混沌理論在混沌跳頻序列分析中的應(yīng)用研究

鄒 磊，鄭林華，林嘉宇，丁 宏

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

1 引言

跳頻序列是跳頻通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)和核心，它保證了跳頻通信系統(tǒng)的高抗干擾和低截獲概率性能，故而對(duì)跳頻序列的研究至關(guān)重要。傳統(tǒng)的跳頻序列分析方法，主要分析跳頻序列的Hamming相關(guān)、平衡特性、寬間隔特性和線性復(fù)雜度等跳頻特性［1－2］。而對(duì)于來(lái)自不同生成方法的跳頻序列卻不應(yīng)局限于這些分析方法。混沌跳頻序列［3］來(lái)自于確定性系統(tǒng)，卻表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性，這正是混沌信號(hào)的特征［4］?；煦缣l序列產(chǎn)生于混沌系統(tǒng)，若其具有混沌性，則可以利用相空間重構(gòu)理論［5］對(duì)其重構(gòu)，并可得到與原系統(tǒng)等價(jià)的系統(tǒng)，進(jìn)一步，可通過(guò)分析該等價(jià)系統(tǒng)得到原系統(tǒng)的一些特性信息。

2 混沌性判別

混沌信號(hào)具有對(duì)初始值的敏感性、有界性、非周期性以及確定性等要求，這是構(gòu)成混沌信號(hào)生成系統(tǒng)的必要條件。而在實(shí)際應(yīng)用中，通常將這些判別方法適當(dāng)?shù)姆潘?，即可足夠滿足實(shí)際工程要求［6］。

初始值的敏感性，可由Lyapunov 指數(shù)描述，表示不同初值的混沌信號(hào)在一段時(shí)間的演化后其軌跡的收斂與發(fā)散程度，一般為正值，說(shuō)明系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號(hào)的可能性較大;信號(hào)的有界性，實(shí)際系統(tǒng)通?？梢詽M足，不需要再進(jìn)行判斷;信號(hào)的非周期性，混沌信號(hào)的吸引子一般具有自相似性，可用分形維來(lái)描述，而且一般情況下分形維是非整數(shù);信號(hào)的確定性，確定性信號(hào)的維數(shù)通常是有限的，其分形維也應(yīng)當(dāng)是有限的，另外，確定性的系統(tǒng)是可以實(shí)現(xiàn)局部預(yù)測(cè)的，混沌信號(hào)由于其初值敏感性和現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的噪聲等因素影響，不可能對(duì)其進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，但可以進(jìn)行局部預(yù)測(cè)，這樣，有限的分形維和局部可預(yù)測(cè)性可以區(qū)分確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)，而在實(shí)際工程中產(chǎn)生的信號(hào)一般均可滿足局部可預(yù)測(cè)性。

由此得到，從工程實(shí)用上來(lái)說(shuō)，分析信號(hào)具有正的Lyapunov 指數(shù)和有限且為非整數(shù)的分形維即可認(rèn)為該信號(hào)具有混沌性。

2.1 Lyapunov 指數(shù)的小數(shù)據(jù)量法

混沌系統(tǒng)對(duì)初值具有高度的敏感性，可用Lyapunov 指數(shù)表征，它描述兩個(gè)相近初值所產(chǎn)生的軌道，隨著時(shí)間演化按指數(shù)方式分離的量，一般分析最大Lyapunov 指數(shù)為正值即可。此處分析選擇小數(shù)據(jù)量法，小數(shù)據(jù)量法［7］計(jì)算方便、操作簡(jiǎn)單，對(duì)相空間的嵌入維數(shù)、時(shí)間延遲、觀測(cè)噪聲等表現(xiàn)了較好的魯棒性，對(duì)小數(shù)據(jù)量也比較可靠，具體描述如下。

設(shè)混沌序列為{x1，x2，...，xN}，嵌入維數(shù)m，延遲時(shí)間τ，則經(jīng)重構(gòu)后得到相空間如下:

重構(gòu)相空間后，尋找給定軌道上每個(gè)點(diǎn)的最近鄰近點(diǎn)，即:

其中，P為序列的平均周期，它可以利用能量譜的平均頻率的倒數(shù)估算出來(lái)。最大Lyapunov 指數(shù)則可通過(guò)基本軌道上每個(gè)點(diǎn)的最近鄰點(diǎn)的平均發(fā)散速率估算得到。估算最大Lyapunov 指數(shù)式為:

