無錫市城市燃氣管理辦公室 顏國棟 張劍

同濟大學土木工程學院 劉威

0 引言

2007年，李杰、劉威提出了網絡可靠度分析最小路遞推分解算法，該方法充分利用了網絡分解過程中的信息，實現了網絡的快速簡化，大幅度地降低了分解出來的的子網的復雜程度，極大地減少了系統(tǒng)不交最小路和不交最小割的數量。劉威提出了改進最小割遞推分解算法，該方法在最小割遞推分解算法的基礎上，充分利用了網絡分解過程中的信息，進一步簡化了分解出來的網絡，使得分解出來的不交最小割(路)可能為原始網絡幾條不交最小割(路)的并，從而大大減少了分解出來的網絡不交最小割和不交最小路的數量，加快了計算速度。實例分析表明，改進最小割遞推分解算法是一種高效的大型生命線工程網絡抗震可靠性分析算法。

本文運用管網抗震可靠性分析的最小割遞推分解算法，對現有燃氣管網從系統(tǒng)整體考慮，求出兩種狀態(tài)震作用下系統(tǒng)各節(jié)點連通可靠度結果，并進行相關分析。

1 基本概念

從系統(tǒng)抗震功能層次上分析，供氣管網震后功能主要與網絡的連通可靠性有關。因此，對供氣管網的震害預測，應該在供氣管網中管線的震害概率評價基礎上，進一步研究網絡系統(tǒng)的連通可靠性。

將供氣系統(tǒng)抽象為一個網絡。其中煤氣廠、天然氣門站、調壓器、管線交匯處等抽象為頂點，其中煤氣廠和天然氣門站記作煤氣系統(tǒng)的源點，用戶端記為匯點，管線抽象為圖的邊，管線地震破壞概率定義為邊的權重(邊權)。供氣管網的連通可靠性，即指在地震作用下，各個匯點與源點保持連通的能力。

2 最小割遞推分解算法

定義1:定義f'(G)為網絡G的互補結構函數，也即:

系統(tǒng)互補結構函數為:

式中:Dk—系統(tǒng)的第k條最小割。

將與源點相連的邊全部選擇出來，并進行多余邊的刪除，其必然為系統(tǒng)的一條最小割，這條最小割中的各條邊必然都是與源點相連的。根據布爾代數中的吸收率有:

根據不交和公式對上式進行變換，有:

根據德?摩根定律及不交和公式，有:

將上式代入式(3)，可以得到:

式中:G1i—將G中的邊a1i改為不可去邊，同時去掉邊a1i(j=1，2，…，i-1)后的系統(tǒng)子圖。

由于系統(tǒng)的通路子圖對于系統(tǒng)失效概率的貢獻為零，因此可以將其從f'(G)中刪除，則有:

式中:E1i(i=1，2，…，m1c)為公式(5)中非通路子圖前面的系數。

對于非通路子圖G1i，由于存在不可去邊，故此時要得到G1i的一條不交最小割需要采用如下方法:除原先的源點外，令與不可去邊相連的節(jié)點也為源點，則與源點相連的全部邊去除多余邊后可形成G1i的一條最小割D1i。然后按照前述的做法，一一分解出二級子圖。這些二級子圖中通路子圖前的對應系數同樣是原圖G的不交最小路，從而可給出f(G)的進一步公式:

顯然，余項Q2包含的不交最小路少于余項Q1包含的不交最小路，即P(Q2)

式中:D2i—G1i(i=1，2，…，m1c)的一條最小割；

E2il—D2i根據公式(4)分解出來的一項；

G2il—G1i分解得到的二級非通路子圖。

對上面的二級非通路子圖繼續(xù)進行分解，每次分解記錄得到的不交最小路，并刪除通路子圖，直到分解結束，這樣就可以得到網絡系統(tǒng)的全部最小割和全部不交最小路，此時網絡的失效結構函數可以表示為:

式中:Ei—吸收歸并后的系數；

Di—為總體排序后的第i個非通路子圖的一個最小割；

mnc+1—系統(tǒng)分解出來的所有非通路子圖個數。

令C1=D1、Ci+1=EiDi(i=1，2，…，mnc)，則可將上式寫為:

式中:Ci—系統(tǒng)的第i條不交最小割；

與此同時，在上面的遞推分解過程中，得到的所有通路子圖前面的系數構成了網絡系統(tǒng)的全部不交最小路。因此有:

式中:Lj—系統(tǒng)第j條不交最小路；

K—所有的不交最小路的數目。

在求出了系統(tǒng)的全部最小割以后，網絡系統(tǒng)的失效概率為:

而網絡的連通可靠度為:

同樣，對于大型網絡系統(tǒng)，試圖求出系統(tǒng)完備不交最小割集和完備不交最小路集是不現實的。最小割遞推分解算法可以同時得到系統(tǒng)的部分不交最小割和部分不交最小路，故同樣可以采用概率不等式來控制計算時間。也就是當系統(tǒng)失效概率的上下界差值不大于設定的誤差限δ時結束計算，即下式成立時結束計算:

式中:Ks—系統(tǒng)部分不交最小路數，其中Ks≤K；

Mf—系統(tǒng)部分不交最小割數，其中Mf≤M。此時系統(tǒng)失效概率可以用點估計的方式給出其近似值:

利用相關定理，式(9)可以改寫為:

式中:G'1i—G中刪除邊a1j(j=1，2，…，i-1)，并且將與ai相連的節(jié)點合并到源點后得到的系統(tǒng)子圖。

在得到式(16)后，同樣，對得到的系統(tǒng)子圖進行并聯邊的合并以及刪除兩邊都是源點的邊的操作，然后可以按照上述公式進行分解得到網絡的可靠度，只是要指出的是這時分解出來的一條不交最小割(路)可能為原系統(tǒng)的幾條不交最小割(路)的并。對于大型網絡，也可以同樣按照式(15)獲得系統(tǒng)滿足一定精度的結果。

3 無錫市太湖新城燃氣管網系統(tǒng)連通可靠性分析

無錫市太湖新城主干中壓供氣管網共有D219×6鋼管58 km；D325×6鋼管24 km。共有119條管線，113個節(jié)點(包含4個源點)。計算時不考慮四個源點，故計算節(jié)點109個。

采用遞推分解算法，在各管段失效相互獨立的假設下，計算分析管網系統(tǒng)中各節(jié)點分別在7度基本設防烈度、7度罕遇地震狀態(tài)下的可靠度。根據可靠度大小，按表1劃分系統(tǒng)中節(jié)點的狀態(tài)評價等級。

表1 系統(tǒng)節(jié)點狀態(tài)評價

表2為兩種狀態(tài)地震作用下系統(tǒng)各節(jié)點可靠度統(tǒng)計結果。研究結果表明，在7度基本設防烈度地震作用下，天然氣管網系統(tǒng)抗震性能良好，全部節(jié)點都處于可靠狀態(tài)；7度罕遇地震作用下性能較差，高達87.16%的節(jié)點處于斷氣狀態(tài)，見圖1。

表2 地震作用下燃氣管網系統(tǒng)抗震連通可靠性分析結果

圖1 太湖新城主干中壓供氣管網系統(tǒng)連通可靠性

4 結論

供氣系統(tǒng)抗震連通可靠性分析是進行供氣系統(tǒng)震后功能評價，進行抗震改造的基礎。本文介紹了網絡抗震連通可靠性分析的最小割遞推分解算法，并利用此原理對太湖新城燃氣管網進行了連通可靠性分析，結果表明此方法具有較強實用價值。