程沙沙，蘇國(guó)韶，燕柳斌

廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004

基于進(jìn)化策略有頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

程沙沙，蘇國(guó)韶，燕柳斌

廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004

1 引言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要指標(biāo)。為了使結(jié)構(gòu)的固有頻率遠(yuǎn)離激振頻率帶寬，通過(guò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，可有效地避免諧振現(xiàn)象的發(fā)生，避免結(jié)構(gòu)破壞。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上是一種高度非線形的全局優(yōu)化問(wèn)題，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法在求解的過(guò)程中往往容易陷入局部最優(yōu)，而且優(yōu)化結(jié)果往往依賴(lài)于尋優(yōu)出發(fā)點(diǎn)，出發(fā)點(diǎn)選擇不當(dāng)，就不能得到最優(yōu)解[1～4]。針對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化方法的局限性，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的一些學(xué)者將仿生全局優(yōu)化算法，如遺傳算法（GA）、進(jìn)化策略（ES）、粒子群優(yōu)化算法（PSO）、人工蜂群算法（ABC）等，應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，取得了良好的效果[5～8]。但是，大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)分析通常需要借助有限元分析來(lái)獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)，采用上述仿生隨機(jī)優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，往往需要大量的有限元分析次數(shù)。對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，一次有限元分析的時(shí)間較長(zhǎng)，大量的有限元分析令人難以忍受，使上述仿生全局優(yōu)化算法在實(shí)際的工程應(yīng)用中受到很大的限制。因此，尋找一種效率更高的全局優(yōu)化方法勢(shì)在必行。

自適應(yīng)協(xié)方差矩陣進(jìn)化策略（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy，CMA-ES）是Nikolaus Hansen等人在進(jìn)化策略的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新型全局優(yōu)化算法[9]。與原來(lái)的進(jìn)化策略算法相同，也是從一組初始的種群出發(fā)，通過(guò)突變、競(jìng)爭(zhēng)和選擇、重組等，根據(jù)其適應(yīng)性的大小來(lái)選擇個(gè)體，適應(yīng)度最優(yōu)的個(gè)體來(lái)形成下一代種群，如此反復(fù)循環(huán)，直至最后接近最優(yōu)解。研究表明，與其他仿生全局優(yōu)化算法相比較，CMA-ES算法的主要特點(diǎn)是全局尋優(yōu)性能好且尋優(yōu)效率高[10]。

本文擬將CMA-ES算法引入到有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)截面和形狀優(yōu)化領(lǐng)域中去，為高效快速地解決此類(lèi)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題提供一種新的途徑。

2 考慮頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化或形狀優(yōu)化的目標(biāo)就是在滿(mǎn)足頻率要求，同時(shí)滿(mǎn)足靜態(tài)強(qiáng)度（如幾何約束、應(yīng)力約束等）的情況下使桁架的重量最輕，故選取重量的大小來(lái)評(píng)價(jià)桁架的優(yōu)劣。其目標(biāo)函數(shù)為：

式中，X=[A1，A2，…，AM，O1，O2，…，ONj]為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量；ρe、Ae、Le分別為桿件e的材料密度、截面面積和長(zhǎng)度；Oi為節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)，M為桿件截面的設(shè)計(jì)變量總數(shù)，Nj為節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量總數(shù)。

2.2 約束條件

（1）頻率約束條件：

（2）幾何約束條件：

（3）應(yīng)力約束條件：

式中，σe和[σe]分別為桿件的實(shí)際應(yīng)力值和極限應(yīng)力值。

3 基于進(jìn)化策略的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

3.1 進(jìn)化策略算法的基本原理

CMA-ES算法是從給定的或是隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)初始搜索點(diǎn)出發(fā)，以該初始點(diǎn)為搜索中心，按照一定的概率密度隨機(jī)生成第一代種群（λ個(gè)），并評(píng)價(jià)該種群中所有個(gè)體的適應(yīng)度。選擇適應(yīng)度較好的μ個(gè)個(gè)體組成新的種群來(lái)更新進(jìn)化策略參數(shù)，利用進(jìn)化策略參數(shù)調(diào)整下一代種群的進(jìn)化方向，從而進(jìn)行突變生成下一代種群，如此反復(fù)，直至逼近最優(yōu)解，見(jiàn)圖1。

