熊丙章，劉麗穎

(1.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715;2.重慶巴蜀中學(xué)，重慶 400013;3.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067)

1 問題的提出

數(shù)感是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是人對數(shù)與運(yùn)算的一般理解，是主動地，自覺地理解或運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識。隨著新課程改革的逐步推進(jìn)，數(shù)感的發(fā)展研究日漸引起了人們的重視，相關(guān)研究正對此展開。研究表明，數(shù)感是一個寬泛的領(lǐng)域，包括估算和心算［1］，二者對數(shù)感發(fā)展起著極其重要的作用?！办`活地進(jìn)行心算和估算，判斷計算結(jié)果的合理性，能創(chuàng)造各種解決數(shù)字問題的策略”［2］。不僅如此，“心算還可以提升學(xué)生理解數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，使學(xué)生用具有創(chuàng)造性和獨(dú)立性的思維去處理數(shù)字問題”［3］。時至今日，盡管還沒有搞清楚心算在數(shù)感發(fā)展中到底發(fā)揮多大作用，但通過探究數(shù)的結(jié)構(gòu)、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系等心算技能為發(fā)展數(shù)感提供了一種重要方法［4］。鑒于此，我們試圖通過考察小學(xué)兒童的心算能力對數(shù)感的影響來探討心算在數(shù)感發(fā)展中發(fā)揮的作用。

2 研究方法

2.1 被試

從重慶市主城區(qū)的四所小學(xué)隨機(jī)抽取357 名二年級和四年級學(xué)生作為被試。其中，二年級男女生各87 和102 名，四年級男女生各77 和91 名。他們的年齡從7 歲到11 歲(M=9.63，SD=0.57)。

2.2 材料及程序

心算活動具有明顯的問題大小效應(yīng)，其加工過程與工作記憶和長時記憶存在密切關(guān)系［5］。因此，我們根據(jù)教學(xué)要求，按照年級從易到難的順序分別編制了20 道心算題(其中15 道為產(chǎn)生任務(wù)型題目，5 道為辨別任務(wù)型題目)。數(shù)感測試采用了4×3 的被試內(nèi)容設(shè)計，自變量為運(yùn)算類型(加、減、乘、除)和數(shù)字類型(整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù))，因變量為答案的正確率、時間和理由，實驗共計20 道題目。實驗采用個別測試的方法和逐道題目單獨(dú)呈現(xiàn)的方式，為避免效應(yīng)，呈現(xiàn)順序采用了隨機(jī)方式，由研究者記錄答案情況，二者最高可得20 分。

2.3 數(shù)據(jù)處理

采用Spss 11.0 for windows 進(jìn)行統(tǒng)計分析。

3 結(jié)果與分析

3.1 心算能力對數(shù)感水平的影響

一般地，心算是指在沒有外在輔助工具的情況下進(jìn)行的算術(shù)運(yùn)算加工，它是日常生活中一種重要的基本技能和思維活動，其過程可以按照認(rèn)知活動的信息加工觀點(diǎn)分為四個階段:問題編碼、計算、決策和反應(yīng)執(zhí)行。在這過程中，有著四種典型的效應(yīng)［6］:問題大小效應(yīng)，當(dāng)問題中的運(yùn)算數(shù)增大時候，獲得答案的反應(yīng)時變長，錯誤率變高;區(qū)分效應(yīng)，算術(shù)問題中越接近正確答案的錯誤答案較之那些差異大的更難，比如2+5=6 比2+5=10 更難辨別;干擾效應(yīng)，當(dāng)呈現(xiàn)的錯誤答案匹配另一種運(yùn)算中的正確答案時，比如2+3=6 與2×3=5，錯誤率會更高，潛伏期也會更長;奇偶效應(yīng)，當(dāng)?shù)仁匠尸F(xiàn)的錯誤答案的奇偶狀況與正確答案的奇偶不一樣的時候，辨別起來會更快更準(zhǔn)確。

評價心算能力一般采用的指標(biāo)是心算的反應(yīng)時和正確率。心算的反應(yīng)時和正確率具有明顯的年齡差異，這點(diǎn)在關(guān)于心算老年化及其機(jī)制的研究中已經(jīng)得到充分的證實。相關(guān)的實證研究還表明，年齡與心算難度存在明顯的交互作用，也就是說心算難度的不同導(dǎo)致年齡對反應(yīng)時和心算效率的影響不同［7］。我們的研究也證實了這一點(diǎn)，結(jié)果見表1。