其中Δt為信號(hào)采樣周期，k為常數(shù)，dj(i)是基本軌道上第j 對(duì)最近鄰近點(diǎn)對(duì)經(jīng)過(guò)i個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng)后的距離:

將式(4)兩邊取對(duì)數(shù)得到:

式(5)中函數(shù)的斜率即為所求的最大Lyapunov指數(shù)，可以通過(guò)最小二乘法擬合這條曲線得到，即:

其中，q為非零dj(i)的數(shù)目?？紤]f=y(i)的一階導(dǎo)數(shù):

理想情況下，如果i～y(i)滿足線性關(guān)系，f'應(yīng)當(dāng)為一常數(shù)。在i～y(i)達(dá)到飽和之前，選i～y(i)－y(i－1)曲線圖中變化較小的一段區(qū)域?yàn)榫€性區(qū)域，此段區(qū)域的斜率即是最大Lyapunov 指數(shù)。

2.2 分形維的G－P 算法

由于混沌系統(tǒng)的吸引子具有自相似性，它在空間的演化過(guò)程中不斷的靠攏分離，形成和前一軌跡相似的結(jié)構(gòu)，而且每一個(gè)軌跡都和整體有相似性?；煦缧盘?hào)的相空間圖一般都是分形體，描述混沌系統(tǒng)吸引子的自相似一般使用分形維，分形維有多種定義，有Hausdoff 維、關(guān)聯(lián)維、自相似維、盒子維、Lyapunov 維、信息維和點(diǎn)形維。其中，以關(guān)聯(lián)維(Correlation Dimension)最為常用，而計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的常用方法為G－P 算法［8］，下面具體描述。

(1)給定混沌序列{x1，x2，...，xN}，先選取一個(gè)較小的值m0，對(duì)應(yīng)得到一個(gè)重構(gòu)的相空間;

(2)計(jì)算關(guān)聯(lián)函數(shù):

其中，|Y(ti)－Y(tj)|表示相空間中點(diǎn)Y(ti)和Y(tj)之間的距離;θ(z)是Heaviside 函數(shù)，當(dāng)z≥0時(shí)，θ(z)=1，當(dāng)z ＜0時(shí)，θ(z)=0;C(r)是一個(gè)累積分布函數(shù)，表示相空間中吸引子上兩點(diǎn)之間距離小于r的概率。

(3)當(dāng)r 取某一適當(dāng)范圍時(shí)，吸引子的維數(shù)d 與累積分布函數(shù)C(r)應(yīng)滿足對(duì)數(shù)線性關(guān)系，即d(m)=1nC(r)/1nr。然后據(jù)此可以擬合出對(duì)應(yīng)于m0的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計(jì)值d(m0)。

(4)增加嵌入維數(shù)使得m1＞m0，重復(fù)步驟(2)和(3)，直到相應(yīng)的維數(shù)估計(jì)值d(m)不再隨m的增長(zhǎng)而在一定誤差范圍內(nèi)變化為止。此時(shí)得到的d 即為吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。如果d 隨m的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，并不收斂于一個(gè)穩(wěn)定的值，則可認(rèn)為該系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

2.3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真分析時(shí)以經(jīng)典的大氣模型Lorenz 流混沌系統(tǒng)為例，如式所示。

式中，a=16，b=4，r=45.92，取x相分量生成混沌時(shí)間序列。

對(duì)所生成的混沌時(shí)間序列經(jīng)量化、寬間隔處理后將得到能應(yīng)用于實(shí)際跳頻通信系統(tǒng)中的跳頻序列。實(shí)際的量化方法有均勻量化法、余弦量化法、k維截?cái)喾ā⒅虚g多比特抽取和排序法等，仿真時(shí)選擇較為簡(jiǎn)單的均勻量化法。而寬間隔處理的方法有去中間頻帶法、對(duì)偶頻帶法、丟棄法、平移替代法和隨機(jī)平移替代法，仿真時(shí)寬間隔處理法選用隨機(jī)平移替代法。由此生成了混沌跳頻序列，以供下面分析研究。

將混沌跳頻序列前1 ×104個(gè)點(diǎn)去掉，取之后5000 點(diǎn)，利用小數(shù)據(jù)量算法，得到由Lorenz 流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列的i～y(i)和i～y(i)－y(i－1)曲線如圖1 所示。

