四個(gè)坐標(biāo)系下羽毛球飛行運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與仿真

張晶華 汪仁煌 岳洪偉

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院）

四個(gè)坐標(biāo)系下羽毛球飛行運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與仿真

張晶華 汪仁煌 岳洪偉

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院）

為使羽毛球飛行的軌跡仿真結(jié)果更加真實(shí)可靠，構(gòu)造基于實(shí)際環(huán)境的羽毛球空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程。本文以國產(chǎn)某型號羽毛球制造參數(shù)為背景，建立羽毛球球場、羽毛球飛行、羽毛球速度和羽毛球球體4個(gè)坐標(biāo)系，并利用牛頓第二定律等方法直接推導(dǎo)出羽毛球飛行軌跡在這些坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程。所建立方程不但考慮了空氣阻力、羽毛球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和羽毛球本身參數(shù)的影響，還考慮了羽毛球固有旋轉(zhuǎn)特性產(chǎn)生的馬格努斯力對其飛行軌跡的影響。仿真結(jié)果表明，在四個(gè)坐標(biāo)系下建立的羽毛球運(yùn)動(dòng)方程能夠直觀反映出其相關(guān)參數(shù)對飛行軌跡的影響。

仿真；四個(gè)坐標(biāo)系；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；力矩；馬格努斯力

0 引言

隨著我國社會經(jīng)濟(jì)、文化以及體育事業(yè)的發(fā)展，越來越多的人開始關(guān)注體育鍛煉。羽毛球運(yùn)動(dòng)由于場地不受限制，運(yùn)動(dòng)量適合各年齡層次的人，因而深受群眾的喜愛。了解羽毛球的特性，掌握羽毛球的飛行軌跡有益于控制球，打出漂亮的球，使得羽毛球運(yùn)動(dòng)更具挑戰(zhàn)性和欣賞性。目前國內(nèi)外對羽毛球的研究并不多，主要研究天然羽毛球和塑料羽毛球之間區(qū)別的有：文獻(xiàn)[1]通過實(shí)驗(yàn)測試天然羽毛球和人工塑料羽毛球之間的區(qū)別，并用實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比了不同速度下天然羽毛球的空氣阻力系數(shù)和人工塑料羽毛球空氣阻力系數(shù)大小關(guān)系；文獻(xiàn)[2]利用實(shí)驗(yàn)研究羽毛球的雷諾系數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)對比了不同速度和條件下羽毛球雷諾系數(shù)與空氣阻力系數(shù)。關(guān)于羽毛球質(zhì)量檢測的研究有：文獻(xiàn)[3]利用計(jì)算機(jī)技術(shù)并通過圖像處理來檢測羽毛球球口是否為圓形的方法，為羽毛球質(zhì)量檢測提出新的途徑；文獻(xiàn)[4]利用粒子圖像測速技術(shù)來檢測羽毛球旋轉(zhuǎn)是否穩(wěn)定和左右搖擺，并通過實(shí)驗(yàn)給出了一些參數(shù)依據(jù)，為判斷羽毛球質(zhì)量好壞提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于羽毛球飛行軌跡的研究，目前查到的有文獻(xiàn)[5]，在二維平面下，給出了羽毛球在重力和空氣阻力作用下的簡單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，并對比了不同速度下天然羽毛球和人工合成羽毛球的飛行軌跡。林傳潮[6]敘述了羽毛球在空氣飛行中受到的所有阻力以及阻力產(chǎn)生的原因，并通過動(dòng)量定理給出了羽毛球飛行軌跡，為羽毛球運(yùn)動(dòng)員對羽毛球認(rèn)識從感性上升到理性提供一定的依據(jù)。上述有關(guān)羽毛球研究的文獻(xiàn)只是研究天然羽毛球和塑料羽毛球的區(qū)別，或簡單地把羽毛球當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來討論，并沒有對羽毛球的相關(guān)參數(shù)（如羽毛的馬格努斯力），以及羽毛球的固有特性（如旋轉(zhuǎn)等方面的羽毛球飛行軌跡）進(jìn)行研究。本文對羽毛球飛行實(shí)際空間狀況、自身組成要素以及自身旋轉(zhuǎn)特性等進(jìn)行分析和研究，并根據(jù)成品羽毛球的實(shí)測結(jié)果、歸納總結(jié)，推導(dǎo)出反映羽毛球?qū)嶋H飛行軌跡的參數(shù)方程。

