朱宜新

同學(xué)們自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法. 那么如何培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力呢？一題多解是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的有效途徑.下面對一道與正方形有關(guān)的題目作一題多解，希望對提高同學(xué)們的創(chuàng)新能力有所幫助.

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的任一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點F. 求證：AE=EF.

圖1

方法一：構(gòu)造全等三角形

證明：如圖2，在AB上取一點H，使BH=BE，連接EH.

圖2

因為∠B=90° ， 所以∠BHE=∠BEH=45° .

所以∠AHE=135°.

因為CF平分∠DCG，

所以∠DCF=45°，所以∠ECF=90°+45°=135°.

即∠AHE=∠ECF.

因為AB=BC ，所以AB-BH=BC-BE.

即AH=EC .

因為AE⊥EF，

所以∠AEB+∠FEC=90°.

又因為∠BAE+∠BEA=90°，所以∠BAE=∠CEF.

所以△AHE≌△FCE，所以AE=EF.

方法二：利用等角對等邊的性質(zhì)

證明：如圖3，延長FC交AB的延長線于點H，連接EH.

圖3

因為FC平分∠DCG ，所以∠BCH=∠FCG=45°.

又因為∠CBH=∠ABC=90° ，所以∠BHC=45°.

所以BH=BC=AB，所以BE是AH的垂直平分線.

即AE=EH，所以∠1=∠2.

又因為AE⊥EF，所以∠3+∠4=90°.

因為∠1+∠3=90°，所以∠1=∠4，所以∠2=∠4.

又因為∠4+∠F=45° ，∠2+∠EHC=45°，

所以∠F=∠EHC ，所以EF=EH，

即AE=EF.

方法三：構(gòu)造輔助圓

證明：如圖4，連接AC、AF.

圖4

因為四邊形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°.

又因為CF平分∠DCG，所以∠DCF=45°.

即∠ACF=90° .

又因為∠AEF=90°，

易知點A、E、C、F在以AF為直徑的圓上.

根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠AFE=∠ACE=45°.

所以∠EAF=45°，所以AE=EF.

方法四：利用對稱性

證明：如圖5，作△ECF關(guān)于BG的對稱圖形△ECH.

連接AC，易知A、C、H三點共線.

圖5

因為AE⊥EF ，所以∠3+∠5=90°.

又因為∠2+∠5=90°，所以∠2=∠3=∠4.

因為∠1+∠2=45°，∠4+∠H=45°，

所以∠1=∠H，所以AE=EH.

又因為EF=HE，所以AE=EF.

方法五：利用勾股定理

證明：如圖6，過F作FH⊥BG，垂足為H.

圖6

設(shè)AB=BC=a，EC=b，則BE=a-b，

設(shè)FH=CH=c，則EH=b+c.

在Rt△ABE中，AE 2=AB 2+BE2=a2+（a-b）2.

在Rt△EFH中，EF 2=FH2+EH 2=c 2+（b+c）2.

因為△ABE∽△EFH，所以■=■，

即■=■，

整理得a-b=c，a=b+c.

即a2+（a-b）2=a2+c2 ，

c2+（b+c）2=c2+a2，

所以AE2=EF 2 ，即AE=EF.

創(chuàng)新不是簡單的重復(fù)、模仿.同學(xué)們在解題時，要充分思考，從不同的角度、不同的途徑、使用不同的方法得到答案，然后分析每一種證法，從中進行解法優(yōu)劣的比較與取舍，從而培養(yǎng)同學(xué)們的積極性、主動性和創(chuàng)新能力.