對(duì)于圖1(b)中的i～y(i)－y(i－1)曲線圖，取未達(dá)到飽和之前的區(qū)域100～200 作為線性區(qū)間，繼而可以得出圖1(a)中i～y(i)曲線圖中相應(yīng)區(qū)域的斜率為1.0049，則該斜率對(duì)應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)λ=1.0049 ＞0，是正值。

將混沌跳頻序列前1 ×104個(gè)點(diǎn)去掉，取之后3000 點(diǎn)，利用G－P 算法，得到由Lorenz 流生成的混沌跳頻序列的雙對(duì)數(shù)曲線如圖2(a)所示，嵌入維－關(guān)聯(lián)維(m－D)曲線如圖2(b)所示。

從圖2(b)m－D 曲線圖中可以看到，當(dāng)m 取到8 之后關(guān)聯(lián)維數(shù)D 大致不變，此時(shí)D≈2.119，是分?jǐn)?shù)且有限。

從最大Lyapunov 指數(shù)和分形維數(shù)的分析中可看到，Lorenz 流系統(tǒng)生成的跳頻序列的最大Lyapunov 指數(shù)是正值，而分形維數(shù)為非整數(shù)且有限，故而可知Lorenz 流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列具有混沌性，繼而可利用混沌理論對(duì)其分析。

3 相空間重構(gòu)

從2.3 節(jié)中的分析中可知混沌跳頻序列具有混沌性，因此可以利用混沌理論分析混沌跳頻序列，而相空間重構(gòu)是混沌理論分析的基礎(chǔ)，故而本小節(jié)中主要研究分析混沌跳頻序列的重構(gòu)參量?，F(xiàn)實(shí)中獲得的是序列的觀測(cè)值，對(duì)這些觀測(cè)值進(jìn)行相空間的重構(gòu)分析可以得到與原混沌系統(tǒng)特性等價(jià)的相空間，通過(guò)分析該相空間有助于了解原系統(tǒng)的特性。對(duì)于混沌序列{x1，x2，...，xN}，重構(gòu)相空間如式(1)所示，可看到相空間重構(gòu)中重要的參量是時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)。

3.1 時(shí)間延遲

對(duì)于時(shí)間延遲來(lái)說(shuō)，如果時(shí)間延遲τ 太小，相空間矢量Xi的相鄰延遲點(diǎn)間的差別較小，包含原系統(tǒng)中吸引子的信息量較少，而冗余信息太多，重構(gòu)后的相空間軌跡得不到充分?jǐn)U展，難以獲得混沌系統(tǒng)的實(shí)際特性;如果時(shí)間延遲τ 太大，獲得的噪聲信息較多，使得軌跡相互分離，導(dǎo)致獲得的信息基本不相關(guān)，也不能獲得原混沌系統(tǒng)的實(shí)際特性。故而，必須選擇合適的時(shí)間延遲才能有效的分析原混沌系統(tǒng)的特性。

此處選取互信息量算法［9］計(jì)算時(shí)間延遲。設(shè)離散變量X、Y，其狀態(tài)數(shù)目分別為m、n，則平均自信息量即信息熵定義為:

其中，Pi是變量X 在狀態(tài)i 出現(xiàn)的概率。變量X、Y的聯(lián)合熵定義為:

其中，Pij是變量X 在狀態(tài)i 和變量Y 在狀態(tài)j同時(shí)出現(xiàn)的概率，由此定義平均互信息量為:

對(duì)于一般情況，互信息為:

對(duì)于式(13)，I 第一次達(dá)到最小值的時(shí)間可作為相空間重構(gòu)的時(shí)間延遲。

3.2 嵌入維數(shù)

對(duì)于嵌入維數(shù)來(lái)說(shuō)，如果嵌入維數(shù)選擇的太小，相空間在向低維投影時(shí)，會(huì)造成虛假交叉;如果嵌入維數(shù)太大，則得到的相空間中噪聲太多而失去了原混沌系統(tǒng)的實(shí)際特性。在實(shí)際應(yīng)用中，嵌入維數(shù)越大，重構(gòu)得到的相空間中的噪聲越大，系統(tǒng)中的重要信息被淹沒(méi)，得到的信息大部分都是噪聲，而且選擇維數(shù)越大，計(jì)算的工作量也越大。故選擇合適的嵌入維數(shù)是必要的。