1 羽毛球的馬格努斯力產(chǎn)生的原因

羽毛球飛行軌跡除了受空氣阻力和本身重力影響外，還受到羽毛球本身固有特性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響。由羽毛球的結(jié)構(gòu)特性可知：16根羽毛片按照類似“葉輪”模型組裝，羽毛片安裝具有一定的攻角，羽毛片在羽毛球的旋轉(zhuǎn)半徑的平面內(nèi)擁有一定的安裝角度。因此羽毛球在空氣中飛行時(shí)，空氣流對羽毛球做相對運(yùn)動(dòng)，空氣流以一定的攻角吹向羽毛球，會在羽毛片上產(chǎn)生摩擦力；又因?yàn)橛鹈哂幸欢ǖ陌惭b角，空氣流作用在羽毛片上的摩擦力會在羽毛片切向方向分解一個(gè)力，使得羽毛片繞著羽毛球旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。羽毛球在空中飛行既做平移運(yùn)動(dòng)又具有旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

根據(jù)馬格努斯效應(yīng)知識，羽毛球在空中飛行時(shí)受到與速度方向正交的側(cè)力作用，在此力作用下，羽毛球會偏離原來的軌道，形成一定的弧線軌跡。

根據(jù)流體力學(xué)知識，羽毛球在飛行過程中，若羽毛球沒有旋轉(zhuǎn)，空氣流只對羽毛球產(chǎn)生阻力作用，減慢羽毛球的飛行速度；若羽毛球具有旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)和空氣粘性作用下，羽毛球周圍附面層內(nèi)會產(chǎn)生環(huán)流。在前方回流和環(huán)流共同作用下，若空氣來流與環(huán)流同側(cè)，則空氣流加速；反之，則減速。

根據(jù)伯努利知識，速度快的一側(cè)，壓力下降，速度慢的一側(cè)，壓力上升，兩側(cè)的壓力差對羽毛球側(cè)向產(chǎn)生馬格努斯力。

馬格努斯力的方向滿足右手法則，即拇指指向羽毛球旋轉(zhuǎn)軸（旋轉(zhuǎn)軸方向用右手螺旋法則判斷），食指指向羽毛球飛行方向，中指垂直手面，則中指的方向就是馬格努斯力的方向。馬格努斯力的方向始終和羽毛球飛行速度的方向垂直，因此羽毛球馬格努斯力只會改變羽毛球速度的方向并不會改變速度大小，此外由于馬格努斯力的方向與羽毛球飛行速度方向垂直，導(dǎo)致羽毛球飛行過程中有一個(gè)向心力的作用，可能使羽毛球飛行軌跡發(fā)生改變。

羽毛球在飛行過程中，受空氣流作用使羽毛球產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，根據(jù)以上分析，假設(shè)羽毛球上任意部位的旋轉(zhuǎn)角速度是一樣的，利用儒可夫斯基環(huán)流理論，類似文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)過程，得到空氣流作用在羽毛球上的馬格努斯力為：其中，ρ為空氣密度；v為羽毛球飛行速度；w為羽毛球的旋轉(zhuǎn)角速度；h為羽毛球的體積；負(fù)號代表w的旋轉(zhuǎn)方向，若羽毛球旋轉(zhuǎn)角速度為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則其符合取負(fù)，則此時(shí)馬格努斯力為正，反之，馬格努斯力為負(fù)。

2 羽毛球運(yùn)動(dòng)模型

羽毛球在空中飛行的環(huán)境既是空間變化的，也是時(shí)間變化的，同時(shí)羽毛球飛行過程還受本身振動(dòng)和結(jié)構(gòu)干擾，因此羽毛球飛行過程是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性時(shí)變模型。為更加直觀表達(dá)和描述羽毛球飛行動(dòng)力學(xué)及其飛行軌跡，借鑒文獻(xiàn)[15]，建立羽毛球在空間飛行時(shí)與自身特性和飛行環(huán)境有關(guān)的坐標(biāo)系，即：羽毛球球場坐標(biāo)系、羽毛球飛行坐標(biāo)系、羽毛球速度坐標(biāo)系和羽毛球球體坐標(biāo)系，這些坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣為：

1) 羽毛球球場坐標(biāo)系到羽毛球球體坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣

2) 羽毛球球場坐標(biāo)系與羽毛球飛行坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣

其中θ、φ為旋轉(zhuǎn)角度。

3) 羽毛球速度坐標(biāo)系與羽毛球球體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣

其中γ、φ為旋轉(zhuǎn)變換角度。

4) 羽毛球速度坐標(biāo)系與羽毛球飛行坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣

其中?為旋轉(zhuǎn)變換角度。

3 羽毛球飛行運(yùn)動(dòng)方程組

假設(shè)羽毛球飛行過程中，空氣作用在羽毛球上的力使羽毛球穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)而沒有產(chǎn)生偏擺，也沒有側(cè)面空氣來流影響。下面將建立空氣作用在羽毛球上的阻力、馬格努斯力對其產(chǎn)生的力矩以及坐標(biāo)變換角度關(guān)系的羽毛球運(yùn)動(dòng)方程組。