表1 不同年級、性別學(xué)生的心算成績差異性分析

從表1 中可以看出不同年級的兒童的心算成績差異主效應(yīng)顯著，而性別主效應(yīng)不顯著，年級與性別之間不存在明顯的交互作用。我們進(jìn)一步對不同年級的心算成績進(jìn)行了獨(dú)立樣本T 檢驗，發(fā)現(xiàn)在同一年級，隨著心算任務(wù)難度的增大，正確率明顯下降，且反應(yīng)時間更長，表明心算加工問題大小效應(yīng)的普遍性。另外我們還給出了不同年級、不同性別學(xué)生心算成績的平均分(M)與標(biāo)準(zhǔn)差(SD)的結(jié)果。結(jié)果表明，二年級的心算成績明顯不如四年級，差異非常顯著(p ＜0.01)。這說明經(jīng)過小學(xué)低、中段對心算的強(qiáng)化訓(xùn)練，到四年級時，小學(xué)生心算能力的發(fā)展已逐漸上升。在同一年級，雖然簡單心算和復(fù)雜心算心理機(jī)制存在差異，但是總體而言，一定量的聯(lián)結(jié)可以導(dǎo)致較少時間內(nèi)較好完成任務(wù)，足夠的練習(xí)有助于兒童從計數(shù)策略到記憶提取的轉(zhuǎn)變。因此掌握基本的算術(shù)知識應(yīng)該是十分必要的，有利于復(fù)雜算術(shù)問題的解決。既然速度和記憶是心算能力發(fā)展的中介因素，對速度和記憶方面的訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)該是有益于包括心算在內(nèi)的其它認(rèn)知能力的提高。

有研究觀察到，隨著兒童年齡的增長，其信息加工速度變快，工作記憶能力亦提高。驗證性因素分析表明:［8］兒童加工速度、工作記憶與心算能力三者可能存在一個遞進(jìn)式發(fā)展過程。結(jié)合被試在心算任務(wù)上的表現(xiàn)，我們將心算能力劃分為六個水平。按從低到高各個層次的劃分標(biāo)準(zhǔn)如下:初始算術(shù)水平，被試不能正確完成一位數(shù)的簡單四則運(yùn)算;一步計算，一位數(shù)運(yùn)算水平;多步計算，兩位數(shù)運(yùn)算水平;多步計算兩位數(shù)水平;一步計算三位數(shù)水平;多步計算三位數(shù)計算水平。

我們對不同水平下小學(xué)兒童的數(shù)感成績進(jìn)行了單方向方差檢驗。表(二)給出了不同水平下兒童數(shù)感成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差以及F 值。表中結(jié)果顯示不同心算水平下兒童的數(shù)感成績有明顯差異(p＜0.01)。同時我們看到，隨著心算水平的提高，兒童的平均數(shù)感成績大體上也有所提高。因此我們進(jìn)一步對相鄰水平之間成績的差異性進(jìn)行了T 檢驗，結(jié)果一并列入表2 中。

表2 不同心算水平下學(xué)生的平均數(shù)感成績及其差異性

從表2 中T 檢驗的結(jié)果看，兒童的數(shù)感成績只在一步計算兩位數(shù)運(yùn)算水平同多步計算一位數(shù)運(yùn)算水平之間差異達(dá)到極為顯著。其他相鄰水平間的數(shù)感成績均沒有差異。這說明心算水平只在較低水平上對兒童數(shù)感有影響。如果我們壓迫借助于強(qiáng)化心算教學(xué)來發(fā)展數(shù)感，只有當(dāng)兒童的心算水平由低級向中級轉(zhuǎn)化之前才最為有效。

我們進(jìn)一步分析知得出，這兩個年級兒童所給數(shù)感答案的精確性并沒有隨著心算水平的提高而明顯降低。當(dāng)他們遇到較困難的問題時傾向于給出誤差較大的答案，但他們給出合理答案的比例在各個心算水平上都明顯超過不合理的答案的比例，而且數(shù)感成績的總體表現(xiàn)和所用的時間明顯受到心算水平的影響。這說明兒童的數(shù)感只是在一定程度上依賴于其心算的發(fā)展水平，同時它也同問題的特點(diǎn)有一定關(guān)系?；蛟S正是這些問題的難度超出了兒童所能接受的限度，從而掩蓋了心算水平對數(shù)感的影響。