分析時(shí)選擇Cao 算法［10］分析混沌跳頻序列的嵌入維數(shù)，Cao 算法的具體描述如下。定義:

其中，‖·‖為范數(shù)，Xn(i，m)(m)是d 維空間中Xi(m)最近鄰點(diǎn)。求a(i，m)的均值:

當(dāng)m 大于某個(gè)值m0時(shí)，E1(m)不再變化。對(duì)于隨機(jī)序列，理論上E1(m)應(yīng)逐漸增加，但在實(shí)際中不容易判斷有限長(zhǎng)序列E1(m)到底是在緩慢增加還是已經(jīng)停止變化。所以需要再附加一個(gè)條件:

其中，n(i，m)的定義與上面相同。類似(16)式，定義:

對(duì)于隨機(jī)序列，序列數(shù)據(jù)間在理想情況下可認(rèn)為沒(méi)有相關(guān)性，則E2(m)將始終為1;但對(duì)于確定性序列，序列中的數(shù)據(jù)之間關(guān)系是與嵌入維數(shù)m 有關(guān)的，E2(m)不能始終為1。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)

圖3是由互信息量法得到互信息量隨時(shí)間變化的t～I(xiàn) 曲線圖，分析時(shí)去掉前1 ×104個(gè)點(diǎn)，取其后的5000 點(diǎn)做分析?？梢?jiàn)當(dāng)t=3，互信息量第一次達(dá)到最小值，根據(jù)互信息量法可知時(shí)間延遲τ=3。

圖3 互自相關(guān)法求時(shí)間延遲

圖4是由Cao 算法求得的E1、E2隨時(shí)間變化的曲線圖，分析時(shí)去掉前1 ×104個(gè)點(diǎn)，取其后的3000個(gè)點(diǎn)做分析。從圖中可以看到當(dāng)d=4 之后，E1、E2基本不再隨時(shí)間的變化而變化，則可得到嵌入維數(shù)m=4。

圖4 Cao 算法求嵌入維數(shù)

圖5 中，(a)圖表示Lorenz 流x、y相的混沌跳頻序列的相圖，(b)圖表示Lorenz 流x相的混沌跳頻序列在時(shí)間延遲τ=3時(shí)的二維相空間重構(gòu)圖，(c)圖表示Lorenz 流x相的混沌跳頻序列在時(shí)間延遲τ=1時(shí)的二維相空間重構(gòu)圖，(d)圖表示Lorenz流x相的混沌跳頻序列在時(shí)間延遲τ=15時(shí)的二維相空間重構(gòu)圖。

從圖5 中可以看到，由Lorenz 流生成的混沌跳頻序列，時(shí)間延遲的選取對(duì)于它的相空間重構(gòu)影響很大。合適的時(shí)間延遲τ(如圖5(b)所示)可得到與原系統(tǒng)(如圖5(a)所示)等價(jià)的相空間;τ 太小則混沌跳頻序列的重構(gòu)相空間軌跡在主對(duì)角線上壓縮(如圖5(c)所示)，不能極大的得到原混沌系統(tǒng)的信息;τ 太大則混沌跳頻序列的重構(gòu)相空間在軌跡上出現(xiàn)分離(如圖5(d)所示)，使得延遲坐標(biāo)間的相互信息丟失。

4 結(jié)束語(yǔ)

分析時(shí)首先利用混沌性判別理論研究混沌跳頻序列的混沌性，以Lorenz 系統(tǒng)為例進(jìn)行了驗(yàn)證分析，并得出Lorenz 系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列具有混沌性的結(jié)論。繼而利用相空間重構(gòu)理論對(duì)Lorenz流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列分析了時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)，在對(duì)時(shí)間延遲的分析中得到時(shí)間延遲的選取太大或太小都不能較好的得到原系統(tǒng)的特性，必須選擇合適的時(shí)間延遲才能得到與原系統(tǒng)等價(jià)的系統(tǒng)。所研究?jī)?nèi)容從混沌領(lǐng)域的研究方向拓展了對(duì)混沌跳頻序列的分析，有一定的研究意義和研究?jī)r(jià)值。

圖5 Lorenz 流混沌系統(tǒng)二維相圖

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