3.1 動(dòng)力學(xué)方程

前面已經(jīng)建立了羽毛球飛行過程中的所有坐標(biāo)系，羽毛球的空間運(yùn)動(dòng)可以看成是六自由度運(yùn)動(dòng)。為便于研究，把羽毛球的矢量方程投影到坐標(biāo)系。

3.1.1 羽毛球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

1) 在羽毛球飛行坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，V為羽毛球的速度矢量；dV/dt為加速度在羽毛球飛行坐標(biāo)系ox1軸上的分量；Vdθ/dt為加速度在羽毛球飛行坐標(biāo)系oy1軸上的分量；為加速度在羽毛球飛行坐標(biāo)系oz1軸上的分量；為作用在羽毛球上的力在羽毛球飛行坐標(biāo)系中各個(gè)軸的分力，其由3部分組成：

① 空氣作用在羽毛球上的阻力，可以在羽毛球速度坐標(biāo)系中分解，然后根據(jù)式(4)，得到空氣作用在羽毛球上的阻力在羽毛球飛行坐標(biāo)系中的各軸的分力為：

其中，Ki( i=x1, y1, z1)為在羽毛球飛行坐標(biāo)系中各個(gè)軸力的分量；Zj(j=x3, y3, z3)為空氣阻力在羽毛球速度坐標(biāo)系中的分力。

② 羽毛球重力和浮力與羽毛球球場坐標(biāo)系By軸平行，根據(jù)式(3)，可得其在羽毛球飛行坐標(biāo)系中的分力為：

羽毛球的體積約為19立方厘米，其產(chǎn)生的浮力為F=1.86× 10-4(N)，而羽毛球的重力為

浮G=mg=5.488× 10-2(N)，即羽毛球的浮力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于羽毛球的重力，因此可以忽略羽毛球浮力對其飛行軌跡的影響。

③ 根據(jù)前面的分析，羽毛球產(chǎn)生的馬格努斯力與羽毛球球體坐標(biāo)系中oy3軸重合，根據(jù)式(3)、式(4)，可得馬格努斯力在羽毛球飛行坐標(biāo)系中的分力為：

把上式(6)、式(7)、式(8)代入式(5)，從而得到羽毛球的質(zhì)心動(dòng)力方程為：

3.1.2 繞羽毛球質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程

繞羽毛球質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程通常是在羽毛球球體坐標(biāo)系上建立，根據(jù)理論力學(xué)剛體對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：剛體對質(zhì)心動(dòng)量矩的變化率等于所有作用在剛體上外力對質(zhì)心的矩的主向量為：

其中，M為空氣流對羽毛球的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩；dH/dt、δH/δt 分別為動(dòng)量矩的絕對、相對導(dǎo)數(shù)；H為剛體對質(zhì)心的動(dòng)量矩，H=J·ω，其中ω為羽毛球旋轉(zhuǎn)角速度；J為張量（張量與矢量的點(diǎn)積還是矢量），J為慣性矩陣。

3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

在羽毛球球場坐標(biāo)系中，羽毛球速度分量為

根據(jù)羽毛球飛行坐標(biāo)系的定義可知，速度矢量V與ox1軸重合，利用轉(zhuǎn)換矩陣可得：

另外，羽毛球在羽毛球球托坐標(biāo)系繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

由此，式(9)、(10)、(11)、(12)和(13)給出了羽毛球的空間運(yùn)動(dòng)方程組，它是一個(gè)非線性常微分方程組。方程組中所有的參數(shù)都跟羽毛球飛行時(shí)間有關(guān)，它們都是飛行時(shí)間的函數(shù)。通過式(9)、(10)、(12)和(13)求解，得到結(jié)果再代入式(12)求解，從而得到羽毛球飛行軌跡。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真

4.1 羽毛球運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)的求解

4.2 仿真結(jié)果

利用Matlab中Simulink工具箱構(gòu)造羽毛球六自由度仿真模型，結(jié)合上述各個(gè)坐標(biāo)系中所建立羽毛球非線性方程，得到羽毛球飛行三維軌跡如圖1所示。

圖1 羽毛球飛行軌跡圖

羽毛球在水平面o-yz的投影軌跡圖如圖2所示。

圖2 羽毛球飛行軌跡在水平面的投影圖

由圖2可知，由于飛行過程中受馬格努斯力的影響，羽毛球不是對角直線飛行到達(dá)落點(diǎn)，而是有一定的彎曲度。

5 結(jié)論

文中參照文獻(xiàn)[15]坐標(biāo)系建立方法，給出了羽毛球在四個(gè)坐標(biāo)系下飛行軌跡參數(shù)方程，所建立的羽毛球運(yùn)動(dòng)模型、羽毛球質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)模型和氣動(dòng)模型，根據(jù)羽毛球的特性以及飛行空間環(huán)境進(jìn)行分析，并結(jié)合牛頓第二定律直接對羽毛球受力分析進(jìn)行直接推導(dǎo)，得到其有關(guān)羽毛球自身參數(shù)對應(yīng)的方程組。同時(shí)也考慮了羽毛球本身固有旋轉(zhuǎn)特性產(chǎn)生的馬格努斯力對其飛行軌跡的影響。仿真結(jié)果表明，在所建4個(gè)坐標(biāo)系下，能夠直觀地反映羽毛球的旋轉(zhuǎn)特性和相關(guān)參數(shù)對其飛行軌跡的影響。該推理方法較直觀，并且可充分利用Matlab的Simulink工具，從而減少編程工作量，同時(shí)還具有較好的仿真效果。