3.2 心算策略對數(shù)感策略選擇的影響

要完成心算操作，需要兩類策略，一類是從記憶中直接提取，另外需要一類類似計數(shù)或基于某種規(guī)則的運(yùn)算程序［5］。兒童第一次解決像2+3 這樣的簡單算術(shù)問題時，依靠的是其計數(shù)和計數(shù)程序方面的知識。這些計數(shù)過程或以手指輔助實現(xiàn)(手指計數(shù)策略，兒童使用手指代表問題中的數(shù)，然后數(shù)手指得到答案;計數(shù)策略，兒童用手指代表加數(shù)，象在默默計算。但得到答案前看不到數(shù)手指)，或不用手指(口頭計數(shù)策略，可以聽到兒童計算或動嘴唇)，總體上稱為計數(shù)策略。

簡單的算術(shù)問題主要通過以記憶為主的加工來解決，包括算術(shù)知識的分解和直接提取。分解策略是把問題分解成若干簡單問題。比如，9+8 可以通過從8 減去1 加到9 上，最后把7 與10 相加。采用直接提取策略時，兒童直接說出長時記憶中與當(dāng)前問題有關(guān)的答案，例如當(dāng)被要求解決5+3 時說出“8”。記憶提取是較好的選擇策略，因為提取需要較少時間執(zhí)行，比其它策略對工作記憶資源要求更少。事實上，從長期記憶中直接提取答案的便捷性強(qiáng)烈影響到兒童心算策略選擇。更確切地講，答案越容易從長期記憶中提取，提取加工更易運(yùn)用于解決當(dāng)前問題。

兒童的心算策略對數(shù)感發(fā)展的影響主要是通過不同策略的使用來體現(xiàn)的。因此我們考察了各種心算水平下兒童對不同數(shù)感策略使用頻率的百分比。結(jié)果見表3。

表3 不同心算水平下數(shù)感策略的使用頻率(%)

從表3 可以看出，不同心算水平下的兒童在進(jìn)行整數(shù)類數(shù)感時使用的計數(shù)策略相當(dāng)多。即使在同一心算水平下，兒童也使用了多種策略，而且有所偏重。這也從一個側(cè)面說明心算只是影響數(shù)感策略選擇的因素之一，個體還考慮了其他因素。我們進(jìn)一步對同一心算水平下的不同策略使用頻率進(jìn)行了四格表χ2檢驗，仍然采用只比較在頻率大小上相鄰的數(shù)據(jù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在初始算術(shù)水平和一步計算兩位數(shù)運(yùn)算水平下，小學(xué)兒童都沒有優(yōu)勢。從多步計算一位數(shù)運(yùn)算水平開始，兒童一直傾向于估算策略，從多步計算兩位數(shù)運(yùn)算水平開始，心算成為小學(xué)兒童整數(shù)類估計的第二選擇。因此我們可以認(rèn)為，不同心算水平的小學(xué)兒童大多數(shù)情況下都選擇有效性中等水平的策略。進(jìn)一步分析可以看出，不同心算水平的兒童對于同一種策略的使用頻率也是有很大差異。總的說來，隨著兒童心算能力的提高，粗略估計的使用逐漸降低，心算的使用頻率逐漸上升。但隨著其他策略的發(fā)展，基準(zhǔn)策略在一步計算兩位數(shù)水平上使用急劇下降，隨后在其他心算水平又重新加以使用。

隨著年齡的增長，算術(shù)知識得到不斷積累，解答心算問題時計數(shù)程序逐漸減少，提取過程使用增加。對兒童解決簡單算術(shù)問題的研究取得了一些較為明確的結(jié)果。