圖1 二維空間下種群進(jìn)化示意圖（圖中斜線表示目標(biāo)函數(shù)的等高線）

CMA-ES算法通過(guò)動(dòng)態(tài)的步長(zhǎng)參數(shù)σ和動(dòng)態(tài)的正定協(xié)方差矩陣C來(lái)引導(dǎo)種群的突變進(jìn)化方向，其基本方程如下：

CMA-ES算法在隨機(jī)搜索的過(guò)程中引入進(jìn)化路徑的概念，充分利用了種群的尋優(yōu)歷史信息，并用動(dòng)態(tài)參數(shù)控制歷史信息的學(xué)習(xí)程度和方向，有效地避免了種群退化。同時(shí)在進(jìn)化過(guò)程中只需要很小的種群，從而大大減少了函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)。受篇幅限制，CMA-ES算法基本原理詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

3.2 基于CMA-ES算法與有限元的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

本文采用MATLAB平臺(tái)編制CMA-ES算法程序，然后將CMA-ES算法融入有限元結(jié)構(gòu)分析軟件ANSYS中，建立了有頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)截面和形狀優(yōu)化的CMA-ES方法。優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)步驟如下（參見(jiàn)圖2）：

步驟1在MATLAB軟件中運(yùn)行CMA-ES算法，隨機(jī)產(chǎn)生初始設(shè)計(jì)變量，并保存到文件A中。

步驟2利用MATLAB軟件啟動(dòng)ANSYS有限元分析軟件，在ANSYS環(huán)境中利用APDL語(yǔ)言讀文件A，獲得初始設(shè)計(jì)變量，然后進(jìn)行有限元建模和求解，再把重量、頻率、應(yīng)力、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)等計(jì)算結(jié)果寫(xiě)入文件B，之后關(guān)閉ANSYS，返回到MATLAB環(huán)境中。

步驟3利用MATLAB程序讀取結(jié)果文件B，代入適應(yīng)度函數(shù)，獲得所有個(gè)體的適應(yīng)度，CMA-ES算法評(píng)價(jià)并選出當(dāng)前代最小的適應(yīng)度。

步驟4對(duì)當(dāng)前代的最小適應(yīng)度做精度判斷，如果滿(mǎn)足收斂條件，則計(jì)算終止，保存當(dāng)前最優(yōu)解；否則，根據(jù)適應(yīng)度更新CMA-ES算法的策略參數(shù)σ和C，獲得下一代種群的均值點(diǎn)和突變方向，生成下一代種群（多個(gè)設(shè)計(jì)變量），并把設(shè)計(jì)變量保存到文件A中，轉(zhuǎn)回步驟2。

圖2 CMA-ES優(yōu)化方法的實(shí)現(xiàn)步驟

在本文方法中，通過(guò)動(dòng)態(tài)加權(quán)罰函數(shù)法將有約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，當(dāng)頻率ω或應(yīng)力σ超過(guò)限值時(shí)，懲罰值為差值的p1或p2倍，通過(guò)改變p1和p2值可以控制目標(biāo)變量F的懲罰程度。對(duì)于以結(jié)構(gòu)重量W作為優(yōu)化目標(biāo)的問(wèn)題，適應(yīng)度函數(shù)的通式如下：

下面采用兩個(gè)經(jīng)典的桁架優(yōu)化算例進(jìn)行方法的可行性驗(yàn)證，各算例的優(yōu)化目標(biāo)均為桁架重量最小，并滿(mǎn)足一定的頻率、幾何和應(yīng)力約束。優(yōu)化計(jì)算采用的PC機(jī)配置為Intel 2.40 GHz處理器和2 GB內(nèi)存。

