探規(guī)律求坐標

高峰

規(guī)律探究型題是中考試題中的常見題型，此類題型不僅能培養(yǎng)同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力，也有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力.解決這類問題時，同學(xué)們可以采用列舉法，在觀察的同時用筆在稿紙上列舉幾例，一般列出3到4個例子后，規(guī)律就會呈現(xiàn)出來.下面筆者就采用列舉法解決坐標系中的規(guī)律探究題，供同學(xué)們參考.

一、點的運動規(guī)律

例1 一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點跳動到（0，1），然后接著按圖1中箭頭所示方向跳動，即（0，0）→（0，1） →（1，1） →（1，0）→…，且每秒跳動一個單位，那么第35秒時跳蚤所在位置的坐標是（ ）.

圖1

A.（4，0） B.（5，0）

C.（0，5） D.（5，5）

解析：解答本題需要探索跳蚤跳動的路程和跳動的方向存在怎樣的規(guī)律.把原點看作y軸上的點.

從y軸上的（0，0）到x軸上（1，0）處跳過的路程為2×1+1；

從x軸上的（1，0）到y(tǒng)軸上（0，2）處跳過的路程為2×2+1；

從y軸上的（0，2）到x軸上（3，0）處跳過的路程為2×3+1；

……

因為跳蚤每秒跳一個單位，且35=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）+（2×4+1）+（2×5+1），所以第35秒時，跳蚤是從y軸上的（0，4）到x軸上（5，0）.故選B.

也可考慮跳蚤從原點出發(fā)跳到正方形在第一象限內(nèi)的頂點（m，m）處時跳過的路程：

跳到（1，1）處時跳過的路程為2=1×2；

跳到（2，2）處時跳過的路程為6=2×3；

跳到（3，3）處時跳過的路程為12=3×4；

……

由此可猜想：跳蚤從原點跳到（m，m）處時跳過的路程為m（m+1）.

我們再來看跳蚤跳到正方形在第一象限內(nèi)的頂點（m，m）處后的跳動的方向，由圖可知：

當m為奇數(shù)時，跳蚤豎直向下向x軸跳動；當m為偶數(shù)時，跳蚤水平向左向y軸跳動.

因為30=5×6，所以跳蚤從原點出發(fā)跳到（5，5）處時跳過的路程30. 因為m=5為奇數(shù)，所以跳蚤跳到（5，5）處時，還需豎直向下向x軸跳動，因為跳蚤1秒跳一個單位，所以第35秒跳過的路程是35個單位，因此跳蚤還需豎直向下跳5個單位，顯然此時跳蚤跳到x軸上的點（5，0）處. 故選B.

二、圖形的運動規(guī)律

例2 如圖2，將邊長為1的正三角形OAP沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2013次，點P依次落在點P1，P2，P3，…，P2013的位置，則點P2013的橫坐標為 .

圖2

解析：觀察圖2整理如下：

P1、P2的橫坐標為1，P3的橫坐標為2.5，P4、P5的橫坐標為4，P6的橫坐標為5.5，依此類推，P7、P8的橫坐標為7，P9的橫坐標為8.5，P10、P11的橫坐標為10，….

從P1開始，每轉(zhuǎn)3次為一組，每組前兩次的橫坐標相等且等于每一組首次的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，而第三次數(shù)的橫坐標是它的次數(shù)減去0.5.因為2013÷3=3×671，故翻轉(zhuǎn)到第2013次時，2013是第671組的末位，所以P2013的橫坐標為2011+1.5=2012.5.

三、覆蓋規(guī)律

例3 （2012年北京）在平面直角坐標系xOy中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點A（0，4），點B 是x軸正半軸上的整點，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為m.當m=3時，點B的橫坐標的所有可能值是 ；當點B的橫坐標為4n（n為正整數(shù)）時，m = （用含n的代數(shù)式表示）.

圖3

解析：當B點的橫坐標為3或者4時，如圖4所示，只有3個整點.