[1] Firoz Alam, Harun Chowdhury, Chavaporn Theppadungporn. Measurements of aerodynamic properties of badminton shuttlecocks[J]. Conference of the international sports engineering association , 2010,2(2):2487-2492.

[2] Seigo Kitta, Hiroaki Hasegawa. Aerodynamic properties of a shuttlecock with spin at high Reynolds number[J]. Asia-Pacific Congress on sports technology, 2011(13): 271-277.

[3] 艾星芳,汪仁煌,李雪晨.圓度誤差測量在羽毛球外觀檢測中的應(yīng)用[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2011,12(4):51-54.

[4] Kenichi Nakagawa, Hiroaki Hasegawa, Masahide Murakami, et.al. Aerodynamic properties and flow behavior for a badminton shuttlecock with spin at high reynolds numbers[J], Procedia Engineering, 2012(34):104-109.

[5] Julien Le Personnic, Firoz Alam.etc. Flight trajectory simulation of badminton shuttlecocks[J]. Asia-Pacific Congress on sports technology, 2011(13):344-349.

[6] 林傳潮.羽毛球空氣力學(xué)分析[J].中國體育科技,1980(13): 27-33.

[7] 谷嘉錦,陳玉清.羽毛球風(fēng)洞的設(shè)計(jì)與應(yīng)用[J].實(shí)驗(yàn)力學(xué)，1980,9(3):227-231.

[8] Chen Bingqi, Wang Zhiqiang. A statistical method for analysis of technical data of a badminton match based on 2-D seriate images[J]. Tsinghua Science &Technology, 2007,12(5): 594-601.

[9] Lung-Ming Chen, Yi-Hsiang Pan ,Yung-Jen Chen. A study of shuttlecock’s trajectory in badminton[J]. Journal of Sports Science and Medicine, 2009,77(8):657-662.

[10] Chak Man Chan, Jenn Stroud Rossmann. Badminton shuttlecock aerodynamics: synthesizing experiment and theory[J]. International Sports Engineering Association 2012, 2012,15(2):61-71.

[11] Raveendran Paramesran, Sing Loong Teng. Detection of service activity in a badminton game[J]. IEEE Region 10 Annual International Conference, Proceedings/TENCON, 2011:312-315.

[12] Yoshikawa Fumito,Kobayashi Takumi, Watanabe Kenji, et al. Automated service scene detection for Badminton game analysis using CHLAC and MRA[J], World Academy of Science, Engineering and Technology, 2010(62):942-945.

[13] S L POST, Jordan McLachlan, Travis Lonas, et al. Aerodynamic of a badminton shuttlecock [J]. Proceedings of the ASME 2009 International Mechanical Engineering Congress & Exposition IMECE2009,2009(11):13-19.

[14] 劉大為.球體飛行軌跡異常的探討[J].大學(xué)物理,1987(01): 43-45.

[15] 錢杏芳,林瑞雄,趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1987.

Flight Kinematics Modeling and Simulation of Shuttlecock Badminton Based on Four-Coordinate Systems

Zhang Jinghua Wang Renhuang Yue Hongwei
(School of Automation, Guangdong University of Technology)

In order to make the simulation results of shuttlecock flight trajectory be more reliable, the actual structure of the space environment movement equation of shuttlecock must be constructed. A type of shuttlecock with manufacturing parameters is taked as the research background, its flying track can be deduced by using Newton's second law in a four coordinate space. The established equation not only considers the air resistance, moment of inertia and effects of its parameters, but the inherent rotation characteristics produced by magnus force on the influence of its flight path is also considered. The simulation results show that equation of motion in the four systems of shuttlecock can intuitively reflect the influence of its relevant parameters on the flying track.

Simulation; Four-Coordinate Systems; Rotary Inertia; Moment of Force; Magnus Force

張晶華，男，1981年生，廣西玉林人，博士研究生，主要研究方向：圖像處理、模式識別等。E-mail: ls198168@163.com

汪仁煌，男，1945年生，上海人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向：智能測控、信息處理、智能儀器、機(jī)器視覺。

岳洪偉，男，1979年生，安徽毫州人，博士研究生，主要研究方向：圖像處理、模式識別。