侯新華 鄧新春

摘要 在一類m元離散時(shí)滯差分方程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中引入了具有明顯實(shí)際意義的非線性不連續(xù)信號(hào)傳輸函數(shù)，并利用離散系統(tǒng)的解半環(huán)分析這一強(qiáng)有力工具，通過引入一個(gè)輔助系統(tǒng)，證明了該模型的每個(gè)解或者是最終周期的或者是無界的這一有趣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

關(guān)鍵詞 離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；時(shí)滯；最終周期性；周期解

中圖分類號(hào)O175.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

1引言

近年來，國際上掀起了一股人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究熱潮，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和處理信息的方法，使得它們?cè)谥T如信號(hào)處理、模式識(shí)別、優(yōu)化計(jì)算等許多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景在數(shù)學(xué)上，通常采用微分方程和差分方程式來描述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)神經(jīng)元的活動(dòng)狀態(tài)，通過對(duì)這些網(wǎng)絡(luò)模型的分析來了解其相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)迄今為止，國內(nèi)外人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究工作者已提出很多有應(yīng)用背景的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，如著名的Hopfield模型、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）模型、Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等，建立了許多具備不同信息處理能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，但是這些模型的動(dòng)力學(xué)行為至今仍未得到充分的揭示本文將在著名的廣義Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1，2]基礎(chǔ)上提出新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

解的最終周期行為，其中，模型中的信號(hào)傳輸函數(shù)f為

其中k為給定正整數(shù)，m（m>0）為給定奇數(shù)，σ為給定常數(shù)，該系統(tǒng)描述了具興奮反應(yīng)的m個(gè)同樣的神經(jīng)元的離散型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的發(fā)展，k為信號(hào)傳輸滯量

最近幾年，有大量的文獻(xiàn)是關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)方面的研究[1-10]，例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、周期解、混沌等方面特別地，當(dāng)輸入輸出函數(shù)取一些特殊函數(shù)尤其是不連續(xù)函數(shù)的離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性問題也得到了一些研究[8]Yuan[7]和Dai等[9]分別研究了兩類二元離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的周期性和收斂性：

本文從數(shù)學(xué)理論上探討當(dāng)系統(tǒng)（1）中的信號(hào)函數(shù)f為McCullochpitts型不連續(xù)非線性函數(shù)時(shí)，該模型解的最終周期行為，并按m為奇數(shù)來給出主要結(jié)果，為這類網(wǎng)絡(luò)模型的應(yīng)用提供了重要的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

2輔助系統(tǒng)及準(zhǔn)備工作

為了研究系統(tǒng)（1）和（2）的有界解的周期性，引入一個(gè)輔助系統(tǒng)，即在方程（2）中令σ=0，可得到輔助系統(tǒng)：

因?yàn)椋⊿）是無界的，所以由結(jié)論1-3即可推出定理結(jié)論成立

參考文獻(xiàn)

[1]J J HOPFIELD. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities[J]. Proc Natl Acad Sci USA， 1982， 79： 2554-2558

[2]J J HOPFIELD. Neurons with graded response have collective computational properties like those of twostate neurons[J]. Proc Natl Acad Sci USA， 1984， 81：3088-3092

[3]S BUSENBERG， K L COOKE. Models of vertically transmitted diseases with sequentialcontinuous dynamics[C]//V LAKSHMIKANTHAN Nonlinear Phenomena in Mathematical Science. New York： Academic Press， 1982， 179-187

[4]K L COOKE， J WIENER. Retarded differential equations with piecewise constant delays[J]. J Math Anal Appl， 1984， 99： 265-297

[5]S M SHAH， J WIENER. Advanced differential equations with piecewise constant argument deviations[J]. Internat J Math Math Sci， 1983， 6： 671-703

[6]J WU. Introduction to neural dynamics and signal transmission delay[M]. Berlin： De Gruyter，2001.

[7]Z H YUAN， L H HUANG， Y CHEN. Convergence and periodicity of solutions for a discretetime network model of two neurons[J]. Math Comput Model， 2002，35： 941-950

[8]T S YI， Z ZHOU. Periodic solutions of difference equations[J]. J Math Anal Appl， 2003， 286： 220-229

[9]B X DAI， L H HUANG， X Z QIAN. Largetime dynamics of discretetime neural networks with McCullochPitts nonlinearity[J]. Electronic J Diff Eqn， 2003， 45：1-8

[10]Y CHEN. Unboundedness and periodicity of a system of delay difference equations[J].Mitt Math Sem Giessen， 2002， 248： 1-19

[11]Y CHEN. All solutions of a class of difference equations are truncated periodic[J].Appl Math Lett， 2002， 15： 975-979

[12]Z J WEI J，L H HUANG， Y M MENG. Unboundedness and periodicity of solutions for a discretetime network model of three neurons[J]. Applied Mathematical Modelling， 2008， 32： 1463-1474