圖4

圖5

圖6

當n=1時，即B點的橫坐標為4，如圖4，此時有3個整點；當n=2時，即B點的橫坐標為8，如圖5，此時有9個整點；當n=3時，即B點的橫坐標為12，如圖6，此時有15個整點.根據(jù)上面的規(guī)律，即可得出m=6n-3.故填3或4，6n-3.

練習(xí)：

1.在直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.且規(guī)定，正方形內(nèi)部的整點不包含邊界上的點.觀察如圖7所示的中心在原點的正方形：邊長為1的正方形內(nèi)部有1個整點，邊長為2的正方形內(nèi)部有1個整點.邊長為3的正方形內(nèi)部有9個整點……則邊長為8的正方形內(nèi)部的整點的個數(shù)為（ ）.

圖7

A.64 B.49 C.36 D.25

2. 如圖8，將邊長為1的正方形OAPB沿 x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2006次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，則P2006的橫坐標x2006= .

圖8

3. 如圖9，在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點.觀察圖中每一個正方形四條邊上的整點的個數(shù)，請你猜測由里向外第20個正方形四條邊上的整點的個數(shù)共有 個.

圖9

4. 如圖10，已知Al（1，0）、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、 A5（2，-1）、….則點A2007的坐標為 .

圖10

5.在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位.其行走路線如圖11所示.

圖11

（1）填寫下列各點的坐標：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）；

（2）寫出點A4n的坐標（n是正整數(shù)）；

（3）指出螞蟻從點A100到點A101的移動方向.

參考答案：

1.通過畫圖觀察可知邊長為4的正方形內(nèi)部也有9（9=32）個整點，而邊長為5的正方形內(nèi)部有25個整點，邊長為6的正方形內(nèi)部也有25（25=52）個整點，所以邊長為7和8的正方形內(nèi)部的整點的個數(shù)為49（49=72），故選B.

2. 觀察圖形整理如下：

P1的橫坐標為1，P2的橫坐標為2，P3的橫坐標為2，P6的橫坐標為6， 6=2+4×1.

P10的橫坐標為10，10=2+4×2.

P14的橫坐標為14，14=2+4×3.

……

從第3次旋轉(zhuǎn)開始，每轉(zhuǎn)4次，其橫坐標等于其旋轉(zhuǎn)次數(shù).

∵2006-2=2004是4的倍數(shù)，故翻轉(zhuǎn)第2006次時，P2006的橫坐標為2006.

3.主要觀察邊上整數(shù)點的個數(shù)的規(guī)律即可.

列舉整理如下：

第1個正方形：有4個整點， 4=4×1；

第2個正方形：有8個整點，8=4×2；

第3個正方形：有12個整點，12=4×3；

……

第n個正方形：有4n個整點，

∴第20個正方形四條邊上的整點個數(shù)為4 ×20=80個.

4. 因為要求的是點A2007的坐標，即A的下標是奇數(shù)的點的坐標. 觀察圖形，可從A3開始探尋規(guī)律. 又因為有四個象限，所以考慮4個一組進行探究.

A3（-1，1） ，A7（-2，2），觀察坐標系可知：A11（-3，3），A15（-4，4），其橫、縱坐標互為相反數(shù).

把A3、A7、A11、A15右下角的數(shù)字提出來，可整理為：

3=3+4×0； A3（-1，1）

7=3+4×1； A7（-2，2）

11=3+4×2； A11（-3，3）

15=3+4×3； A15（-4，4）

…… ……

因為2007=3+4×501， 所以 A2007（-502，502），所以A2007的坐標為（-502，502）.

5.（1）解答本小題是為了探尋規(guī)律，結(jié)合圖形就容易得到：A4（2，0）； A8（4，0）； A12（6，0）；

（2）第（1）小題的4個點的下標就是4n，而觀察它們的坐標可以發(fā)現(xiàn)，它們的橫坐標是2n，縱坐標為0，所以猜想A4n（2n，0）；

（3）觀察圖形，可知螞蟻走的方向是按A1、A2、A3、A4，4次一循環(huán)，因為100=4×25，A100與點A4的移動方向一致，所以螞蟻從點A100到點A101的移動方向是向上.