4 工程算例

4.1 桁架截面優(yōu)化

一個(gè)10桿桁架結(jié)構(gòu)如圖3所示，a=9.144 m(360 in)，彈性模量為6.89×1010Pa(107psi)，密度為2 770 kg/m3(0.11 b/in3)，頻率界限為不小于21 Hz，初始截面面積都為40 cm2（6.2 in2），泊松比為0.3，求最優(yōu)桁架截面設(shè)計(jì)。

圖3 平面10桿桁架結(jié)構(gòu)圖

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下所示。

約束條件：ω1(xi)≥21 Hz，0.6 cm2＜xi＜130 cm2。其中，xi為設(shè)計(jì)變量，代表?xiàng)U件橫截面積，i表示桿件編號(hào)；Li為桿件i長(zhǎng)度；ω1(xi)代表?xiàng)U件一階固有頻率。

CMA-ES算法的參數(shù)設(shè)置：初始步長(zhǎng)0.004；種群數(shù)為10。

PSO算法的參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)為30；學(xué)習(xí)因子C1=C2=2.0。

分別采用PSO與本文方法進(jìn)行優(yōu)化，各算例均設(shè)置相同的目標(biāo)函數(shù)和搜索區(qū)間，每種算法運(yùn)行20次，取每種算法最好的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果，見(jiàn)表1。

從表1可以看出，對(duì)于10桿結(jié)構(gòu)，通過(guò)本文進(jìn)行截面優(yōu)化可以得到比較理想的結(jié)果。與初始狀態(tài)相比，在滿(mǎn)足頻率和橫截面積等約束條件下用本文方法進(jìn)行500次的函數(shù)評(píng)價(jià)時(shí)，結(jié)構(gòu)重量?jī)?yōu)于改進(jìn)信賴(lài)域法[11]，由原方案的1 181.02 kg減少到703.86 kg，下降了40.4%，頻率由原來(lái)的15.179 Hz提高到21.622 Hz。用本文方法對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行850次函數(shù)評(píng)價(jià)，在滿(mǎn)足橫截面積和頻率等約束條件下，結(jié)構(gòu)重量又有大幅度的下降，與原方案相比，重量由1 181.02 kg減少到497.17 kg，比初始值下降了57.9%，同時(shí)，在相同有限元分析次數(shù)的前提下，本文方法明顯優(yōu)于PSO的優(yōu)化結(jié)果，說(shuō)明其尋優(yōu)能力遠(yuǎn)高于PSO算法。

表1 平面10桿桁架的優(yōu)化結(jié)果

4.2 桁架形狀優(yōu)化

平面40桿桁架橋，結(jié)構(gòu)幾何初始尺寸如圖4所示。材料的彈性模量均為2×107t/m2，比重均為7.8 t/m3，許用拉壓應(yīng)力為±16 000 t/m2。結(jié)構(gòu)要求其自振基頻不大于100 s-1，而二階頻率不小于200 s-1。桿件分類(lèi)見(jiàn)表2，除支撐桿以外，各類(lèi)桿件截面允許值均應(yīng)在0.002 5 m2和0.050 0 m2之間，支承桿截面均為0.050 0 m2不變。橋的外形變化僅允許上弦的8個(gè)節(jié)點(diǎn)在鉛直方向移動(dòng)，下限是3 m，上限是1 m。橋下弦跨中6個(gè)節(jié)點(diǎn)分別作用有鉛直向下的集中力P=10 t。

圖4 平面40桿桁架橋初始示意圖（單位：m）

表2 平面40桿桁架橋桿件分類(lèi)

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下所示。

23維設(shè)計(jì)變量：

其中，xi為設(shè)計(jì)變量，代表?xiàng)U件的橫截面積，i表示對(duì)桿件的編號(hào)；Li為桿件i長(zhǎng)度；ω1(xi)和ω2(xi)代表?xiàng)U件的一階和二階固有頻率。除了支撐桿截面均為0.050 0 m2不變外，其他給定初始各桿件橫截面積都相同，都為0.005 0 m2。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行分類(lèi)：y16=y9，y15=y10，y14=y11，y13=y12。

CMA-ES算法的參數(shù)設(shè)置：初始步長(zhǎng)取0.014；種群數(shù)為13。

PSO算法的參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)為30；學(xué)習(xí)因子C1=C2=2.0。

