀 ABCD=S矩形ABFE=2+3=5.故選D.

二、利用反比例函數(shù)的對稱性

反比例函數(shù)圖象的兩個分支關(guān)于坐標原點對稱，這是反比例函數(shù)的一個重要性質(zhì). 在解答一類求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相結(jié)合的圖形面積的問題時，靈活運用反比例函數(shù)圖象的對稱性非常有效.

例4 （2012年山東威海）下列選項中，陰影部分面積最小的是（ ）.

A B

C D

解析：對于選項A，陰影部分由兩個小三角形組成，由k的幾何意義知每個小三角形的面積都等于×2=1，故S陰影=2.

對于選項B，陰影部分由兩個小三角形組成，由反比例函數(shù)圖象的對稱性知兩個小三角形的面積相等.由k的幾何意義知每個小三角形的面積都等于×2=1，因此S陰影=2.選項D亦是如此.

因此選項A、B和D中陰影部分的面積都相等，選項C中陰影部分的面積必然最小.故選C.

說明：上面的解法沒有算出選項C中陰影部分的面積，而是根據(jù)選項A、B和D中陰影部分的面積都相等，說明選項A、B和D中陰影部分的面積都不是最小的，從而排除選項A、B和D，剩下的選項C必然是陰影部分面積最小的.

三、直接計算

計算有些圖形的面積，既不便利用k的幾何意義，也不便利用反比例函數(shù)圖象的對稱性，此時可以用反比例函數(shù)圖象某點的坐標（橫坐標或縱坐標）表示出有關(guān)圖形的邊長和高，順利求出圖形的面積.

例5 （2012年湖南株洲）如圖5，直線x=t（t>0）與反比例函數(shù)y=，y=-的圖象分別交于B、C兩點，若A為y軸上的任意一點，則△ABC的面積為（ ）.

圖5

A.3 B.t C. D.不能確定

解析：由題意，得B（t，），C（t，-），所以BC=| -（-）|=，所以S△ABC=BC·t= ··t= .故選C.

例6 （2012年山東德州）如圖6，兩個反比例函數(shù)y=和y=-的圖象分別是l1和l2.設(shè)點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為（ ）.

圖6

A.3 B.4 C. D.5

解析：設(shè)點P的橫坐標為a，則P（a，），A（a，-）.再設(shè)點B的橫坐標為x，由于點B與點P的縱坐標相等，都為，所以=-，即x=-2a.所以BP=a-（-2a）=3a，AP=-（-）= .所以S△PAB=BP·AP=·3a· =.故選C.