3.4 心算對數(shù)感錯誤類型的影響

我們根據(jù)學(xué)生的口頭報告，并結(jié)合他們給出的答案，將他們在數(shù)感中所犯的錯誤劃分為五種:猜測錯誤，對自己給出的答案不能給出理由或報告說“不知道”亂猜的;運(yùn)算錯誤，不能正確使用計算規(guī)則對數(shù)字進(jìn)行操作;數(shù)位錯誤，將小數(shù)點(diǎn)忽略或放錯位置;基準(zhǔn)錯誤，錯誤使用基準(zhǔn)“1”或其他基準(zhǔn)點(diǎn);精確錯誤，個體試圖計算出問題的精確答案。我們以此分類標(biāo)準(zhǔn)對兒童在本研究中的錯誤類型進(jìn)行了統(tǒng)計分析，以考察心算水平對兒童數(shù)感錯誤的影響。凡是在心算測試中答對題目數(shù)為11 個(這是本研究的中位數(shù))或更多的被歸為熟練組，而少于11 個題目的歸為非熟練組。心算水平不同的兒童在數(shù)感中各種錯誤類型的錯誤頻率見圖1。

圖1 不同心算熟練程度兒童的數(shù)感錯誤類型頻率(%)

從表中可以看出，不同心算水平熟練程度的兒童在運(yùn)算錯誤和數(shù)位錯誤上存在明顯的差異。具體說來，心算不熟練的兒童更容易出現(xiàn)運(yùn)算上的錯誤，而心算熟練的兒童更容易出現(xiàn)數(shù)位錯誤，即忽略或者判斷答案數(shù)字的位數(shù)、小數(shù)點(diǎn)位置。這一結(jié)果說明心算水平對兒童數(shù)感的影響主要體現(xiàn)在對運(yùn)算規(guī)則的掌握上，基本規(guī)則比較熟練甚至自動化可以減少一些數(shù)感錯誤的發(fā)生。而數(shù)位的判斷相對來說是一種較高層次的技能，是數(shù)感培養(yǎng)的重要內(nèi)容。心算技能是否熟練本身并不能降低數(shù)位錯誤的發(fā)生率，它需要兒童的數(shù)感得到發(fā)展之后才能逐漸減少。

4 結(jié)論及啟示

兒童的數(shù)感只是在一定程度上依賴于其心算能力的大小，他們使用心算策略的種類和優(yōu)勢策略不斷變化，大多數(shù)情況下兒童傾向于選擇中等有效的策略。不同心算水平熟練程度的兒童在運(yùn)算錯誤和數(shù)位錯誤上存在明顯的差異。從這些結(jié)論反觀教學(xué)，其啟示是多方面的。

第一，加強(qiáng)心算教學(xué)。心算作為一項基本的數(shù)學(xué)技能，對數(shù)感發(fā)展有積極的作用，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課程的一個重要部分。不過目前看來心算仍不是中小學(xué)數(shù)學(xué)課的重要組成部分，學(xué)生心算技能的發(fā)展相當(dāng)滯后。我們必須采取措施，加強(qiáng)我國中小學(xué)的心算教學(xué)。如:強(qiáng)化教師的心算意識，消除教師認(rèn)為心算技能不重要、不值得花費(fèi)教學(xué)時間的誤解;恰當(dāng)安排心算教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生受到系統(tǒng)的心算教學(xué)，將內(nèi)容從小學(xué)延伸到中學(xué)階段;構(gòu)建有效的測量工具來評估不同階段學(xué)生心算技能的掌握狀況。

第二、在心算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。數(shù)感是數(shù)的感悟，它表現(xiàn)為對量與數(shù)的一種直觀能力。學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，需要經(jīng)歷感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、形成數(shù)系概念等的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)對多少的感悟，需要在豐富的情境中，充分經(jīng)歷察覺物體集合中所包含的物體數(shù)量的多少的過程，積累感知多少的經(jīng)驗。這種對量的多少的覺察往往需要借助于數(shù)［8］。因此，在心算教學(xué)中，要為學(xué)生提供豐富的情景，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，感悟量的多少，培養(yǎng)兒童能用心算估算出運(yùn)算結(jié)果，并能對結(jié)果的合理性作出解釋。進(jìn)而體驗和領(lǐng)悟數(shù)的意義和表達(dá)交流，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。

總之，兒童的數(shù)感是一個由多種數(shù)技能構(gòu)造的有機(jī)整體，對兒童的數(shù)感教學(xué)，是一個系統(tǒng)的逐漸完善的過程。在兒童發(fā)展的不同階段要相應(yīng)地增進(jìn)和發(fā)展不同的數(shù)感成分，要遵循兒童的年齡特點(diǎn)。

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