分別采用PSO與本文方法進(jìn)行優(yōu)化，各算例均設(shè)置相同的目標(biāo)函數(shù)和搜索區(qū)間，每種算法運(yùn)行20次，取每種算法最好的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果，見(jiàn)表3，桁架形狀優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)圖5。

表3 平面40桿桁架橋優(yōu)化結(jié)果

圖5 平面40桿桁架優(yōu)化結(jié)果（單位：m）

從表3可看出，在滿(mǎn)足應(yīng)力和幾何約束條件下，用PSO算法進(jìn)行15 000次函數(shù)評(píng)價(jià)，能夠得到比較理想的優(yōu)化結(jié)果，結(jié)構(gòu)重量由原方案的5.621 t減少到2.556 t，下降了54.5%。而用本文方法進(jìn)行相同的有限元分析次數(shù)時(shí)，優(yōu)化結(jié)果為2.487 t，明顯優(yōu)于優(yōu)化準(zhǔn)則法[12]、復(fù)合形法[13]與PSO的優(yōu)化結(jié)果，再次表明了本文方法的高效性。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）研究結(jié)果表明，本文方法是可行性的，具有全局性能好，效率高等優(yōu)點(diǎn)，為桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的途徑。

（2）本文方法采用MATLAB平臺(tái)調(diào)用ANSYS有限元大型通用軟件的技術(shù)手段來(lái)實(shí)現(xiàn)，無(wú)需編制復(fù)雜的有限元程序，具有容易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，方便結(jié)構(gòu)工程師們的應(yīng)用。

（3）當(dāng)前工程結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)日益多樣化和復(fù)雜化的趨勢(shì)，本文方法針對(duì)高維度復(fù)雜工程動(dòng)力結(jié)構(gòu)優(yōu)化的適應(yīng)性問(wèn)題，尚需今后進(jìn)一步研究。

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CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin

Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety,School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University, Nanning 530004,China

For depart frequency bandwidth,the method is to adjust component sections or nodes’coordinates to change the dynamic characteristics on premise of static intensity being satisfied,so called optimization design of truss structure with frequency forbidden zone.Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）,which is a global optimization algorithm with the advantages of high efficiency and robustness,has become a powerful tool for solving highly nonlinear multidimensional optimization problems.Combining finite element method,an optimal method of truss structure with frequency forbidden zone based on CMA-ES algorithm is proposed.The results of examples show that the method is feasible and has the merits of excellent global optimization performance and efficiency compared with traditional and Particle Swarm Optimization（PSO）method.

frequency forbidden zone;structural optimization;truss;Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）algorithm

有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是在結(jié)構(gòu)保證靜態(tài)強(qiáng)度的前提下，通過(guò)調(diào)整構(gòu)件的截面或節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，從而避開(kāi)激振頻率帶寬。自適應(yīng)協(xié)方差矩陣進(jìn)化策略（CMA-ES）算法是一種尋優(yōu)效率高、魯棒性好的全局優(yōu)化算法，對(duì)處理復(fù)雜的非線性多維度的優(yōu)化問(wèn)題有很好的適應(yīng)性。在考慮工藝可行性的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元分析軟件，提出了基于CMA-ES算法的有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。算例研究表明，該方法是可行的，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法、粒子群優(yōu)化方法相比較，具有全局尋優(yōu)性能好、效率高的優(yōu)點(diǎn)。

頻率禁區(qū)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；桁架；自適應(yīng)協(xié)方差矩陣進(jìn)化策略算法（CMA-ES）

A

TU323.4

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0156

CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin.Structural optimization design method with frequency forbidden zone using evolution strategy.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：250-253.

廣西理工科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心重點(diǎn)項(xiàng)目（No.LGZX201001）。

程沙沙（1986—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄芊椒捌渫聊竟こ虘?yīng)用。E-mail：sha345678@163.com

2012-01-10

2012-03-06

1002-8331（2013）19-0250-04

CNKI出版日期：2012-06-01http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120601.1457.034.html